1、 佳木斯一中高三学年第四次调研考试 数学试题（文科） 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1.已知集合 |10 Ax x，0,1,2B，则AB（ ）. A.0 B.1 C.1,2 D.0,1,2 2.已知mR，复数： 1 13 zi， 2 2zmi，且 12 zz为实数，则m（ ）. A. 2 3 B. 2 3 C.3 D.-3 3.圆 22 1: 430Cxyx与圆 22 2:( 1)(4)Cxya恰有三条公切线，则实数 a 的值是（ ）. A.36 B.16 C.6 D.4
2、 4.已知直线 1:(3 )4530la xya与 2:2 (5)80lxa y平行，则 a 等于（ ）. A.-7 或-1 B.7 或 1 C.-7 D.-1 5.如图，在正方体 1111 ABCDABDC中， 11 AB与平面 11 AAC所成角的余弦值是（ ）. A. 2 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 6 3 6.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要 选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没 有相同课程.则以下说法正确的是（ ）. A.丙没有选化学 B.丁没有选化学 C.
3、乙丁可以两门课都相同 D.这四个人里恰有 2 个人选化学 7.设，为两个平面，则的充要条件是（ ）. A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面 8.已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 1 42 xy 的左、右焦点，P 是此椭圆上一点，若为 12 FPF直角三角形，则这 样的点 P 有（ ）. A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 9.定义在 R 上的偶函数( )f x满足(2)( )f xf x， 且在 1,0上单调递减， 设( 2.8)af，( 1.6)bf， (0.5)cf，则 a，b，c 大小关系是（ ）. A.ac
4、b B.bca C.abc D.cab 10.已知 1 F， 2 F为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点，过原点 O 且倾斜角为30的直线 l 与椭圆 C 的一个交点为 A，若 12 AFAF， 12 2 F AF S，则椭圆 C 的方程为（ ）. A. 22 1 62 xy B. 22 1 84 xy C. 22 1 82 xy D. 22 1 2016 xy 11.在数列 n a中， 若 1 1a， 2 1 2 a， * 12 211 nnn nN aaa ， 设数列 n b满足 * 2 1 log n n bnN a ， 则 n b的前 7 项和 7 S为（ ）
5、. A.127 B.126 C.255 D.254 12.若点 A， F 分别是椭圆 22 1 43 xy 的左顶点和左焦点， 过点 F 的直线交椭圆于 M， N 两点， 记直线 AM， AN 的斜率为 1 k， 2 k，其满足 12 11 1 kk ，则直线 MN 的斜率为（ ）. A.2 B. 4 3 C. 6 5 D. 1 2 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上） 13.已知向量( 1,2) a，(3,1)b，( ,4)cx，若()abc，则x_. 14.设变量 x，y 满足约束条件 2 239 0 xy xy
6、 x ，则目标函数2zxy的最大是_. 15.在平面上给定相异两点 A，B，设 P 点在同一平面上且满足 | | PA PB ，当0且1时，P 点的轨迹 是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼新发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ， A， B 为椭圆的长轴端点， C， D 为椭圆的短轴端点， 动点 P 满足 | 2 | PA PB ， PAB 面积最大值为16 3 ，PCD面积最小值为 2 3 ，则椭圆离心率为_. 16.已知三棱锥PABC的四个顶点在球 O 的球面上， 且有PAPBPC，ABC是边长为 2 正三角形， E，F 分别是 PA
7、，AB 的中点，90CEF，则球 O 的体积为_. 三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置） 17.（本题 10 分） 已知圆 C 经过(1,3)A，( 1,1)B两点，且圆心在直线yx上. （1）求圆 C 的方程； （2）设直线 l 经过点(2, 2)，且 l 与圆 C 相交所得弦长为2 3，求直线 l 的方程. 18.（本题 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，已知AB侧面 11 BBCC，1ABBC， 1 2BB， 1 3 BCC . （1）求证： 1 C B平面 ABC； （2）求三棱锥 11 BACC的体积. 19.（本
8、题 12 分） 已知函数( ) |1|2|f xxx. （1）求不等式( )30f xx的解集； （2）设函数( )( )2|2|g xf xx，若存在 x 使 2 ( )2g x成立，求实数的取值范围. 20.（本题 12 分） 数列 n a的前 n 项和 n S满足2 nn San. （1）求证：数列1 n a是等比数列； （2）若数列 n b为等差数列，且 32 ba， 73 ba，求数列1 nn ab的前 n 项和 n T. 21.（本题 12 分） 已知 3 ( )(sin3cos)cos 2 f xxxx，其中0，若( )f x的最小正周期为. （1）求函数( )f x的单调递增区
9、间； （2）锐角三角形 ABC 中，(2)coscosacBbC，求( )f A的取值范围. 22.（本题 12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，左顶点为 A，右焦点为 F，且| 3AF. （1）求椭圆的方程； （2）过点 F 做互相垂直的两条直线 1 l， 2 l分别交直线:4l x于 M，N 两点，直线 AM，AN 分别交椭圆于 P，Q 两点，求证：P，F，Q 三点共线. 佳木斯一中高三第四次调研考试 数学（文科）试卷答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C B B C A D B C A A D
10、B 二、填空题 13.1 14.5 15. 3 2 16.6 三、解答题： 17【答案】 （1） 22 (1)(1)4xy（2）20x或4320xy 试题解析： （1）设圆 C 的圆心坐标为( , )a a， 依题意，有 2222 (1)(3)(1)(1)aaaa， 即 22 6921aaaa，解得1a， 所以 222 (1 1)(3 1)4r， 所以圆 C 的方程为 22 (1)(1)4xy. 5 分 （2）依题意，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 1， 所以直线2x符合题意. 设直线 l 方程为2(2)yk x，即220kxyk， 则 2 |3| 1 1 k k ，解得 4 3 k， 所
11、以直线 l 的方程为 4 2(2) 3 yx，即4320xy. 综上，直线 l 的方程为20x或4320xy. 10 分 18.详解（1）因为侧面 11 ABBBCC， 1 BC侧面 11 BBCC， 故 1 ABBC， 在 1 BCC中， 1BC， 11 2CCBB， 1 3 BCC ， 由余弦定理得： 222 1 122 1 2cos3 3 BC ， 所以 1 3BC故 222 11 BCBCCC，所以 1 BCBC， 而BCABB，所以 1 BC平面 ABC. 6 分 （2）点 1 B转化为点 B，因为 1 BC平面 ABC 所以 1 3 6 CABC V， 又 111 3 6 CABC
12、BACC VV 12 分 19.（1）当2 x时，原不等式可化为340x，无解； 当21 x时，原不等式可化为10x，从而01x； 当1x时，原不等式可化为20x，从而12x. 综上，原不等式的解集为0,2. 6 分 （2）由 2 ( )2g x得 2 max ( )2g x，又 ( )( )2|2| |1|2| 3g xf xxxx， 所以 2 223，即 2 230，解得13 ，所以的取值范围为 1,3. 2 分 20.解（1）当1n时， 11 21Sa，所以 1 1a 因为2 nn San，所以当2n时， 11 2(1) nn San， -得 1 221 nnn aaa，所以 1 21
13、nn aa， 所以 11 111 121 122 2 111 nnn nnn aaa aaa ， 所以1 n a是首项为 2，公比为 2 的等比数列. 6 分 （2）由（1）知， 1 12 2 n n a，所以21 n n a， 因为 2 3a， 3 7a，所以 32 3ba， 73 7ba， 设 n b的公差为 d，则 73 (73)bbd，所以1d 所以 3 (3) n bbndn， 12 n nnn cabn， 所以 123 1 22 23 22 n n Tn， 则 2341 21 22 23 22 n n Tn， 以上两式相减得： 231111 2 12 222222222 12 n
14、nnnnn n Tnnn， 所以 111 222(1)22 nnn n Tnn 12 分 21.试题解析： （1） 13 ( )sin2cos2sin 2 223 f xxxx ，最小正周期为， ( )sin 2 3 f xx ，令222 232 kxk ， 即 5 1212 kxk ，kZ， ( )f x的单调递增区间为 5 , 1212 kk ，kZ 6 分 （2）(2)coscosacBbC，(2sinsin)cossincosACBBC， 整理得：2sincossinABA， 1 cos 2 B， 3 B ， 锐角三角形 ABC，0 2 A 且 2 0 32 A 62 A ， 2 02
15、 33 A ，0( )1f A 12 分 22.（1）设椭圆的半焦距为 c，依题意： |3 1 2 2 1 c ae a c AFac ， 得 222 3bac，所以椭圆的方程是 22 1 43 xy . 3 分 （2）由题意可知，直线 1 l， 2 l的斜率均存在且不为( 2,0)A，(1,0)F，设 1 l， 2 l的斜率分别为 1 k， 2 k， 则 12 1 kk. 直线 1 l的方程为 1( 1)kyx，则 M 点坐标为 1 4,3k，得 11 3 422 AM kk K，设直线 AM 的方程为 1 (2) 2 k yx， 由 22 1 1 43 (2) 2 xy k yx 得： 2
16、222 111 344120kxk xk 因为2 x是方程的根，所以 2 1 2 1 62 3 P k x k ， 11 2 1 6 2 23 PP kk yx k . 同理可得 2 2 2 2 62 3 Q k x k ， 2 2 2 6 3 Q k y k . 当 2 2 1 62 1 3 l P k x k ，即 2 1 1k时，可得 2 2 1k，1 Q x，又(1,0)F，所以 P，F，Q 三点共线； 当 2 1 2 1 62 1 3 P k x k ，即 2 1 1k， 2 2 1k时， 1 2 11 22 11 2 1 6 23 621 1 3 PF k kk k kk k ， 2 2 1 2112 22222 2211 2 2 1 1 2 2223 62111 1 1 1 6 3 QF kkkkk k kkkk k k k ，得 QFPF kk，所以 P，F，Q 三点共线； 综上所述：P，F，Q 三点共线 12 分
