1、 2019-2020 学年湖北省黄冈市高三（上）学年湖北省黄冈市高三（上）9 月月质检质检 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 一、选择题已知集合 2 |230Ax xx， |lg(1) 1Bxx，则 RA B（ ） A. | 13xx B. | 19xx 剟 C. | 13xx D. | 19xx 2.若ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A.22 ab B.ln()0ab C. 11 33 ab D.| |ab 3.设 n S为正项等比数列 n a的前n项和，若 123 30SSS，且 1 1a 则 4 a （ ） A.9 B.18 C.21 D.27 4.几何学史上有一个著名的米勒问题：
2、“设点,M N是锐角AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一 点P，使得MPN最大”.如图，其结论是：点P为过,M N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上 结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点(1,4)N，( 1,2)M ，点P在x轴上移动，当 MPN取最大值时，点P的横坐标是（ ） A.1 B.7 C.7 或7 D.2 或7 5.在等腰直角三角形ABC与ABD中，90DABABC ，平面ADB 平面ABC，,E F分别为 ,BD AC的中点。则异面直线AE与BF所成的角为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6.已知函数 32 ( )331f xxxx，则函数
3、( )f x的图象在点(2,(2)f处的切线方程为（ ） A.350xy B.350xy C.350xy D.350xy 7.已知圆C与直线30xy相切，直线10mxy 始终平分圆C的面积，则圆C方程为（ ） A. 22 22xyy B. 22 22xyy C. 22 21xyy D. 22 21xyy 8.函数 2 3sin ( ) 1 xx f x x 在, 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9.将函数( )sin 2 6 f xx ， 若方程 4 ( ) 5 f x 的解为 1 x， 212 0xxx， 则 12 sin xx（ ） A. 3 5 B. 4 5 C. 3 5 D
4、. 4 5 10.椭圆 22 :1 93 xy C与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Qmn mn 焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为 1 时，双曲线Q的渐近线斜率是（ ） A.2 B. 2 2 C. 1 2 D.2 11.在等腰ABC，ABAC，6BC ， ，向量ADDC，则DC BC的值为（ ） A.9 B.18 C.27 D.36 12.在ABC中，点P满足3BPPC，过点P的直线与,AB AC所在的直线分别交于点,M N，若 AMAB，(0,0)ANAC，则的最小值为（ ） A. 2 1 2 B. 3 1 2 C. 3 2 D. 5 2 二.填空题（共 20 分） 13.若命
5、题“ 0 xR， 2 00 30xmx”为假命题，则实数m的取值范围是_. 14.已知在等差数列 n a中， 123 2aaa，且 234 5aaa，则 12345620192020 aaaaaaaa _. 15.某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg，如果该地区人口平均每年增长1%，粮食总产量平均每年增 长5%，那么x年后该地区人均年占有ykg粮食，则函数y关于x的解析式是_. 16.若函数 3 ( )3lnf xmxx在 1 ,e e 上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为_. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.已知命题 0 :pxR， 2 0
6、0 220xxm，:qxR ， 2 21 0xmx . （1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若()pq 为真命题，求实数m的取值范围. 18. 设 函 数()s i n () (0 ,0)yfxx，( )yfx 是( )yf x的 导 函 数 ， 若 ( )( )3( )g xf xfx 为奇函数，且对任意的xR有( ) 2g x . （1）求( )g x的表达式. （2）在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， tan tan2 B ag A ，求ABC的面积最大值. 19.已知数列 n a满足： 1 1 1 n n n a a a ，1 n a 且 1
7、2a （1）证明数列 1 1 n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （2）令 2 1 n n n b a 求数列 n b的前n项和 n S. 20.已知函数 2 ( )(0,)f xaxbxc abRcR. （1）若函数( )f x的最小值为( 1)1f ，且1c 吗， ( ),0 ( ) ( ),0 f x x F x f x x ，求(3)( 3)FF的值； （2）若3a ，1c ，且|( )|2f x在区间(0,2上恒成立，试求b的取值范围. 21.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD草坪如下图所示，已知：120AB米， 60 3BC 米， 拟在这块草坪
8、内铺设三条小路,OE EF和OF， 要求点O是AB的中点， 点E在边BC上， 且90EOF . （1）设BOE，试求OEF的周长l关于的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为 300 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费 用. 22.已知函数( )(ln ) x f xa xxxe. （1）当1a 时，求函数( )f x的极大值； （2）若( )0f x 在1,)x上恒成立，求实数a的取值范围. 2019-2020 学年湖北省黄冈市高三（上）学年湖北省黄冈市高三（上）9 月质检数学试卷（文科）月质检数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案
9、与试题解析 一、选择题 1.【答案】C 【解答】解： |1Ax x ，或3x ， |01 10 | 19Bxxxx 剟， R | 13Axx剟， R | 13ABxx . 故选：C. 2.【答案】C 【解答】解：ab，22 ab ，ln()ab与 0 的大小关系不确定，|a与|b的大小关系不确定. 根据函数 1 3 ( )f xx在R上单调递增，可得 11 33 ab. 则下列不等式恒成立的是 C. 故选：C. 3.【答案】D 【解答】解：设正项等比数列 n a的公比为(0)q q ， 由 123 30SSS，且 1 1a ，得 2 13(1)10qqq，即 2 230qq，解得3q . 3
10、41 27aa q. 故选：D. 4.【答案】A 【解答】解：依题意，设P点坐标为( , )a b， 则圆的方程为 222 ()()xaybb， ,M N两点在圆上，所以 222 222 ( 1)(2) (1)(4) abb abb ， 解得 1 2 a b 或者 7 10 a b （舍） ， 故P点的横坐标为 1， 故选：A. 5.【答案】C 【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间 直角坐标系， 设1AB ， 则(0,0,0)A，(0,1,0)B，(0,0,1)D， 1 1 0, 2 2 E ，(1,1,0)C， 1 1 ,0 2 2
11、F ， 1 1 0, 2 2 AE ， 11 ,0 22 BF ， 设异面直线AE与BF所成的角为， 则 1 |1 4 cos 2| |11 22 AE BF AEBF ， 3 . 故选：C. 6.【答案】A 【解答】解：求导函数，可得 2 ( )363fxxx (2)3f ， (2)1f； ( )yf x的图象在点(2,(2)f处的切线方程为13(2)yx ， 即350xy； 故选：A. 7.【答案】D 【解答】解：直线10mxy 始终平分圆C的面积， 直线10mxy 始终过圆的圆心(0,-1)， 又圆C与直线30xy相切，则圆的半径 | 13| 2 2 r . 圆C的方程为 22 (1)2
12、xy，即 22 21xyy. 故选：D. 8.【答案】C 【解答】解： 22 3sin()3sin ()( ) 11 xxxx fxf x xx ， ( )f x为奇函数，故排除 A，B， 当 6 x 时， 2 3 26 0 6 1 36 f ，故排除 D， 故选：C. 9.【答案】A 【解答】解：因为0x，所以 7 2, 666 x . 又因为方程 4 ( ) 5 f x 的解集为 1 x 212 0xxx， 所以 12 23 xx ，所以 21 2 3 xx ， 所以 1211 2 sinsin 2cos 2 36 xxxx . 因为 12 xx， 21 2 3 xx ，所以 1 0 3
13、x ， 所以 1 2, 66 2 x ， 由 11 4 sin 2 65 fxx ，得 1 3 cos 2 65 x 所以 12 3 sin 5 xx . 故选：A. 10.【答案】B 【解答】解：椭圆 22 :1 93 xy C与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Qmn mn 焦点相同，可得焦点坐标 (6,0). 椭圆的离心率为： 6 3 ，双曲线的6c ， 这两条曲线的离心率之积为 1， 所以双曲线的离心率为： 366 26 c am ，解得2m，则2n . 双曲线Q的渐近线斜率是： 2 2 . 故选：B. 11.【答案】A 【解答】解：由题意如图：在等腰ABC中，ABAC，6BC
14、 ，向量ADDC，D为AC的中点， 可作AEBC，E为BC的中点，DFBC，F为CE的中点， 所以 3 |cos69 2 DC BCBC CDDBC. 故选：A. 12.【答案】B 【解答】解：ABC中，BPBAAP，PCPAAC 点P满足3BPPC，3()ABAPACAP 31 44 APACAB AMAB，(0,0)ANAC， 31 44 APANAM 因为, ,B P C三点共线，所以， 31 1 44 ，0，0 31333 ()1121 4444442 当且仅当3时取“=” ，则的最小值为 3 1 2 故选：B. 二.填空题（共 20 分） 13.【答案】m 【解答】解：命题“ 0 x
15、R， 2 00 30xmx”为假命题， 其否定“xR ， 2 3 0xmx ”为真命题. 则 2 12 0m，得m. 故答案为：m. 14.【答案】1010 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 123 2aaa， 234 5aaa， 35 2d ， 1 332ad， 解得1d ， 1 1 3 a ， 134 1 33 n n an . 212 1 nn aa . 则 12345620192020 1010aaaaaaaa . 故答案为：1010. 15.【答案】 1.05 420 1.01 x y ， * xN 【解答】解：设该地区人口为m，粮食产量为n，则420 n m ， x年后，
16、该地区人口数为(1 1%)(1.01) xx mm， x年后，该地区的粮食产量为(1 5%)(1.05) xx nn， 故x年后，该地区人均占有粮食为 (1.05)1.05 420 (1.01)1.01 x x x n m . 故答案为： 1.05 420 1.01 x y ， * xN. 16.【答案】 1 1,3 3e 【解答】 解： 2 2 3 3(1)1 3 ( )3 xxx fxx xx ， 1 ,1x e 时，( )0fx ，( )f x单调递增，(1, xe 时，( )0fx ，( )f x单调递减； max ( )(1)1f xfm， 3 11 3fm ee ， 3 ( )3f
17、 eme， ( )f x在 1 ,e e 上有两个不同的零点，则 3 3 10 1 30 30 m m e me ，解得， 3 1 13m e ， 故答案为： 1 1,3 3e . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.【解答】解： （1）q为： 0 xR， 2 00 210xmx ， 命题q为真命题时，有 2 1 440m，则1m 或1m； （2）若()pq 为假命题，则p假q真. 由 0 xR， 2 00 220xxm为假知，xR ， 2 220xxm为真， 则 2 480m. 1 2 m ； 命题q为真命题时，有 2 1 44 0m ，则11m 剟.
18、 所以当()pq 为假命题时，m的取值范围是 1 ,1 2 . 18.【解答】解（1）函数( )sin()(0,0)yf xx ，( )yfx 是( )yf x的导函数. 所以( )cos()fxx ， 则( )( )3( )sin()3 cos()g xf xfxxx 由于对任意的xR有( ) 2g x . 所以 2 max ( )1 ( 3 )2g x，解得1. 由于函数( )g x为奇函数，所以(0)sin3cos0g， 由于0， 所以 2 3 ， 则 2 ( )2sin2sin 33 g xxx . （2）由于 tan 2 tan2 B ag A ， 且cos sin2sincosAB
19、AB， sin sin bB aA ， 2sin sin B b A sinsin()sincoscossin3sincosCABABABAB. 所以 112sin sin23sincos3sin2 22sin ABC B SabCABB A ， 当 4 B 时， ABC S的最大值为 3. 19.【解答】解： （1）证明：由 1 1 1 n n n a a a ，得 1 11 1 111 n nnn a aaa ， 可得 1 11 1 11 nn aa ， 即数列 1 1 n a 是以 1 1 1 1a 为首项，1 为公差的等差数列， 且 1 11 1 n nn a ，则 1 1 n a n
20、 ； （2） 2 2 1 n n n n bn a ， 23 1 22 23 22n n Sn ， 2341 21 22 23 22n n Sn ， 得 2311 2 12 222222 12 n nnn n Snn ， 则 1 2(1) 2n n Sn . 20.【解答】解： （1）由已知1c ，1abc ，且1 2 b a ， 解得2a ，4b， 2 ( )2(1)1f xx； 2 2 2(1)1,0 ( ) 12(1) ,0 xx F x xx ， 22 (3)( 3)2 (3 1)1 12 ( 3 1)24FF ； （2）由3a ，1c ，得 2 ( )31f xxbx， 从而|( )
21、|2f x在区间(0,2上恒成立等价于 2 2 31 2xbx剟在区间(0,2上恒成立， 即 1 3bx x 且 3 3bx x 在(0,2上恒成立. 又 1 3yx x 在(0,2递减，可得其最小值为 11 2 ， 31 336yxx xx ，当且仅当1x 时，取得等号，可得其最大值为-6. 11 6 2 b剟. 故b的取值范围是 11 6, 2 . 21. 【解答】 解：（1） 由题意， 在Rt BOE中，60OB ，90B ，BOE， 60 cos OE ，Rt AOF 中，60OA，90A ，AFO 60 sin OF . 又90EOF ， 22 22 606060 cossincos
22、sin EFOEOF ， 所以 606060 cossincossin lOEOFEF ， 即 60(sincos1) cossin l 当点F在点D时，这时角最小，求得此时 6 ； 当点E在C点时，这时角最大，求得此时 3 . 故此函数的定义域为, 6 3 . （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF的周长l的最小值即可. 由（1）得， 60(sincos1) cossin l ，, 6 3 ， 设sincost，则 2 1 sincos 2 t ， 2 60(sincos1)60(1)120 1cossin1 2 t l tt . （8 分） 由, 6 3 ，得 57 12412
23、 剟，得 31 2 2 t 剟， 31 121 2 t 剟， 从而 1 2131 1t 剟，当 4 ，即60BE 时， min 120( 21)l， 答：当60BEAF米时，铺路总费用最低，最低总费用为36000( 21)元. 22. 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 函 数 定 义 域 为(0,)， 当1a 时 ，()l n x fxxxx e， 由 11 ( )1(1)(1) x x xe fxxex xx ， 令( )0fx ， 0 (0,)x，使 0 0 10 x x e， 当 0 0,xx时，( )0fx ，( )f x单调递增；当 0, xx，( )0fx ，( )f x单调递减；
24、 0 0000 ( )ln x f xf xxxx e 极大值 ， 由 0 0fx 知 0 0 1 x x e， 0 0 1 x e x ， 0 0 1 lnln x e x ，即 00 ln0xx，故 ( )1f x 极大值 ， （2）由 (1) 1 ( )1(1) x x xaxe fxaxe xx ，(1)x， 当0a时，( )0fx ，( )f x在1,)上单调递减，( )f xf(1)0ae满足题意； 当0a e 时，1x，0 x axe，( ) 0fx .( )f x在区间1,)单调递减， ma x ( )f xf (1)0ae，0ae ； 当ae时， 0 (1,)x使 0 0 0 x x ea， 当 0 1,xx时，( )f x单调递增； 当 0, xx时，( )f x 单调递减； 0 max0000 ( )ln(ln1)0 x f xf xa xxx eaa，( )0f x不恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是(, ) e.
