1、运动定理运动定理 功与能 有心力问题 动量运动定理运动定理 角动量定理 动量守恒动量守恒 动量定理动量定理 变质量问题变质量问题 光滑的水平地面上有小车质量为2000kg。车上站有20人,每人质量50kg。小车初始静止，后来车上站的人从车上以水平速度v相对车向后跳出。问若20个人一齐跳和每人依次跳，跳后车速各为多少?哪一种跳法车速较大？解：（1）动量守恒 Mv+20m(v+v)=0 v=-20mv/(M+20m)=-v/3（2）动量守恒,第一跳（M+19m)v1+m(v1+v)=0 v1=-mv/(M+20m)第二跳 （M+18m)v2+m(v2+v)=（M+19m)v1 v2=v1-mv/(
2、M+19m)v20=-m/(M+20m)+m/(M+19m)+m/(M+m)v=-0.404v 一原質量為m的火箭以速度v沿水平方向運動,在運動過程中它不斷地向后噴射出燃燒后的廢氣,巳知在t時間內噴出廢氣m,廢氣相對地面的速度為u,在這過程中火箭獲得多大的推力?mv=(m-m)(v+v)+um mv=(v-u)m=vm v相对速度推力=mv/t=v m/t变质量系统 火箭问题 利用动量守恒原理对火箭的运动作一些定量分析 在时刻t，物体质量为m，速度为v，在很短时间内俘获相对速度为u的微小质量dm，由动量守恒关系：俘获质量时dm0；释放质量时dm0.mvdmuvdvvdmm)()(udmmdvm
3、+dmmvv+dvv-u-dm0)()()(dmuvvdmmdvd(mv)火箭动量的增量燃料的动量（dm0）mudtdmmudtdv火箭的加速度：火箭的加速度：udmmdv火箭的推力：火箭的推力：udtdvm火箭的速度：火箭的速度：mudmdv/对比：mv=(v-u)m=vmmmvmdmudv00mmuv0ln 齐奥科夫斯基公式结构系数火箭运动的速度决定于：结构系数，排气速度。对比：v20=-m/(M+20m)+m/(M+19m)+m/(M+m)v=-0.404v.),(ppdtdFvmdtddtvdmamF动量定理动量定理由牛顿第二定律：动量定理的微分形式121221vmvmppdtFItt
4、 动量定理的积分形式例：长为l质量为m的软绳，自静止下落。开始（t=0)时，绳的下端与桌面恰相接触，求下落过程中桌面对绳的反作用力。Zolzl-z 具体分析（质点组问题）运动方程（质心运动定理）0mamgNlzmzmzzzlz2/2/2/0)(:220质心坐标 lm/线密度lzzv/0.)(2,zlgzgz./)32(0lgzla)./1(30lzmgmamgN.3,0mgNz 时当!?./)(/200lzzzalzzv Zolzl-z例例在水平桌面上有一卷质量为m、长为l的链条，其一端用手以恒速v竖直向上提起（如图所示），当提起的长度为x时，(1)求手的提力为多少？做功多少？(2)链条获得的
5、机械能为多少？(3)比较以上功与机械能变化是否相等，你能解释吗？vx解:取提起的这一段链条为研究对象，它受到的合力为手的提力与这一段自身的重力之和，即 链条在dt时间内，一段长度为dx=vdt的链条由静止加速到v，其动量的增量为 dxlvmdxdxdmvvdmlmgxF/dxlvmdtlmgxF)/(lmvlxmgdtdxlvmlxmgF2该力做功为（2）链条获得的机械能为动能和势能之和（3）功与机械能变化的差是lxmvlmgxFdxAx/2/220lxmvlmgxE2/2/2202/2lxmvEA用功能原理来求力得不到正确结果!cosFdrrdFdw元功nnnwwwrdFrdFrdFrdFF
6、FrdFw21)2()1()2()1(2)2()1(1)2()1(21)2()1()(曲线的功曲线的功合力所做的功等于分力所做功的代数和。rFw内积内积(标量积标量积)功功cossinTmgTFdsFsdFAcos)cos1(sin)(costan00mgRdmgRRdmgATmgFtanmgF 求求F F做的功做的功TmgF求求F F做的功做的功0GTFFi0GTFAAAA0TAGFAA功的性质(1)功是过程量，一般与路径有关。(2)功是标量，但有正负。(3)合力的功为各分力的功的代数和。nwwww21引力的功引力的功 两个质点之间在万有引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,M指向m的方向
7、为矢径r的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a 点运动到b点，万有引力的功:rderGMmrdFWbarba2cosre drdrdr)11(2babarrGMmdrrGMmW与路径无关与路径无关弹力的功弹力的功 kOaFbFkOacbOaFkkxF)(2122baxxbaxxkkxdxWbaba)(21)(212222bccaxxxxbcaxxkxxkkxdxkxdxWbccabcakOaFbFkOa)(2122baxxk0Potential energy(势能势能)与相互作用物体的位置有关的能量。VVVrdFrdFWBABABABA21 BAABWV Then
8、VIf 0 势能的增量等于保守力所做功的负负值.(1)保守力做功 势能Gravitational potential energy)11(babarrGMmWbaVV)(2122babaxxkWElastic potential energybaVV rGMmV221kxV?c?mghV OAOAArdFWV 或VVVWBABA关关 于于 势势 能：能：(1)势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。(2)势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能的差与之无关。不同保守力对应的势能，其零势能位形的选取可以不同。(3)势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所
9、共有。(4)与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与参考系无关。势能是谁的？你的，我的，我们的？守恒还是不守恒？与参考系有关吗？kOV功能原理作用于质点的力F FFc所作的功Wc可用势能的减少来表示.Fd所作的功Wn不（可）用势能的减少来表示.2121().cnnTTWWWVVW 2211()().nTVTVW系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的功的总和。例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆轨道上,轨道半径为,求卫星的势能动能和机械能.(不计空气阻力)（1）势能./2mgRV./222mgRmv（2）动能2/2mvT RO.2/2mgRVTE.2/2/2222mgRmv
10、TgRv 相图 （分析运动状态的图解）例：光滑桌面上的弹簧振子。（质量为m，弹簧的劲度系数为k）作（1）V势x曲线，（2）v速度x曲线，并讨论其运动情况。mxxoxV3E2EE0 xov221221kxmvE总221kxV势)cos(0tAxmkIPhO14-1 一质点沿正半轴OX运动，作用在质点上有一个力F(x)=-10N。在原点有一完全反射的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。质点以E0=10J的动能从x01.0m出发。（1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度，（2）画出质点在力场F中的势能图，（3）描绘出作为x函数的速度的定性图。(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速度为11
11、，下落时加速度为9，落回地面后又弹起。所以直到在原点速度为零才会静止。F是保守力，所以 fS=E0+|F|x0 S=20m.(2)Ep=|F|x+c(3)向上时加速度为11，下落时加速度为9 （半个收缩的螺线）)(22xxavm 动能定理（1）动能定理（2）质点组的动能与质心的动能（3）机械能守恒原理与功能原理 质心运动定理质心运动定理动量定理动量定理质点组的动量守恒 质心的动量守恒 质点组的动量 质心的动量。内力不可能改变质点组的动量。（注意：各分量的守恒问题！）质点的动能定理),3,2,1(,1,1,2112NiWWWWWWTTiNiiiiiiittitti外ikikiiittiittii
12、WWTT外12外内WWTTtttt12 质点组的动能定理FikFkidridrk质点i质点k内力可以改变 质点组的动能（1）动能定理TTvmvmTiii022002121柯尼希定理质点组的动能质点组的动能=质心的动能质心的动能+质点组相对于质心的动能质点组相对于质心的动能 两体问题两体问题的动能的动能碰撞前的相对运动动能：2212)(2121uumvmT碰撞后的相对运动动能：22122)(2121uumevmT碰撞前后的动能改变：2212)(21)1(uumeTTe=1,T=0;e1,Tu2)22112211vmvmumum 动量守恒原理碰撞前碰撞后 碰撞过程)(:21121uuevveII
13、常数 恢复系数 0=e=1 动量守恒原理+恢复系数的定义研究对心碰撞问题的两个基本方程式.)(,)(212112122112212122122111mmuumemmumumvmmuumemmumumv.0,211211212122111mumemumveumumemumv0212umm质心的速度0212umm请考虑情况：m1=m2的完全弹性碰撞交换速度练习：试在质心系中求解对心碰撞 两体问题两体问题的动能的动能 About kinetic energy Before collision：2212)(2121uumvmTAfter collision：22122)(2121uumevmT)(21
14、uue Relative velocity,after collisionTherefore：2212)(21)1(uumeTTe=1,T=0;e1,T0220002121vmvmTTT2222121121vmvmT资用能：available energy,对撞机Example:The gravitational slingshot effect.The planet Saturn moving in the negative x-direction at its orbits speed(with respect to the sun)of 9.6km/s.The mass of the S
15、aturn is 5.691026kg.A spacecraft with mass 825kg approaches Saturn,moving initially in the+x direction at 10.4km/s.The gravitational attraction of Saturn causes the spacecraft to swing around it and head off in the opposite direction.Find the speed of the spacecraft after it is far enough away to be
16、 nearly free of Saturns gravitational pull.非对心碰撞（斜碰）碰 撞 Collisions（2-D）m1u1m2u2v1v2X12Y 在垂直于联心线的方向两球各自运动（在垂直于联心线的方向两球各自运动（Y Y轴方向）轴方向）.sin,sin22221111uuvuuvyyyy 在联心线方向两球相互压缩后恢复（在联心线方向两球相互压缩后恢复（X X轴方向）轴方向）).(,211222112211xxxxxxxxuuevvvmvmumum.)(,)(212112122112212122122111mmuumemmumumvmmuumemmumumvxxxx
17、xxxxxx角动量 与角动量守恒 匀速直线运动的匀速直线运动的 一个守恒量一个守恒量掠面速度:Areal velocitysin21/21rvtSOHdtdA掠面速度：掠面速度：位矢r r 在单位时间内扫过的面积。推广到有心力！推广到有心力！掠面速度Cc/SBCc/SB，所以三角形，所以三角形SBCSBC与与SBcSBc等高等高221sin21 rrvdtdA有心力作用下掠面速度相等。牛顿的推理：牛顿的推理：.面积面积SBcSAB?面积面积SBCSBc有心力作用下有心力作用下什么守恒？什么守恒？守恒量221 sin21 rrvdtdAL 2sinsinmrrprmvm定义：定义：动量矩角动量p
18、rvmrLL mmImrL2Moment of inertia转动惯量转动惯量结论：有心力作用下掠面速度相等，故角动量守恒。动量矩(角动量）定理 质点对轴的动量矩等于对轴上任意一点的动量矩在该轴上的投影。关于轴线的动量矩（角动量的分量）prvmrLzApypxBpCyyxxxmyymxypxpLxyz zAFyFxBF Cyyxx 直角坐标系xyzyFxFM 力对线的力矩 极坐标系FMABF F BAF CFrM 力对参考点力对参考点o o的力矩的力矩M M：受力质点相对：受力质点相对于于o o点的位置矢量点的位置矢量r r与力与力F F矢量的矢积。矢量的矢积。AFMro M=Frsin 力对
19、于参考点的力矩力对轴上任意一点力力对轴上任意一点力矩在该轴上的投影等矩在该轴上的投影等于力对该轴的力矩。于力对该轴的力矩。动量矩(角动量）定理平面运动极坐标：极坐标：)()(22mrdtdrdtdmrF)(IdtdMz)(1222 rdtdrmrmmrmaFmrrmmaFrr可以变化)(xmdtdFx 直角坐标：直角坐标：xmyymxyFxFMxmyymxypxpLxyzxyz dtdLMzz请自己证明：LdtdMLdtdMNii1动量矩(角动量）守恒 若作用于质点的力对参考点o的力矩之和保持为零，则质点对该点的动量矩不变。0,00121LLLMMNii或当外演示：直升飞机开普勒第二定律开普勒
20、第二定律对任一个行星说，它的径矢在相等的时内扫过相等的面积。dtvmdrFr)(由质点动力学方程dtvmrddtvmdr)()(dtvmdrvmdtrddtvmrd)()(LdtdMvmrdtdFrM)(=0动量矩定理:质点对参考点o的动量矩的时间变化率就等于质点所受力对于o点的力矩。关于点的动量矩定理 Theorem of angular momentum about a point 运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。作用力作用力有心力有心力，定点定点力心力心 在有心力作用下，质点在通过力心的平面内运动。在有心力作用下，质点在通过力心的平面内
21、运动。有心力有心力问题的基本方程 以力心为极点的极坐标系两个基本方程横向径向0)(122 dtdmFmmmhm2EVm)()(2122动量矩守恒原理动量矩守恒原理机械能守恒原理机械能守恒原理有心力为保守力The Laws of Planetary Motion Keplers First Law:The orbits of the planets are ellipses,with the Sun at one focus of the ellipse.行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。圆的一个焦点上。Keplers Second Law:
22、The line joining the planet to the Sun sweeps out equal areas in equal times as the planet travels around the ellipse.对任一个行星说，它的径矢在相等的时间对任一个行星说，它的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。内扫过相等的面积。动量矩守恒Keplers Third Law:The ratio of the squares of the revolutionary periods for two planets is equal to the ratio of the cubes
23、of their semimajor axes:行星绕太阳运行轨道半长轴行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方的立方与周期与周期T的平方成正比的平方成正比T2/a3=K引力与距离引力与距离平方成反比平方成反比例题：例题：人造卫星沿着椭圆轨道运动，近地点离地心的距离为r1,远地点离地心的距离为r2,地球的质量为M，卫星的质量为m，求：（1）卫星在近地点和远地点的速度；（2）卫星的总机械能。2212121 12 222112121212212112222GMmGMmmvmvrrmv rmv rrGMvrr rrGMvrr rGMmErr 试导出开普勒第三定律！2/32222121222121211222
24、)(,2aGMTabGMmTabmdtdsmLbcacarrcarcarabGMmrrrrGMmrmvLIPhO11-1 一质量为m=12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h=100km。为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10000m/s，月球半径R=1700km,月球表面的重力加速度为g=1.7m/s2。飞船可用两种不同方式到达月球（如图）（1）到达月球上A点，该点正好与X点相对；（2）在X点给一只向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点。试计算上述两种情形下所需要的燃料量。分析：画出两种情形的完整轨道。用能量判断轨道：
25、是否椭圆？哪一种情形燃料更多？飞船被加速还是减速了。圆轨道速度 hRgRv220hRmgRE22)(22hRmgRE（1）XA之间距离即新轨道长轴为2R+h，能量为原轨道长轴为2(R+h),能量为在X点需要改变的动能：在X点需要改变的动能：hRmgRhRmgREEmvmv2)(2212122202)(2(232hRhRgRvkgvuvmvvuvvmvuvmmv7.28)()()(0000)/24(smv RmgRmvhRmgRmvmvRhRvvRmvhRmvBBB22222000212121/)()(smvhRghv/97,22kgvumvvumv115)(（2）Problem4.Solution“质心系中，位移范围为质心系中，位移范围为L/2,偶数次碰撞后位移为零，平偶数次碰撞后位移为零，平均速度为零，故质心速度即均速度为零，故质心速度即为所求。为所求。
