1、圆的复习圆的复习圆中的计算圆中的计算与圆有与圆有关的位关的位置关系置关系圆的基圆的基本性质本性质一、知识结构一、知识结构圆圆点与圆的位置关系点与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系扇形面积扇形面积,弧长弧长,圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积弧、弦与圆心角弧、弦与圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性圆的对称性切线切线圆圆的的切切线线切线长切线长一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.圆的定义圆的定义:到定点的距离等于定长的点的到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆集合叫做圆.2.有关概念有关概念:(1)弦、直径弦、直径(圆
2、中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距弦心距O弦、弧、圆心角、圆周角弦、弧、圆心角、圆周角 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果如果两个圆两个圆心角心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦中中,有一组有一组量相等量相等,那么它们所对应的其余各组那么它们所对应的其余各组量都分别相等量都分别相等.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧同弧或等弧所所对的圆周角相等对的圆周角相等,都等于这弧所对的都等于这弧所对的圆心角的一半圆心角的一半.直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角.9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.二二.圆的基本性质圆的基本性质
3、1.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合,即圆具即圆具有旋转不变性有旋转不变性.练练 习习1.如图如图,O为为ABC的外接圆，的外接圆，AB为直径为直径,AC=BC,则则A的的 度数为度数为 ；2.O中中,弦弦AB所对的圆心角所对的圆心角AOB=100，则弦，则弦AB所对的圆周角为所对的圆周角为_;3.3.如何用一把直角尺检查镜上的装饰如何用一把直角尺
4、检查镜上的装饰品是否恰好为半圆形？品是否恰好为半圆形？练练 习习4.如图，如图，AB是是 O的直径的直径,BD是是 O的弦，的弦，延长延长BD到点到点C,使使DC=BD,连接连接AC交交 O与点与点F.(1)AB与与AC的大小有什么关系的大小有什么关系?为什么为什么?(2)按角的大小分类按角的大小分类,请你判断请你判断ABC属于属于哪一类三角形，并说明理由。哪一类三角形，并说明理由。O OF FD DC CB BA A练练 习习垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM,重视：重视：垂径定理垂径定理直角三角形直角三角形 若若 CD是直径是直径 弦弦ABCD可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂直
5、于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直）的直径垂直于弦于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.垂径定理推论垂径定理推论CDAB,由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB 有关垂径定理的问题常涉及到有关垂径定理的问题常涉及到半径半径、弦弦、弦心距弦心距、平行弦平行弦、弓形高弓形高1 1、OO的半径为的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的距离是间的距离是_._.练练 习习2 2、
6、如图，、如图，CDCD为为OO直径，弦直径，弦ABCDABCD于点于点E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，则则CD=CD=.ABDEO3 3、如图、如图,M,M与与x x轴相交于轴相交于点点A(2,0)A(2,0)，B(8,0),B(8,0),与与y y轴轴相切于点相切于点C,C,则圆心则圆心M M的坐标的坐标是是 .C C 4.圆周角圆周角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角角，叫做圆周角.性质性质:(1)在同一个圆中在同一个圆中,同弧所对的圆周同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半角等于它所对的圆心角的一半.OABCBAC=BOC
7、12OBADEC在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的圆周角相等圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质圆周角的性质(2)ADB与与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角是同弧所对的圆周角ADB=AEB=ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都相等相等,都等于都等于900(直角直角).性质性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径.OABCAB是是 O的直径的直径 ACB=900圆周角的性质圆周角的性质:ABC点与圆的点与圆的位置关系位置关系点到圆心的距离点到圆心的距离d d与
8、与圆的半径圆的半径r r之间关系之间关系点在圆外点在圆外点在圆上点在圆上点在圆内点在圆内Odrd dr rd=rd=rd dr r点与圆的位置关系点与圆的位置关系不在同一直线上的三个点确定一个圆。不在同一直线上的三个点确定一个圆。5.已知：已知：ABC，AC=12，BC=5，AB=13,则则ABC的外接圆半径为的外接圆半径为 。练练 习习6.如图，直角坐标系中一条圆弧经过如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点网格点A，B，C，其中其中B点坐标点坐标(4,4)，则该圆弧所在圆的则该圆弧所在圆的圆心坐标为圆心坐标为 。OOl l(1)当直线与圆相离时当直线与圆相离时dr;(2)当直线与圆相切时当直线
9、与圆相切时d=r;(3)当直线与圆相交时当直线与圆相交时dr.直线与圆位置关系的识别直线与圆位置关系的识别:drl ldrOl ldr设圆的半径为设圆的半径为r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d,则则:直线与直线与圆的位圆的位置关系置关系圆心与直线圆心与直线的距离的距离d与与圆的半径圆的半径r的的关系关系直线直线名称名称直线与直线与圆的交圆的交点个数点个数相离相离相切相切相交相交ldrdr0d=r切线切线1dr割线割线2直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系切线的判定定理切线的判定定理经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于并且垂直于这条半径的直线是圆的切线这条半径的直线是圆的切线.切线的
10、性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径.切线长定理切线长定理从圆外一点向圆所引的两条切线长从圆外一点向圆所引的两条切线长相等相等;并且这一点和圆心的连线平并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角分两条切线的夹角.1.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的半圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。半径的直线是圆的切线。OAl lOA是半径是半径,OA l l直线直线l l是是 O的切线的切线.切线的性质切线的性质:(1)
11、圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.OAl OA l l直线直线l l是是 O的切线的切线,切切点为点为A切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。这两条切线的夹角。BAPOPA、PB为为 O的切线的切线PA=PB,APO=BPO不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.OCB
12、A三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系:.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 两圆的位置关系两圆的位置关系数量关系及识别方法数量关系及识别方法 外离外离 外切外切 相交相交 内切内切 内含内含dR+
13、rd=R+rd=R-rdR-rR-rdR+r练练 习习1.1.已知圆心已知圆心O到直线到直线a的距离为的距离为5,圆的半圆的半径为径为r,当当r=_时时,圆圆O与与a相切相切.2.2.如图圆如图圆O切切PB于点于点B,PB=4,PA=2,则圆则圆O的的半径是半径是_.OABP3.如图如图PA,PB,CD都是圆都是圆O的切线的切线,PA的长为的长为4cm,则则PCD的周长为的周长为_cmABCDOP.练练 习习4.如图，如图，PA、PB是圆的切线，是圆的切线，A、B为切为切点，点，AC为直径，为直径，BAC=200，则，则P=。ACBP直角三角形的内切圆半径与三边关系直角三角形的内切圆半径与三边
14、关系:.2cbar三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积:.21cbarS1.已知已知 O1和和 O2的半径分别为的半径分别为5和和2，O1O23,则则 O1和和 O2的位置关系是的位置关系是 ;练练 习习2.已知两圆的半径分别是已知两圆的半径分别是2和和3，两圆的圆，两圆的圆心距是心距是4，则这两个圆的位置关系是，则这两个圆的位置关系是 ;3.两圆相切两圆相切,圆心距为圆心距为10cm,其中一个圆的其中一个圆的半径为半径为6cm,则另一个圆的半径为则另一个圆的半径为_;4.已知圆已知圆O1与圆与圆O 2的半径分别为的半径分别为12和和2,圆圆心心O1的坐标为的坐标为(0,8),
15、圆心圆心O2 的坐标为的坐标为(-6,0),则两圆的位置关系是则两圆的位置关系是_;正多边形和圆正多边形和圆边长、半径、边心距中心角、内角三三.正多边形正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距叫做
16、这个正多边形的边心距OABFDCEG有关圆的计算有关圆的计算弧长的计算公式为：弧长的计算公式为：180rnl扇形的面积公式为：扇形的面积公式为：3602rnS2180rrnlr21圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面积和全面积：有关圆的计算有关圆的计算OPABrhl3602lnS侧2180llnlr212rl2rrlS全练练 习习1.扇形扇形AOB的半径为的半径为12cm,AOB=120求弧求弧AB的长和扇形的面积及周长的长和扇形的面积及周长.2.如图如图,当半径为当半径为30cm的转的转动轮转过动轮转过120时时,传送带上传送带上的物体的物体A平移的距离为平移的距离为_.A3.小红准备用纸板制作
17、圆锥形的礼帽小红准备用纸板制作圆锥形的礼帽,圆锥圆锥帽底面积半径为帽底面积半径为9cm,母线长为母线长为36cm,请你请你计算制作一个这样的礼帽需要纸板的面积计算制作一个这样的礼帽需要纸板的面积为为_.如图如图,若若AB,ACAB,AC与与OO相切与点相切与点B,CB,C两点两点,P,P为弧为弧 BCBC上任意一点上任意一点,过点过点P P作作OO的切线交的切线交AB,ACAB,AC于于 点点D,E,D,E,若若AB=8,AB=8,则则ADEADE的周长为的周长为_;EDAOBCP16cm若若A=70A=70,则则BPC=_;BPC=_;125NMAOBCP过点过点P P作作OO的切线的切线M
18、N,MN,BPC=_;BPC=_;(用用AA表示表示)90-A21M MA AB BC CD DF FE E.a ac cb b21212121.已知已知ABCABC外切于外切于O,O,(1)(1)若若AB=8,BC=6,AC=4,AB=8,BC=6,AC=4,则则AD=_;BE=_;CF=_;AD=_;BE=_;CF=_;21F FDEoBCA18463517(五五)、相交两圆的连心线垂直平分公共弦、相交两圆的连心线垂直平分公共弦AO1 1O2 2B已知：已知：O O1 1和和O O2 2相交于相交于A A、B B（如图）（如图）求证：求证：O O1 1O O2 2是是ABAB的垂直平分线的
19、垂直平分线证明：连结证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B O1A=O1B O1点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 O2A=O2B O2点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 O1O2是是AB的垂直平分线的垂直平分线9.O2和和 O1相交于点相交于点A、B，它们的，它们的半径分别为半径分别为2和和 ，公共弦，公共弦AB长为长为2，则则(1)O1AO2=_.(2)两圆的圆心距两圆的圆心距=.2已知已知O的半径为2，弦AB=2O的半径为2，弦AB=2 3 3，弦AC=2弦AC=2 2 2，则，则（六）如图，设（六）如图，设OO的半径为的半径为r r，弦，弦ABAB的长为的长为a a，弦，
20、弦 心距心距OD=dOD=d且且OCABOCAB于于D D，弓形高，弓形高CDCD为为h h，下面的说，下面的说 法或等式：法或等式：r=d+h,r=d+h,4r4r2 2=4d=4d2 2+a+a2 2 已知：已知：r r、a a、d d、h h中的任两个可求其他两个，中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是()()A.A.B.B.C.C.D.D.C Crhad1.1.根据下列条件根据下列条件,能且只能作一个圆的是能且只能作一个圆的是()()A.A.经过点经过点A A且半径为且半径为R R作圆作圆;B.B.经过点经过点A A、B B且半径为且半径为R R作圆作圆;
21、C.C.经过经过ABCABC的三个顶点作圆的三个顶点作圆;D.D.过不在一条直线上的四点作圆过不在一条直线上的四点作圆;2.2.能在同一个圆上的是能在同一个圆上的是()()A.A.平行四边形四个顶点平行四边形四个顶点;B.;B.梯形四个顶点梯形四个顶点;C.C.矩形四边中点矩形四边中点;D.;D.菱形四边中点菱形四边中点.C CD D3.3.两圆的圆心都是点两圆的圆心都是点O,O,半径分别半径分别r r1 1,r,r2 2,且且 r r1 1OPOPr r2 2,那么点那么点P P在在()()A.O A.O内内 B.B.小小OO内内 C.OC.O外外 D.D.小小OO外外,大大OO内内 4.4
22、.下列说法正确的是下列说法正确的是()()A.A.三点确定一个圆三点确定一个圆;B.B.一个三角形只有一个外接圆一个三角形只有一个外接圆;C.C.和半径垂直的直线是圆的切线和半径垂直的直线是圆的切线;D.D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等三角形的内心到三角形三个顶点距离相等.DB5.5.与三角形三个顶点距离相等的点与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角是这个三角形的形的()()A.A.三条中线的交点三条中线的交点;B.;B.三条角平分线的交点三条角平分线的交点;C.C.三条高线的交点三条高线的交点;D.;D.三边中垂线的交点三边中垂线的交点;6.6.圆的半径为圆的半径为5cm,5cm,
23、圆心到一条直线的距离是圆心到一条直线的距离是7cm,7cm,则直线与圆则直线与圆()()A.A.有两个交点有两个交点;B.;B.有一个交点有一个交点;C.C.没有交点没有交点;D.;D.交点个数不定交点个数不定D DC C7.7.若两圆的半径分别为若两圆的半径分别为R,r,R,r,圆心距为圆心距为d,d,且满足且满足R R2 2+d+d2 2=r=r2 2+2Rd,+2Rd,则两圆的位置关则两圆的位置关系为系为()()A.A.内切内切 B.B.内切或外切内切或外切 C.C.外切外切 D.D.相交相交由题意由题意:R R2 2+d+d2 22Rd=r2Rd=r2 2 即即:(Rd)2=r2 Rd
24、=r Rr =d即即两圆内切或外切两圆内切或外切8.(8.(苏州市苏州市)如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于OO，若它，若它的一个外角的一个外角DCE=70DCE=70，则，则BOD=(BOD=()A A3535 B.70 B.70 C C110110 D.140 D.140 D 9 9、(广州市广州市)如图，如图，A A是半径为是半径为5 5的的OO内的内的 一点，且一点，且OA=3OA=3，过点，过点A A且长小于且长小于8 8的的 ()()A.0 A.0条条 B.1B.1条条 C.2C.2条条 D.4D.4条条 A过点过点A A且弦长为整数的弦有且弦长为整数的弦有()(
25、)条条 4 41010、在等腰、在等腰ABCABC中，中，AB=AC=2cmAB=AC=2cm，若以，若以A A为圆心，为圆心，1cm1cm为半径的圆与为半径的圆与BCBC相切，则相切，则ABCABC的度数为的度数为 （）A A、3030 B B、6060 C C、9090 D D、120120A AC CB B2 22 2D DA A1111、定圆、定圆0 0的半径是的半径是4cm,4cm,动圆动圆P P的半径是的半径是1cm,1cm,若若 P P和和 0 0相切相切,则符合条件的则符合条件的圆的圆心圆的圆心P P构成的图形是构成的图形是 （）解:(1)若 0和 P外切，则OPR+r=5cm
26、 P点在以O为圆心,5cm为半径的圆上；(2)若0和P内切，则OP=R-r=3cmP点在以O为圆心,3cm为半径的圆上。解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x 依题意得：3x-2x=8，解得：x=8 R=24 cm，r=16cm 两圆相交，R-rdR+r 8cm d 40cm1212、两个圆的半径的比为、两个圆的半径的比为2:3,2:3,内切时圆内切时圆心距等于心距等于8cm,8cm,那么这两圆相交时那么这两圆相交时,圆心距圆心距d d的取值的取值 范围是（范围是（）EMNGFDBCAOPQR RBOC90+A21D14.14.梯形梯形ABCDABCD外切于外切于O,ADBC,AB=CD,O
27、,ADBC,AB=CD,CDOAB10MN（2 2）若）若AO=6,BO=8,AO=6,BO=8,则则S SOO=_=_;255768OABCDE.1103B ACDE451616、如图、如图,以以O O为圆心的两同心圆的半径分别是为圆心的两同心圆的半径分别是11cm11cm和和9cm,9cm,若若PP与这两个圆都相切与这两个圆都相切,则下列则下列说法正确的有说法正确的有()()PP的半径可以是的半径可以是2cm;2cm;PP的半径可以是的半径可以是10cm;10cm;符合条件的符合条件的PP有无数个有无数个,且点且点P P的路线是曲线的路线是曲线;符合条件的符合条件的PP有无数个有无数个,且
28、点且点P P的路线是直线的路线是直线;A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.0D.0个个17.17.如图如图RtRtABCABC中中,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8,以点为圆心以点为圆心,4.8 4.8为半径的圆与线段为半径的圆与线段ABAB的位置关系的位置关系 是是_;_;8 86 6ABCD相切设O的半径为r,则当 _ 时,O与线段AB没交点;当_时,O与线段AB有两个交点;当 _ 时,O与线段AB仅有一交点;0r4.8或或r84.8r6r=4.8 或6r8典型例题典型例题:1.如图如图,O的直径的直径AB=12,以以OA为直径的为直径的 O1交大圆的弦交大圆的弦AC于于D,过过D点作小圆的点作小圆的切线交切线交OC于点于点E,交交AB于于F.EO1ODCBAF(2)猜想猜想DF与与OC的位的位置关系置关系,并说明理由并说明理由.(1)说明说明D是是AC的中点的中点.(3)若若DF=4,求求OF的长的长.2.如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为2,P是线段是线段BC上的一个动点上的一个动点.以以AB为直径作圆为直径作圆O,过点过点P作圆作圆O的切线交的切线交AD于点于点F,切点为切点为E.DCBAFPOE(1)求四边形求四边形CDFP的周长的周长.(2)设设BP=x,AF=y,求求y关关于于x的函数解析式的函数解析式.Q
