1、大同四中联盟校大同四中联盟校 2019201920202020 学年第二学期学年第二学期 高三年级高考模拟试题高三年级高考模拟试题 文科数学文科数学 命题人： 审题人： 本试卷共 6 页 满分：150 分 考试用时：120 分钟 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1已知集合 1 |24 4 x Ax， |22Bx yxx，则AB （ ） A2 B0 C 2,2 D0,2 2若复数z满足
2、(1)12zii ，则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知圆 22 :1O xy，直线:0l xym，若圆O上总存在到直线l的距离为1的点，则 实数m的取值范围为（ ） A(, 2 22 2,) B 2 2,2 2 C(, 11,) D 1,1 4 张丘建算经是早于九章算术的我国另一部数学著作，在算经中有一题：某女子善 于织布， 一天比一天织的快， 而且每天增加的数量相同， 已知第一天织布5尺，30天共织布390 尺， 则该女子织布每天增加（ ） A 7 4 尺 B 29 16 尺 C 15 8 尺 D 31 16 尺 5已知直线xy 与双曲线
3、)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 无公共点，则双曲线离心率的取值范围 为（ ） 学校 年级 班级 姓名 考场 考号 （密封线内不准答题，答题一律不给分） A 2,) B(12， C(2， D3,2 6某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工表面积为（ ） A5 B01 C512 D24 12 7在ABC中，2 ABC S，5AB，1AC ，则BC （ ） A52 B32 C32或34 D52或24 8从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率 分布直方图如图所示
4、，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ） Aa的值为0.004 B平均数约为200 C中位数大约为183.3 D众数约为350 9已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P为椭圆上一点，且 12 |PFPF，若的最小值为 2 1 ，则椭圆的离心率为（ ） A 2 1 B 2 2 C 3 1 D 3 5 10已知），（ 2 0 ，则 2 1tan tan 2tan 取得最小值时的值为（ ） A 12 B 6 C 4 D 2 11 已知函数 2 ( )f xxax的图象在 2 1 x处的切线与直线20xy垂直 执行如图所示的程序 框图，若
5、输出的k的值为15，则判断框中t的值可以为（ ） A 13 14 B 15 14 C 16 15 D 17 16 12已知函数)(xf为R上的奇函数，且满足(2)()0f xfx，(2019)fe ，则(1)f （ ） Ae B 1 e Ce D 1 e 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分。第第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须 作答作答。第第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1
6、3设x，y满足约束条件 10 2360 3260 xy xy xy ，若目标函数yxz2的最大值与最小值分别为M， m，则Mm 14| 2a ，| 1b ，a，b的夹角为60，则b与2ab的夹角为 15在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，2PAAB，30ACB，则三棱锥PABC 外接球的表面积为 16已知点5cos ,2 5s n()iP到直线0: xylk的最大距离为25，则k 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在正项等比数列 n a中，已知10 31 a
7、a，40 53 aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 nn ab 2 log，求数列 2 (1) n n b的前100项和 100 S 18 （12 分）新高考3 3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、 生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目某研究机构为了了解学生对全 理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的650名学生中随机 抽取男生，女生各25人进行模拟选科经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人 （1）请完成下面的2 2列联表； （2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由； （3）
8、现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查， 求至少抽到一名女生的概率 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dcban 19 （12 分） 如图， 已知四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAD为等边三角形，ABCD， M是PD的中点 （1）求证：AM 平面PCD； （2）若 1 2 2 ABADCD，求点M到平面PBC的距离 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p，其焦点为F，直线l过点F与C交于M、N两点， 当l的斜率为1时，| 8MN （1）求p的值； （2）在y轴上是否存在一点P满足OPM
9、OPN（点O为坐标原点）？若存在，求P点的坐 标；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数( ) x e f xm x ，)(ln)(xxmxg （1）设函数)()()(xgxfxF，若1x是函数)(xF的唯一极值点，求实数m的取值范围； （2）若函数)()(xxfxh有两个零点 1 x， 2 x，证明： 12 ( )()0h xh x 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1
10、cos 2sin xt yt （t为参数） 以坐标原点 为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos4sin0 （1）求曲线C的普通方程； （2）已知(1,2)M，直线l与曲线C交于P，Q两点，求 22 |MPMQ的最大值 【选修【选修 4-5：不等式选讲不等式选讲】 23 （10 分）已知函数( ) |1|2|f xxx （1）求不等式03)( xxf的解集； （2）设函数( )( )2|2|g xf xx，若存在x使 2 ( )2g x成立，求实数的取值范围 大同四中联盟校大同四中联盟校 2019201920202020 学年第二学期学年第二学期 高三年级高考模
11、拟试题高三年级高考模拟试题 文科数学参考答案及评分标准文科数学参考答案及评分标准 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 【答案】A 【解析】由 1 24 4 x ，得22x ，即 2,2A ， 由xxy22，得2x，所以2B ，所以2AB 2 【答案】A 【解析】由(1)12zii ，得 1231 122 i zi i ，所以z在复平面内对应的点位于第一象限 3 【答案】B 【解析】若圆O上只有一点到直线l的距离为1时，圆心O到直线
12、的距离为2，故要使圆O上总存在 到直线l的距离为1的点，则圆心O到直线的距离2d ，即 | 2 2 m ，即2 22 2m 4 【答案】B 【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项5 1 a，前30项的和390 30 S，求公差d， 由等差数列的前n项公式可得， 30 29 39030 5 2 d ，解得 16 29 d 5 【答案】B 【解析】 双曲线的一条渐近线为x a b y ， 因为直线xy 与双曲线无公共点， 故有1 a b ， 即 2 2 1 b a ， 222 2 22 1 1 bca e aa ，所以2 2 e，所以21 e 6 【答案】D 【解析】由三视图可知，该手工制品是
13、由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5， 故每部分的表面积为 1111 24 3659126 2424 ， 故两部分表面积为24 12 7 【答案】D 【解析】 11 sin5 1 sin2 22 ABC SAB ACAA ， 所以 5 4 sinA，所以 5 3 cosA或 5 3 ， 当 5 3 cosA时，由余弦定理可得， 22 2cos2 5ABACABBCACA ， 同理， 5 3 cosA时，4 2BC 8 【答案】C 【解析】 由(0.00240.00360.00600.00240.0012) 501a， 解得0.0044a，
14、故 A 错； 由A可知，0.0044a，所以平均数为 0.0024 50 75 0.0036 50 125 0.0060 50 175 0.0044 50 225 0.0024 50 275 0.0012 50 325 186，故 B 错误； 居民月用电量在50,150)的频率为(0.00240.0036) 500.3， 居民月用电量在150,200)的频率为：0.0060 500.3， 这100户居民月用电量的中位数大约为 0.50.3 15050183.3 0.3 ，故 C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故 D 错误 9 【答案】C 【解析】由 12 |PFPF，得 1
15、2 | | PF PF ，当 1 |PF最小且 2 |PF最大时，取得最小值 2 1 ， 所以 1 2 ac ac ，所以ca3，所以离心率 3 1 a c e 10 【答案】C 【解析】 2 1 tan11 tan(tan)1 2tan2tan ，当且仅当 tan 1 tan，即1tan时等号 成立，所以= 4 11 【答案】B 【解析】axxf2)(，则( )yf x的图象在 2 1 x处的切线斜率afk1) 2 1 (， 由于切线与直线20xy垂直，则有1)1)( 2 1 (a，则1a ， 所以 2 ( )(1)f xxxx x，所以 1 11 )( 1 kkkf ， 所以 11111
16、(1)()() 2231 S kk ，由于输出的k的值为15，故总共循环了15次， 此时 1111115 (1)()() 223151616 S ，故t的值可以为 15 14 12 【答案】C 【解析】由)(xf为R上的奇函数，且(2)()0f xfx，得(2)( )f xf x ， 故函数)(xf的周期为4，所以(2019)(3)( 3)(1)ffffe ，所以(1)fe 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13 【答案】 40 13 【解析】x，y满足约束条件 10 2360 3260 xy xy xy 的可行域如下图， 由
17、 2360 3260 xy xy ，得) 13 30 , 13 6 (A；由 10 3260 xy xy ，得)3, 4(B， 将目标函数化为 22 1z xy，由图可知，当直线 22 1z xy经过点A时目标函数取得最小值， 所以 13 66 min z； 当直线 22 1z xy经过点B时目标函数取得最大值，所以2 max z， 所以有 66 2 4 3 0 131 14 【答案】120 【解析】 222 |44|42abaa bb ，所以|2 | 2ab ，设b与2ab的夹角为， 则 (2 )1 cos 2|2 | bab b ab ，又因为0 ,180 ，所以120 15 【答案】20
18、 【解析】设ABC外接圆的半径为r，则4 sin 2 AB A B r C ，2r ， 设三棱锥PABC外接球的半径为R，则 222 ()5 2 PA Rr， 故外接球的表面积 2 420SR 16 【答案】5或5 【解析】点P到直线l的距离 |5cos2 5sin| 2 k d ， 当0k 时， 5 5 2 2 k d ，所以5k ； 当0k 时， | 5|5 5 2 22 kk d ，所以5k 综上，5k 或5 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在正项等比
19、数列 n a中，已知10 31 aa，40 53 aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 nn ab 2 log，求数列 2 (1) n n b的前100项和 100 S 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）设公比为q，则由题意可知： 2 1 22 1 (1)10 (1)40 aq a qq ， 又0q ，所以 2 2 1 q a ，所以 1 1 n n qaa= n 2 （2） n bn， 222222 100123499100 Sbbbbbb 222222 12349910037 11195 199 50(3 199) 5050 2 18 （12 分）新高考3
20、 3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、 生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目某研究机构为了了解学生对全 理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的650名学生中随机 抽取男生，女生各25人进行模拟选科经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人 （1）请完成下面的2 2列联表； （2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由； （3）现从这50名学生中已经选取了男生3名，女生2名进行座谈，从中抽取2名代表作问卷调查， 求至少抽到一名女生的概率 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn
21、 K ，其中dcban 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 （1）依题意可得列联表： （2） 2 2 50 (20 15 10 5) 8.3337.879 30 20 25 25 K ， 99.5%的把握认为选择全理与性别有关 （3）设3名男生分别为1，2，3，两名女生分别为4，5 从5名学生中抽取2名所有的可能为(1,2),(1,3)，(1,4),(1,5)，(2,3),(2,4)，(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) 共10种， 不包含女生的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3)，共3种，故所求概率 37 1 1010 P 19 （12 分）
22、如图， 已知四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAD为等边三角形，ABCD， M是PD的中点 （1）求证：AM 平面PCD； （2）若 1 2 2 ABADCD，求点M到平面PBC的距离 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）CD平面PAD，AM 平面PAD，AMCD， APAD，M是PD的中点，AMPD， 又PDCDD，AM 平面PCD （2）ABCD，CD平面PAD，AB 平面PAD， ABPA， 22 2 2PBPAAB 同理在Rt PCD中，52PC，在梯形ABCD中，易得2 2BC 所以等腰PBC底边PC上的高为3，所以15352 2 1 PBC S， 又 1 4
23、 24 2 PCD S ，ABCD，CD平面PCD，AB平面PCD， 点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离， 3AM ， 114 3 43 333 B PCDPCD VSAM 设点D到平面PBC的距离为d，则由 D PBCB PCD VV ，得 154 3 33 d ， 所以 4 5 5 d 点M为PD的中点，点M到平面PBC的距离为 2 5 25 d 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p，其焦点为F，直线l过点F与C交于M、N两点， 当l的斜率为1时，| 8MN （1）求p的值； （2）在y轴上是否存在一点P满足OPMOPN（点O为坐标原点）？若存在，求P点
24、的 坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）(0,) 2 p F，当直线l的斜率为1时，其方程为 2 p xy， 设),( 11 yxM，),( 22 yxN，由 2 p xy，得 2 p yx， 把 2 p yx代入抛物线方程得 2 2 30 4 p ypy， 所以pyy3 21 ，所以 12 |48MNyypp，所以2p （2）由（1）可知，抛物线 2 :4C xy，(0,1)F，由题意可知，直线l的斜率存在， 设其方程为1 kxy，将其代入抛物线方程为044 2 kxx， 则kxx4 21 ，4 21 xx， 假设在y轴上存在一点), 0(tP
25、满足OPMOPN， 则0 PNPM kk，即 12 12 0 ytyt xx ，即 1221 1)1)0kxt xkxt x （， 所以0)(1 (2 2121 xxtxkx，即0) 1(tk， 由于Rk，所以1t，即) 1, 0( P，即在y轴上存在点) 1, 0( P满足POMPON 21 （12 分）已知函数( ) x e f xm x ，)(ln)(xxmxg （1）设函数)()()(xgxfxF，若1x是函数)(xF的唯一极值点，求实数m的取值范围； （2）若函数)()(xxfxh有两个零点 1 x， 2 x，证明： 12 ( )()0h xh x 【答案】 （1）见解析； （2）见
26、解析 【解析】由( )(ln) x e F xmmxx x ，可得 1 ( )()(0) x xe F xm x xx ， 函数)(xF有唯一极值点1x，0m x e x ，即m x e x 恒成立， 设)0()(x x e xc x ，则 2 ) 1( )( x xe xc x ， 当10 x时，( )0c x，函数)(xc单调递减；当1x时，( )0c x，函数)(xc单调递增， 所以ecxc) 1 ()( min ，所以em ，即实数m的取值范围是,(e （2）( )( )(0) x h xxf xemx x， 1 x， 2 x是函数)(xh的两个零点， 1 1 mxe x ， 2 2
27、mxex， 12 12 xx ee m xx ， 1212 12 ()()2 xxxx h xh xememeem 12 12 12 2 xx xx ee ee xx 要证 12 ( )()0h xh x，即证 12 12 12 20 xx xx ee ee xx 设 12 xx，则 12 12 12 20 xx xx ee ee xx 等价于 1212 12 ()()2()0 xxxx xxeeee， 即证 1212 12 ()(1)21)0 xxxx xxee （， 令 12 txx，且0t ，即证(1)2(1)0 tt t ee ，则 )0)(1(2) 1()(teettm tt ， 则
28、0, 1) 1()(tettm t ,令1) 1()( t ett，则( )0 t tte， 故)()(tmt在(0,)上单调递增，故( )(0)0m tm， 所以函数)(tm在(0,)上单调递增，所以( )(0)0m tm 即(1)2(1)0 tt t ee对任意0t 恒成立，所以 12 ( )()0h xh x 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt
29、（t为参数） 以坐标原点 为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos4sin0 （1）求曲线C的普通方程； （2）已知(1,2)M，直线l与曲线C交于P，Q两点，求 22 |MPMQ的最大值 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）2cos4sin0， 2 2 cos4 sin0， 042 22 yxyx，即5)2() 1( 22 yx （2）将直线l的参数方程 1cos 2sin xt yt （t为参数）代入C的普通方程5)2() 1( 22 yx， 得 2 4cos10tt ，则cos4 21 tt，1 21 tt， 所以 222222 121
30、21 2 |()216cos218MPMQttttt t， 所以 22 |3 2MPMQ，即 22 MPMQ的最大值为3 2 【选修【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】 23 （10 分）已知函数( ) |1|2|f xxx （1）求不等式03)( xxf的解集； （2）设函数( )( )2|2|g xf xx，若存在x使 2 ( )2g x成立，求实数的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）当2x时，原不等式可化为043 x，无解； 当12x时，原不等式可化为0x，从而10 x； 当1x时，原不等式可化为02x，从而21 x 综上，原不等式的解集为0,2 （2）由 2 ( )2g x得 2 max ( )2g x，又( )( )2|2| |1|2| 3g xf xxxx， 所以 2 23，即 2 230，解得31，所以的取值范围为 1,3
