1、 高考模拟调研卷理科数学（四）第 1 页 共 4 页 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷理科数学（四） 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项 是符合题目要求的 1 若集合0 1 2A， ， ， 2 1Bx ， ，则满足ABB的实数x的个数为 A1 B2 C3 D4 2 若复数12iz ，则 1 z A 12 i 55 B 12 i 55 C 21 i 55 D 21 i 55 3 函数( )sin3cosf xxx的一条对称
2、轴为 A0x B 6 x C 3 x D 5 6 x 4 函数( )1(0) 31 x m f xx 是奇函数，则实数m的值是 A1 B2 C1 D2 5 在ABC中，“ 2 C ”是“sincosAB”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 在ABC中，D为AB的中点，E在CD上，| 2BECDBE， ，则AC BE A4 B4 C4 2 D8 7 若执行如图所示的程序框图，则输出的x y， 的值满足 A2yx B 1 2xy C2(1)yx D22 x y 开始 02xy， 2019x 输出xy， 结束 1xxyyy， 否 是 高考模拟调研卷理科数学
3、（四）第 2 页 共 4 页 1 3 1 正视图 侧视图 俯视图 8 已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 21 1 2 n nn a a ，则 6 3 S S A7 B9 C7或9 D2 9 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A3 B 5 2 C4 D5 10已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x时，3( )( )0f xxfx恒成立，若 3 ( )( )g xx f x，令 1 2 25 1 (log)(log 2)(e) e agbgcg ， ， ，则有 Aabc Bbac Cbca Dcba 11甲、乙、丙、丁、戊五人要在周一至周五晚上值班，每天
4、晚上安排一人值班，且每人只值班一 个晚上已知乙不值周一、周二、周四；丙不值周二、周三、周四；丁不值周三、周四、周五； 戊不值周五，则不同的值班方案种数为 A6 B7 C8 D9 12已知ABC与 111 ABC的最长边都为3，且ABC的三内角的正弦值与 111 ABC的三内角的余 弦值相等，那么这样的ABC与 111 ABC A不存在 B只有一对 C只有两对 D无数对 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某公司A，B两个车间共有员工1050名，从该公司的所有员工中随机抽取1名，抽到B车间员 工的概率为 5 21 现用分层抽样的方法在该公司抽取84名员工，应在A车间
5、中抽取的员工人数 是 14 曲线上某点的法线是指经过这点并且与该点处切线垂直的直线， 则曲线ecos x yx在0x 处 的法线方程为 15若x，y满足约束条件 240 10 0 xy xy y ，则 4 64 x y z 的最大值为 16若双曲线 22 22 :1() xy Cab ab 0， 0与直线 1: 1lxy和直线 2:2 32lxy都只有一个 公共点，则双曲线C的方程是 高考模拟调研卷理科数学（四）第 3 页 共 4 页 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
6、（一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 已知等差数列 n a满足： 123 1aaa ， ， 成等比数列， 2 20 nn aan. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S，并求 n S的最大值及取最大值时n的值. 18 （12 分） 春运，即春节运输，是我国在农历春节前后发生的一种大规模的高交通运输压力的现象. 以春 节为中心，共 40 天左右。随着我国铁路里程的逐年增加，春运中铁路运输人数逐年增加，下表是 2007 年至 2018 年铁路春运人数统计表. 年份t 2007 2008 2009 2010 2011 2012 人次y（单位：亿） 1.
7、56 1.96 1.88 2.1 2.3 2.35 年份t 2013 2014 2015 2016 2017 2018 人次y（单位：亿） 2.4 2.66 2.95 3.25 3.57 3.82 （1）记2006xt ，求y关于x的回归方程ybxa（a b， 的计算结果精确到0.01） ； （2）根据前面得到的回归方程预测 2020 年春运期间铁路运送人次. 参考数据： 2 11 ()()27.16()143 nn iii ii xxyyxx ， . 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xx yy bayb
8、x xx ， . 19 （12 分） 已知矩形ABCD（ABAD） ，沿对角线BD将ABD折起，点A运动到点 1 A，使得平面 1 ABC 平面 1 ACD. （1）求证： 1 DA 平面 1 ABC； （2） 设31ABAD， ， 若I是棱BC的 中点， 求二面角 1 AIDC的余弦值. A D B C C I B D A1 高考模拟调研卷理科数学（四）第 4 页 共 4 页 20 （12 分） 已知直线 3 : 2 l xa与椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab相交于MN、两点，O为坐标原点， 且 3 tan 4 MON. （1）求椭圆C的离心率； （2）设直线l与x轴相交于
9、点P，过点P的直线 1 l与椭圆C 相交于两点 11 AB、，O为坐标原点，若 11 AOB的面积 的最大值为2 3，求椭圆C的方程. 21 （12 分） 已知函数 2 ( )ln() 2 a f xxxxa aR. （）若( )f x在定义域内是减函数，求实数a的取值范围; （）设( )( )h xf xx在定义域内有两个不同的极值点 12 xx， ，且 12 xx，若不等式 12 lnln1(0)xx 恒成立，求的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 已知圆 1cos
10、 : 2sin xr C yr （为参数，12r ）. （1）当r从1到2变化时，求圆C形成的平面图形的面积； （2） 设点( 1 0)P ， ， 直线 1 1 2 : 3 2 xt l yt （t为参数） 与圆C交于A B， 两点， 求|PAPB. 23选修 45：不等式选讲（10 分） （1）若关于x的不等式|2| 2|1|4xax 有解，求实数a的取值范围； （2）已知00xy， ，若不等式 49 0 xyxy 恒成立，求实数的取值范围. O A1 N P x y l M l1 B1 高考模拟调研卷理科数学（四）第 5 页 共 4 页 B1 C1 B A C A1 1 1 3 B C D
11、 A 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷理科数学（四） 参考答案 一、选择题 16 CADBAB 712 BBDCBD 3解析：( )2sin() 3 f xx ，对称轴为 6 xk 4解析：( )f x为奇函数，则()( )fxf x ，即11 3131 xx mm 5解析：sincosAB，则 2 AB或 2 AB 6解析： 2 ()()|4AC BEADDCBEDB BEDEEBBEEB 7解析：略 8解析： 21 22 1 21 1 2 2 2 n nn n nn a a q a a ，2q ， 3 12 2a a ，2n n a 9解析：由题知该几何体是如图所示
12、的三棱锥ABCD， 其中AB 面BCD，90BCD ，故其外接球直径为3 1 15 ， 2 45SR. 10解析：当0x时， 23 3( )( )0x f xx fx，即 3 ( )0x f x ，即( )g x在(0)， 上单调递增， 又( )f x为奇函数，( )g x为偶函数，而 25 11 log1log 2 2 e e ，故acb. 11解析：若乙值周三，丙值周一，则丁只能值周二，戊只能值周四，有 1 种方案；若乙值周 三，丙值周五，则共有2 24种方案；丁可选择值周一或周二，若乙值周五，则丙只能值周一， 丁值周二，戊可选周二或周三，有 2 种方案；故共有 7 种方案. 12解析：若
13、 1 sincosAA，则 1 2 AA 或 1 2 AA ，又三角形内角和为， 故可设 111 222 AABBCC ， ， ， 则 3 4 A ， 1 4 A ， 对于任意给定的ABC，其中 3 3 4 AaBC ， ， ， 高考模拟调研卷理科数学（四）第 6 页 共 4 页 过B作BA的垂线延长至 1 A使得 1 3BA ，过 1 A作AC的垂线交BC于 1 C， 则 11 ABC满足题意，故满足条件的三角形有无数对. 二、填空题 1364 141xy 15 18 2 16 22 4xy 14解析：e cos x yx，过点(0 1), ，导函数e (cossin ) x yxx ，法线
14、斜率为1 15解析：由题知，可行域如图所示， 3 4x y z 取最大值，即3uxy取最大值， 当65xy ， 时，9u 最大，此时 918 max 42z. 16解析：由题知，双曲线C的渐近线与 1 l平行，则ab，则 222 :C xya， 与直线 3 1 2 xy联立得 22 1 310 4 yya ， 故 2 3(1)0a ，即 2 4a ，即双曲线 22 :4C xy. 三、解答题 17 （12 分） 解： （1） 由题知 2 111 ()(1)(2 )adaad，20ndn， 即 1 2 ,8da ，102 n an； 6 分 （2） 2 9 n Snn ，故当4n或5时， n S
15、取得最大值20. 12 分 18 （12 分） 解： （1） 27.16 0.19 143 b ， 1212 6.5 12 x ， 30.8 2.57 12 y ，故 30.8 0.19 6.51.33 12 a ， 0.191.33yx； 8 分 （2）当14x 时，3.99y ，故 2020 年春运期间铁路运送人次约为3.99亿. 12 分 19 （12 分） 解： （1）过点B作 1 BEAC于E，则BE 面 1 ACD， 1 BEAD，又 11 ABAD， 1 AD面 1 ABC；6 分 O x y E x y z 高考模拟调研卷理科数学（四）第 7 页 共 4 页 （2）由（1）知，
16、 1 3 12AC ，而 222 11 ABACBC，故 1 90BCA ， 以C为原点， 11 CB CAAD， ， 分别为x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系. 则 1 1 (0 0 0)(1 0 0)(0 0)(02 0)(02 1) 2 CBIAD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则 1 11 (2 0)(2 1) 22 IAID ， ， ， ， ， ， (02 1)CD ， ， ，设平面 1 AID的法向量为()mx y z， ， ，则 1 20 2 1 20 2 xy xyz ，令1y ， 则(2 2 1 0)m ， ， ，同理可得平面CID的一
17、个法向量(0 12)n ， ， ， 故 13 cos 933 ，即所求二面角的余弦值为 3 9 6 分 20 （12 分） 解： （1） 由题知 2 2tan3 1tan4 MOP MOP ， 即 1 t a n 3 M O P或3（舍） ， 又 3 2 M xa， 故 3 6 M ya， 代入椭圆方程得 2 2 3 1 412 a b ，即 22 3ab，故 22 2cb，所以离心率 26 33 e ；4 分 （2）设直线 3 : 2 l xmyb，与椭圆 222 33xyb 联立得 222 3 (3)30 4 mymbyb， 设 11122 ()()A xyB xy， ， ， ，则 2 1
18、212 22 3 3 4 33 b mb yyy y mm ， ， 1 1 12 1 3 | 2 2 OA B Sbyy 2 2 22 222 3 333 343 4 ()4 43343 b mbm bb mmm ，令 2 43mt，则3t， 且 2 22 434 39 mt mt 42 9 3 t t ， 2 3 32 2 3 43 b， 2 4b， 2 12a ， 椭圆C的方程为 22 1 124 xy . 12 分 21 （12 分） 高考模拟调研卷理科数学（四）第 8 页 共 4 页 解： （1）由题知( )1ln0fxxax 恒成立，即 1ln x a x , 设 1ln ( ) x
19、 g x x ，则 2 ln ( ) x g x x ， 故 max ( )(1)1g xg，1a ；4 分 （2） 2 ( )( )ln 2 a h xf xxxxxxa，( )ln0h xxax，由题知 11 22 ln0 ln0 xax xax ， 12 12 lnlnxx a xx ，由 12 lnln1xx 得 12 1axa x ， 12 1 a xx 即 12 12 12 lnln1xx xxxx ， 1 12 1 2 2 (1)(1) ln x xx x x x ， 令 1 2 ( 01 ) x t x ， ， 则 ( 1) ( 1 ) l n0 t t t ， 令 (1)(1
20、) ( )ln t tt t ，则 2 2 ()(1) ( ) () tt t t t ，当 2 1时，( )0t， ( ) t在(0 1)， 上单增，故( )(1)0t，符合题意； 当 2 1时，( ) t在 2 (0)， 上单增，在 2 (1)， 上单减，故当 2 (1)x， 时( )(1)0t，矛盾； 故 2 1，又0，故112分 22 （10 分） 解： （1）(4 1)3S； 5 分 （2）圆 222 :(1)(2)Cxyr，与直线l联立得 22 (22 3)80ttr ，因为 2 1 2 80t tr， 故A B， 在点P的侧，故 12 | | 22 3PAPBtt.10 分 23 （10 分） 解： （1）|2|22|4xax有解，即|2|22|yxax的最小值4， 又|2|22| |222 | |2|xaxxaxa，故|2|4a，即26a ；5 分 高考模拟调研卷理科数学（四）第 9 页 共 4 页 （2） 49 ()()0xy xy ，又 4949 ()()13132 4 925 yx xy xyxy ， 当且仅当32xy时等号成立，故250，即25. 10 分
