1、上海市杨浦区上海市杨浦区 20202020 届高三一模数学试卷届高三一模数学试卷 2019.12 一、一、填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，题，1 1- -6 6 每题每题 4 4 分，分，7 7- -1212 每题每题 5 5 分，共分，共 5454 分）分） 1.函数 1 2 ( )f xx 的定义域为 【答案】 ：(0,)x 【解析】 ： 1 2 1 ( )f xx x 所以定义域为(0,)x 2. 关于x，y的方程组 21 30 xy xy 的增广矩阵为 【答案】 ： 211 130 【解析】 ：根据增广矩阵的含义，所以是 211 130 3.已知函数( )f x的反函数
2、 1 2 ( )logfxx ，则( 1)f 【答案】 ： 1 2 【解析】 ：因为 2 1 log1 2 ，所以 1 ( 1) 2 f 4.设aR， 2 (1)aaaai为纯虚数（i为虚数单位） ，则a 【答案】 ：02a 或 【解析】 ：因为 2 (1)aaaai为纯虚数，所以 2 0 10 aaa a ，所以02a 或 5.已知圆锥曲线的底面半径为1cm，侧面积为 2 2 cm，则母线与底面所成角的大 小为 【答案】 ： 3 【解析】 ： 2 cl S (c为底面圆周长，l为母线长)，因为2c所以2l ，所以母 线与底面所成角的大小为 3 6.已知 7 (1)ax二项展开式中的 3 x系
3、数为 280，则实数a 【答案】 ：2 【解析】 ： 333 47 35280TCaa，所以2a 7.椭圆 22 1 94 xy 焦点为 1 F， 2 F，P为椭圆上一点，若 1 5PF ，则 12 cosFPF 【答案】 ： 3 5 【解析】 ：因为93a ，42b，所以945c ，所以 1( 5,0)F ， 2( 5,0) F， 2 256 51PFa ，所以 222 12 51(2 5)3 cos 2 1 55 FPF 8.已知数列 n a的通项公式为 * 1 (2) () 1 ( )(3) 2 n n n n anN n ， n S是数列 n a的前n 项和，则lim n n S 【答
4、案】 ： 7 2 【解析】 ：因为 11 12+ 48 n S ，所以 1 7 4 lim3+= 1 2 1- 2 n n S 9.在直角坐标平面xOy中，( 2,0)A ，(0,1)B，动点P在圆 22 :+2C xy 上，则 PA PB的取值范围为 【答案】 ：(210,210) 【 解 析 】： 因 为 22 +2xy ， 设(2c o s,2s i n)P， 则 ( 22cos ,2sin )PA ，(2cos ,12sin )PB ， 22 2 2cos2cos2sin2sinPA PB， 22 2cos2sin210sin()PA PB， (210,210)PA PB 10. 已
5、知 六 个 函 数 2 1 (1) . y x ；(2).cosyx； 1 2 (3).yx；(4).arcsinyx； 1 (5).lg() 1 x y x ；(6).1yx，从中任选三个函数，则其中弃既有奇函数又有偶 函数的选法有 种。 【答案】 ：12 【解析】 ：奇函数有(4)(5)，偶函数有(1)(2)，所以一共有两奇一偶2种，一奇两 偶2种，一奇一偶8种，合计12种 11.已知函数 1 ( )1(0)f xx x ，若关于x的方程 2 ( )( )230f xmf xm有 三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 【答案】 ： 34 (, 23 m 【解析】 ：设( )f xt，则
6、当(0,1)x时，t有两个解，当11,)x时，t有 一个解，因为 2 230tmtm有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因 此这两个解一定一个在(0,1)，另一个在11,)，当另一个为1x 时，两根 之积为0，此时 3 2 m ，而两根之和不可能为 3 2 ，矛盾，因此另一个在1,)， 因此 (0)0 (1)0 f f ，即 230 340 m m ，所以 34 (, 23 m 12.向量集合 ( , ), ,Sa ax y x yR，对于任意,S ，以及任意(0,1)， 都有(1)aS ，则称S为“C类集” 。现有四个命题： (1)若S为“C类集” ，则集合 ,Sa aSR也是“C类集”
7、 ； (2)若,S T都是“C类集” ，则集合 ,Sab aS bT也是“C类集” ； (3)若 12 ,A A都是“C类集” ，则 12 AA也是“C类集” ； (4)若 12 ,A A都是“C类集” ，且交集非空，则 12 AA也是“C类集” ；其中正确的 命题有 【答案】 ：(1)(2)(4) 【解析】 ：可以把这个“C类集”理解成任意两个S中的向量所表示的点的连线 段上所表示的点都在S上，因此可以理解它的图像成直线，因此(1)是对的，整 体的倍还是一条直线，同理(2)也是对的，(3)错了因因为这个表示两条直线， (4)也是对的，这表示一个点或是两直线共线时实还是一条直线。 二、选择题（
8、本题满分二、选择题（本题满分2020分）本大题共有分）本大题共有4 4题，每题都给出四个结论，其中有且题，每题都给出四个结论，其中有且 只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选 对得对得5 5分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13. 已知实数, a b，满足ab，则在下列不等式中恒成立的时（ ） 。 22 .Aab， 11 .B ab ，.C ab,.22 ab D 【答案】 ：D 【解析】 ：很明显D是对的，因为2xy 是增函数 14.要得到函数2sin(2) 3 yx 的图像，只要将2sin
9、2yx的图像（ ） . A向左平移 6 个单位 .B向右平移 6 个单位 .C向左平移 3 个单位 .D向右平移 3 个单位 【答案】 ：. A 【解析】 ：2sin(2)2sin2() 36 yxx ，所以是向左平移 6 个单位 15.设 1 z， 2 z为复数，则下列命题中一定成立的是（ ） . A如果 12 0zz，那么 12 zz .B如果 12 zz，那么 12 zz .C如果 1 2 1 z z ，那么 12 zz .D如果 22 12 0zz，那么 12 0zz 【答案】 ：C 【解析】 ：A错， 反例 12 1,zi zi ，B错， 反例 12 1,zzi，D错， 反例 12
10、1,zzi， 所以选C 16.对于全集R的子集A，定义函数 1() ( ) 0() A R xA fx xC A 为A的特征函数，设,A B 为全集R的子集，下列结论中错误的是（ ） . A若AB，则( )( ) AB fxfx .B( )1( ) R C AA fxfx .C( )( )( ) A BAB fxfxfx .D( )( )( ) A BAB fxfxfx 【答案】 ：D 【解析】 ：针对每个选项举例说明即可。D明显是错的，因为当xAB时， ( )1 A B fx ，( )( )1 12 AB fxfx ，不相等。 三、解答题三、解答题( (本本大大题题共共5 5题，共题，共14
11、+14+14+14+14+14+！6+18=6+18=7676分分) ) 17. 17. 如图，四棱锥PABCD,底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD,=1AB PA， 3AD ,E F分别为棱,PD PA的中点。 （1） 求证：,B C E F四点共面 （2） 求异面直线PBAE与所成的角 【答案】 （1）见解析;(2)arccos 2 4 【解析】 （1）证明：Q底面ABCD为矩形 BPADC 又QE,F分别为PD,PA的中点 PEFAD B,C,E,FBCPEF四点共面 （2）如图建系，则 2 1 (0,0,0) 22 A B(1,0,0) P(0,0,1) E (0, ) 2 1 =
12、1 0 -1= 22 PBAE 则（ ，） （0, ） 设异面直线PBAE与所成的角为 6 cos| 6 | PB AE PBAE ，则 异面直线PBAE与所成的角为 6 arccos 6 18.已知函数( )2, 2 x x a f x 其中a为实常数 （1）若(0)7f，解关于x的方程( )5f x （2）判断函数( )f x的奇偶性，并说明理由 【答案】 （1） 2 6, 1log 3ax 或 （2）1a时，为奇函数；1a 时，为偶函数1a时，为非奇非偶函数 【解析】 2 2 6 (1)(0)7 6 ( )2 2 6 ( )25 (2 )5 260 223 2 1log 3 x x xx
13、xx x faf x f x x Q 或 或 - - - - 20 ( )( )- (- )=0 111 2-2 -=0 2-2 -=2(1- )-(1- )=(1- ) (2 -)=0 222222 =1 ( )( )+ (- )=0 1 2+2 +=0 2+2 +=2(1+ 2222 x xxxxxx xxxxxx xxxxx xxxx xR f xf x fxxR aaa aaaa a f xf xfxxR aaa aa Q（ ） 2 若为偶函数，则对任意恒成立 即恒成立 若为奇函数，则对任意恒成立 即 11 )+(1+ )=(1+ ) (2 +)=0 22 =-1 =1( )=-1(
14、)1( ) x xx aa a af xaf xaf x 恒成立 综上，时，为偶函数；时，为奇函数；，为非奇非偶数函数 19.东西向的铁路上有两个道口,A B,铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15。，且 位于B的南偏东15。方向，D位于A的正北方向，2ACADkm,C处有一辆救护车欲 通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45。方向的E处（火车头位置）又一列火车 自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车与火车的速度均为60/km h。 （1）判断救护车通过道口A是否会受到火车影响，并说明理由 （2）为了尽快将病人送到医院，救护车应该选择,A B中的哪个道口？通过计算说明
15、【答案】 （1）会受影响，见解析 （2）从B道口走，见解析 【解析】 (1) =4=30 2 2 1 sinsin2 2 2 2 = 2 60 2 +1= 2+1 2 60 EACEACE AEACAE AE ACEE km km h km km h A V Q 。 中， CAE=105，5， 救护车与火车速度一样， 救护车到达A需要 火车通过A道口时间为 救护车通过道口会受影响 22 (2) ABCB=75=302 2 AB= 62 1 sinBsin62 2 4 6 = 62min 60 ABD=2 3- 3 2+2 3- 34.25min 1 BACACBACBC ACABAB ACB
16、B km h B ABADB V V 。 中， 火车到达 道口的时间为，而救护车通过B 道口的时间为 救护车通过 道口时火车尚未到达，可以直接通过 中，DB， 经到达医院总时间为 由（ ）得，救护车从A2+1 min 2+124.41min B 道口走，通过时间为火车过A道口时间（） 经A到达医院总时间为 从 道口去医院，更节省时间，选择从B道口过 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 :4C yx得焦点为F，点A是第一象 限内抛物线C上的一点，点D的坐标为( ,0),0tt （1）若|5OA ，求A点的坐标 （2）若AFDV为等腰直角三角形，且=90FAD 。，求点 D的坐标
17、 （3） 弦AB经过点D， 过弦AB上一点P作直线xt 的垂线， 垂足点为Q， 求证:“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点” 。 【答案】 （1）(1,2)A （2） 5+4 20（， ） （3）证明见解析 【解析】 22 222 1|OA|=+= 5=4 44 1 2 yy yyy Q（ ） 设A点为（, ）,则（） 解得又A在第一象限， A（ ，） 2 2,0) =901 +1-1 4=54 2 1 =5+4 2 22 tFADt tt yxttt Q Q 。 （ ） F(1,0) D(，易得，即D在F右侧，由等腰直角三角形得 A（， ） 点A在抛物线上，带入得， 1
18、12200 22 12 12 2 1200 2 11 11 2 2 30 A() () ABP() = 44 -4-4 =0 +=42 2 =4 - = () - = () ,-44( =4 ABAB ltlxmytxyxyxy yy xx xmyt ymytyymyym yx x xa yy x xa yy yay yx Q（ ）过点D（ ，） 设为：点，点B，中点， 且， 联立直线与抛物线得， 设点A处抛物线得切线为 联立直线与抛物线得 2 1111 2 2 1111 111 11 110 11 2 )0 (4 )4 4()0 -=0= -=()=2+ 2242 2 -22-2 =2+ )
19、,=-=2 A ” Q=4 Q ayxaayx yyyy aax xyyyyx x xtmytt yyx xxtymy yy PQxyxPAB V P Q （）过A处切线方程为，化简得（） （） 求切线（与直线得交点Q，得 轴与相切时， 为中点 以上直线与抛各步，均可逆，物线相切“的“”一个充要条件是 为弦的中点 。 21.已知无穷数列 n a的前n项和为 n S，若对于任意的正整数n，均有 212 0,0 nn SS ， 则称数列 n a具有性质P。 （1）判断首项为1，公比为-2的无穷等比数列 n a是否具有性质P，并说明理由。 （2）已知无穷数列 n a具有性质P，且任意相邻四项之和都相
20、等，求证： 4 0S （3）已知 * 21, n bnnN数列 n c是等差数列， 1 2 2 n n n bn a cn 为奇数 为偶数 ， 若无穷数列 n a具有性质P，求 2019 c的取值范围。 【答案】 （1） n a具有性质P （2）略 （3） 4039, 4037 【解析】 * 1 ( 2) (1),() 0 0 P 3 n nnnn SnNnSnSa 奇数时，偶数时，具有性质 12345678+1+2+3+4 4123444 * 114411 2 +=+=+ =4 S = +=PS =0 S =0 P,=0S0 S0 n nnnnnnn n nnn a aaaaaaaaaaaa
21、aaa aaaamamm aSanmnmanN n Q Q （ ）得任意相邻四项之和相等，即 即为以 为周期的数列 设，由具有性质 ，得，假设 则具有性质，对任意的恒成立 但 趋于无穷大时 * 411 4 S0 S = =0 n nmnmanN m ，趋于负无穷大，不可能对任意的恒成立 假设不成立 2 1 2 2 222 2123123 222 2 -111-1 3 = + 21 = +(1)0 = +=-1+-1 =(1)-2 nnn n nn n nnn nnn ccnWnn bn bna cn SbbbbccccnnnAnn SbbccnnnAnn Q Q （ ）为等差， 不妨设 的前 项和为AB 为奇数 又， 为偶数 ABB恒成立 A（） B（）（ A-B） 2 2 -1 2 22 201920192018 +0 =0010 -1 10(2)-102- -1=10 20 =-+ 20192019201820184037 4039, 4037 n n n AB SnBA A ASBnBBB BWnn cWWBBB 恒成立 B ，且（B+2） B
