1、一、曲线运动的发生条件一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在一直线合外力方向与速度方向不在一直线二、曲线运动的特点二、曲线运动的特点速度方向一定变化速度方向一定变化切向力改变速度大小切向力改变速度大小法向力改变速度方向法向力改变速度方向vFnFt三、求解曲线运动问题的运动学基本方法三、求解曲线运动问题的运动学基本方法矢量的合成与分解矢量的合成与分解微元法微元法概述概述四、常见的曲线运动形式四、常见的曲线运动形式1.基本形式基本形式（1）抛体运动）抛体运动平抛运动平抛运动斜抛运动斜抛运动（2）圆周运动）圆周运动2.比较复杂的曲线运动比较复杂的曲线运动（1）螺旋运动）螺旋运动平面螺旋平面
2、螺旋螺距运动螺距运动（2）漂移圆周运动）漂移圆周运动v2v1xpRxyO Hh例例1如图所示，球1和球2均从同一点水平抛出，起抛点离水平地面的高度为H，水平速度分别为v1和v2（v1 v2）。球1抛出后刚好能越过位于xp处的竖直杆顶端，并落于地面上的R点，R点与O点的距离为R。球2抛出后落于地面，与地面做弹性碰撞，反弹后也刚好能越过杆顶，并落在同一点R。试求：（1）两球初速度的比值；（2）杆的位置xp；（3）杆的高度h。一一平抛运动平抛运动点评一：平抛运动要点点评一：平抛运动要点（1）概念：）概念：语言描述：数学解析式描述：一0vvxga 图象描述：0vga（2）运动特点：）运动特点：水平方向
3、：匀速直线运动竖直方向：自由落体（3）运动规律：）运动规律：水平方向：tvx0竖直方向：221gty gtvygyvy22（4 4）质点运动的轨迹方程）质点运动的轨迹方程轨迹方程轨迹方程运动方程运动方程()(,)0()txx tf x yyy t 消去()()()rr tx t iy t jrP(x,y)xOyxy()()xx tyy ttvx0221gty 2202xvgyxyO0vxyO0vtvx0221gty2202xvgyxyOH0vtvx0221gtHy2202xvgHyxyOH0vaatvx0221gtHy220)(2axvgHy（5 5）两点讨论）两点讨论位移的讨论位移的讨论xy
4、O0vsxytvx0221gty 22yxs方向：002221tanvgttvgtxy速度的讨论速度的讨论xyO0vxvyvv0vvxgtvy22yxvvv方向：0tanvgtvvxy（6 6）二级结论）二级结论表述方式一：表述方式一：平抛运动中，任一时刻物体速度方向与水平方向夹角的正切值，等于从运动开始到这一时刻物体的位移方向与水平方向夹角正切值的二倍。00tan22tan2gtgtvv表述方式之二表述方式之二 ：平抛运动中，任一时刻物体速度的反向延长线与初速度延长线的交点，是这段时间内物体水平位移的中点。0221vgtOAxgt证明：证明：如图所示，任取点P，作其切线的反向延长线交x轴与A
5、点12OAx简化表述方式：交点是中点简化表述方式：交点是中点xyO0vvxvyvPAyv2v1xpRxyO Hh点评二：此题中小球的轨迹方程点评二：此题中小球的轨迹方程2202xvgHy点评三：运动的对称性分析点评三：运动的对称性分析R/32R/3小球1：起抛点、杆的顶端、落地点R；小球2：起抛点；第一次落地点：31Rx 杆的顶端；反弹到最高点：322Rx 落地点R。解析：解析：v2v1xpRxyO HhR/32R/3（1）由平抛运动轨迹方程有：球1：球2：2212xvgHy2222xvgHy落地点坐标：（R，0）22120RvgH 第一次落地点坐标：（R/3，0）222)3(20RvgH 3
6、21vvv2v1xpRxyO HhR/32R/3（2）球2反弹后的轨迹方程：2222xvgHyRxx32式中222)32(2RxvgHy2212xvgHy球1：222221)32(22RxvgHxvgHRx 2Rxp舍去v2v1xpRxyO HhR/32R/3（3）球1：2212xvgHy两个特殊点：（xp，h）和（R，0）221)2(2RvgHh22120RvgH Hh43例例2如图所示，在一倾角为的斜面上，以初速度v0水平抛出一小球，落到斜面上，不计空气阻力，试讨论下列问题：（1）小球在空中的运动时间；（2）小球离斜面的最大高度；（3）证明小球落到斜面上时的速度方向与水平初速度v0无关。v
7、0v0解析：解析：建立图中所示直角坐标系xy小球的运动分解为：x轴方向：初速度？加速度？y轴方向：初速度？加速度？g（1）小球在空中的运动时间tgvcossin20gvttan20（2）小球离斜面的最大高度Hgvcos2)sin(20cos2sin220gvH（3）证明tan2tan例例3（2014模拟）大学新生军训演练中，同学们正在教官指导下进行投掷训练。（1）若已知手榴弹出手时速率为v0，与水平方向的夹角为，则手榴弹在空中运动的最小速率为多少？（2）若已知手榴弹出手时速率为v0，则其与水平方向夹角为多少时射程最远？最远射程为多少？（3）若已知目标离投掷点（手榴弹脱手时的位置）的水平距离为s
8、，竖直高度为h，手榴弹质量为m。要准确命中目标，对手榴弹至少要做多少功？（以上过程中，均忽略空气阻力。）二二斜抛运动斜抛运动xyv0点评：斜点评：斜抛运动要点分析抛运动要点分析（1）运动的分解）运动的分解水平方向：cos0vvx竖直方向：sin0vvy（2）空中运动时间）空中运动时间ttvvgsinsin00gvtsin20（3）射程）射程X和射高和射高Y2sinsin2cos2000gvgvvtvXxgYvy22gv2sinY220（4）极值讨论）极值讨论当=450时，gvXm20（5）轨迹方程）轨迹方程tvxcos02021singttvyxxvgytancos22220当=900时，gv
9、2Y20mXY1sintanseccosctgcsc（1）手榴弹做斜抛运动，将其初速度分解为水平和竖直两个方向，则有：解析：解析：cos00vvxsin00vvy当手榴弹运动到最高点时，竖直方向的分速率为零，此时速率最小，其值为：cos0minvvvxo（2）设手榴弹出手时速度与水平地面的夹角为，空中运动时间为t，射程为L，则有：tvtvLxcos00tvtvvgyysin2000gvgvvL2sinsin2cos2000因此，当=450时，射程最远。最远射程为：gvL20max（3）设的手榴弹出手时速度为v0，方向与水平地面成角，以投掷点为坐标原点，竖直向上为y轴正方向，则t时刻手榴弹的位置
10、坐标为：tvxcos02021singttvy因手榴弹准确命中目标，故目标位置满足位置方程，即：cos0tvs 2021singttvh消除参数t，得：)tan1(2tan2202gssh即：0)2(tan2tan2022022hgssgs0)2(42420222202hgsgssacb2220shggh故要对手榴弹做功的最小值为)(2121222min0shgghmmW例例4如图所示，一人从离地平面高为h处以速率v0斜向上抛出一个石子，求抛射角为多少时，水平射程最远？最远射程为多少？xy解法一：设抛射角为，运动时间为ttvxcos02021sin-gttvh22220)21()(hgtxtv
11、2220422)(4htghvtgx当2202222gghvabt时，x2有极值，x有极值gghvvxm2200ghvv22arcsin200 xy解法二：设抛射角为tvxcos02021sin-gttvhgghvvxm22000)()(412222042xhtvghtg0 xy解法三：设抛射角为，任一时刻ttvxcos02021singttvy2202cos2tanvgxxy当y=-h时，x=shhsgshsgsv2cos2sincos)tan(222220再用辅助角公式求解解法四：将斜抛运动分解为v0方向的匀速运动和自由落体运动22202)21()(hgttvx其位移矢量图如右所示v0ty
12、由图可知：x其他与解法一相同。解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量图如右，该矢量图的面积v0vgtvxgxtvggtvSxx21)(2121因初速v0、末速v均为定值，显然当二者夹角为900时，S最大，因而x最大，所以有：ghvvvvgx22121212000gghvvxm2200例例5一礼花竖直向上发射，达到最高点爆炸。设各碎片以相同的速率v0，向四面八方炸开，试证明各碎片在下落过程中始终保持在同一球面上面，并求球面半径与球心位置随时间变化的规律（忽略空气阻力）。v0v0 xv0yv0zzxyo点评点评:（1）速度的分解）速度的分解（2）运动分析）运动分析X方向：Y方向：Z方向：2
13、22020ozoyxvvvvv0v0 xv0yv0zzxyo解析：解析：以爆炸时刻为零时刻，爆炸点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，对任一碎片在时刻t，其位置坐标为：tvxx0tvyy02021gttvzz220222202222)()21(Rtvtvvvgtzyxozoyx式中0为任一碎片的初速率，与抛射角无关，对于每一给定时间t，上述方程式是一个球面方程，球面半径R=0t，即R随时间t成正比不断增大，球心位置为（0，0，），表明球心位置始终保持在z轴上，且随时间以重力加速度g加速下降。221gt例例6.6.初速度为v0 的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求出空间安全区域的边界的方程v0
14、v0 xv0yv0zzxyo点评：点评：建立图中直角坐标系，设v0与xoy平面的夹角为，对任一时刻t有：tvxx0tvyy02021gttvzzsin00vvz202020)cos(vvvyx22222201tan2cosxyzxygv 2222222220011tantan22xyxyxyggvv 这是发射角各不相同的炮弹的空间轨迹方程 22222222200tantan022g xyg xyxyzvv 即即此方程式有解时，必满足 22222222004022g xyg xyxyzvv 242200220vvxyzgg 包络线方程为 2222002102g xygzvv 整理该包络线方程为所
15、求安全区域的边界方程 例例7一斜面体两斜面的倾角分别为和，如图所示。一物体从倾角为的斜面的底角处做斜上抛运动。为使物体从斜面体顶角处切过，并落在倾角为的斜面底角处，则物体的抛射角与倾角、应满足什么关系？（用简单形式写出）hv0v0解析：解析：xy建立图中直角坐标系，则有：tvxcos02021singttvyxxvgytancos22220h设斜面体高度为h，则其顶点和右侧底端坐标分别为（hcot,h）和h(cot+cot),0cottancotcos222220hhvgh)cot(cottan)cot(cotcos20222220hhvgtantantanv0s例例8军训中，战士自距离墙壁s
16、处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上运动而继续升高。若墙面与鞋底之间的静摩擦因数为，求能使人体重心有最大总升高的起跳角是多少？解析：解析：设人的质量为m，从起跳到达墙面所用时间为t，到达墙面处时，人的速度的水平分量为vx，竖直分量为vy，则：cos0vvxgtvvysin0这一过程，人的重心升高为：20201)cos(21tan21sinvsgsgttvHtvscos0 脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，由动量定理有：ttNttFvmy)()(由题意知，正压力的冲量恰可使人的水平分动量变为零，即：xmvttN)(因而得:xyvv蹬墙后，人的重心速度变为竖直
17、向上的方向，以vy表示，则有：xyyyyvvvvv人体以此速度继续升高，其升高量为：gvvgvHxyy2)(2222则全过程人体的总升高量为sgvHHH2)sincos(22021上式改写为：sgvH222220)sin11cos1)(1(2sgv)(cos)1(22220式中：1arctan可见，当：1arctan时，H有最大值为：sgvH)1(2220例例9.（北约2013）质量为M、半径为R的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为m的小青蛙（可处理成质点），小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为vx，竖直向上的分速
18、度记为vy，合成的初始速度大小记为v，将圆盘后退的速度记为u。（1）设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。（1.1）对给定的vx，可取不同的vy，试导出跳起过程中青蛙所作功W的取值范围，答案中可包含的参量为M、R、m、g（重力加速度）和vx。（1.2）将（1.1）问所得W取值范围的下限记为W0，不同的vx对应不同的W0值，试导出其中最小者Wmin，答案中可包含的参量为M、R、m和g。（2）如果在原圆盘边紧挨着另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为45，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为W，试求W与（1.2）问所得Wmin间
19、的比值=W/Wmin，答案中可包含的参量为M和m。（1.1）水平方向动量守恒，青蛙落地点在圆盘外，有：解析：解析：mvx=Mu Rgvuvyx2）（2分）xvMmu （1分）xyvmMMgRv)(2 （1分）)(2121222yxvvmMuW （1分）得：故得W取值范围为：222222)(4)(21xxvmMgRmMvMmMmW （1分）（1.2）由式得：2222220)(4)(21xxvmMgRmMvMmMmW （3分）RgmMMmvmMgRmMvMmMmxx222222)(4)(由均值不等式有：RgmMMmW210所以有：RgmMMmW21min （3分）Rgvv2sin2cos（）依题意
20、 45Rgv2得：（3分）Mumvcos得：RgMmu 综合可得RgMmMmmvMuW221212122（2分）所求比值为：MMmMmMWW)2(min（1分）例例10(第20届预赛)质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）。为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出。物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动。(1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间。(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿
21、与x轴负方向成角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离。xyv0axyv0a点评：复杂问题简单化点评：复杂问题简单化（）从起跳到t0 时刻，运动员做斜抛运动；（）抛物块的过程：动量守恒动量守恒（）抛后的运动：新的斜抛运动新的斜抛运动Pvpxvpy解析：解析：xyv0a（1）运动员起跳为计时起点，t0时刻到达图中P点，设P点的坐标为P（x，y），速度v的分量为vpx和vpy，则有：0cospxvv00sinpyvvgt00cospxvt20001sin2pyvtgtPvpxvpyxyv0aPvpxvpyuxuy设抛物后瞬间，运动员的速度为V
22、，分量为Vpx和Vpy，物块相对于运动员的速度u的分量为ux和uy，()()pxpxxpxMVm VuMm v()()pypyypyMVm VuMm vcosxuusinyuu0coscospxmuVvMm00sinsinpymuVvgtMmu由动量守恒定律有：抛出物块后，运动员沿新的抛物线运动，其初速度为Vpx和Vpy，在t（）时刻运动员的位置和速度分别为：0ttxpxVV0()ypyVVg tt000()(cos)xxppxmumuxxVttvttMmMm2001()()2ppyyyVttg tt00coscoscosmumuxvttMmMm200sin2sin2sinmumuyvtgtt
23、MmMmxyv0aPvpxvpyuxuy运动员落地时，0y 200sin2sin2sin0mumugtvttMmMm2000sinsinsinsin(sin)2mumumuvvgtMmMmMmtg2000sinsinsinsin(sin)2mumumuvvgtMmMmMmtg上式中取正号，得：00coscoscosmumuxvttMmMm（）因为：2000sinsinsinsin(sin)2mumumuvvgtMmMmMmtg显然，当t0=0时，x最大，即抛出点坐标为：0px0py即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。运动员自起跳至落地所经历的时间为0sinsin22vmuTgMmg22
24、2002sin22sin()sin2()()vmv um uxgMm gMmg运动员跳远的距离sin21,sin()1,sin21当：时，x有最大值/4/42220022()()mvmv um uxgMm gMmg三三圆周运动圆周运动R1.匀速圆周运动匀速圆周运动OxyAvA vB BRtRtlvtt000limlim角速度ttlim0T2线速度加速度ORAvBvvRvABvtvaRva22.变速圆周运动变速圆周运动角加速度ttlim0RAvA vB B加速度vA vv nv ttvtvtvantttlimlimlim00naa RaRan2匀变速圆周运动t02021ttRv00tavRtvR
25、vr003.匀速圆周运动与简谐运动的相互等效匀速圆周运动与简谐运动的相互等效ABOxtxA2Ava)cos(costAAxsinAv)sin(tAcos2AaxtA22)cos(匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差简谐运动，它们的相位相差2)2cos()sin(sintAtAAyy例例11.11.质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v。点评：点评：tvatlim切向加速度dtdv法向加速度tvantnlimRv2例例11.11.质点沿半径为R的圆周
26、运动，初速度的大小为v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v。方法一：积分法方法一：积分法Rvdtdv2dvvRdt2vvdvvRT02vvvR0若速率从v0增加,有00)(vvvvRTTvRRvv00若速率从v0减小,有00)(vvvvRTTvRRvv00例例11.11.质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v。方法二：微元法方法二：微元法设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间t，依题意有Rvtvviiiiti210lim)11(11121iiiiiiiiiivvRvvv
27、vRvvvRt)11(11limiiinvvRT01121111111nRvvvvvv TvRRvv00若速率从v0减小,有TvRRvv00例例12用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为O。绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小球，恰好也以O点为圆心在桌面上做匀速圆周运动。已知手和小球的角速度均为，小球和桌面之间有摩擦，求：（1）手对细绳做功的功率P；（2）小球与桌面之间的动摩擦因数。O点评：示意图点评：示意图rL解析：解析：OrL（1）手对细绳做功的功率PTvP rv以小球为研究对象，水平面内受力：TfR22LrRRmT2cosRLcosrLLrmP223
28、（2）小球与桌面之间的动摩擦因数RrTTfsinmgNfgLLrr222例例13如图所示，一长为a的细线系着一小球悬挂在O点静止不动。若使小球获得一个水平初速度 ，略去空气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点O。agv)32(0Oav0小专题：竖直平面内的圆周运动小专题：竖直平面内的圆周运动1.水平直径以上各点的临界速度水平直径以上各点的临界速度(1)在水平直径以上各点弹力方向是指向指向圆心圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车mgTRmvmgT2sin当T=0时，sinRgv临界 在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是运动的条件是
29、：sinvgR (2)在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心背离圆心的情况，例如车过拱形桥mgNRmvNmg2sin当N=0时，sinRgv临界 在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是 ：sinvgR v上上mgFN上上v下下 mgFN下下2.竖直平面光滑圆形轨道竖直平面光滑圆形轨道（1）机械能守恒）机械能守恒2221221上下mvRmgmv（2）最高点与最低点的弹力差：）最高点与最低点的弹力差：mgFF6上下（3）能到达最高点时，最低点的速度：）能到达最高点时，最低点的速度：5vRg 下下（4）恰能到达最高点时，最低点的加速度：）恰能到达最高点时，最低点的加速
30、度：5ag 小球运动轨迹会通过悬点O，是因为线绳在水平直径上方与水平成某一角度时，绳恰不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动Ovv0yx0 h解析：解析：绳上张力为零时小球达临界速度sinagv 该过程机械能守恒:)sin1(2121220mgamvmvagv)32(033sin设小球做斜上抛运动设当y方向位移为-h时历时t,有221cosgttvh03232232aagtgtgat32这段时间内小球完成的水平位移为sinvtx cos36aa 说明小球做斜抛运动过程中，通过了坐标为 63,33aa 的悬点O!Oyx0例例14如图所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆环轨道运动
31、，已知动摩擦因数为，试求小车从轨道最低点运动到最高点过程中，摩擦力做的功。O点评：点评：1.摩擦力大小的分析摩擦力大小的分析随正压力大小的变化而变化2.正压力大小的分析正压力大小的分析RmmgN21sinRmmgN22sin在水平轴下方时：在水平轴上方时：3.摩擦力做功的特点及计算摩擦力做功的特点及计算微元法：微元法：取什么物理量的微元？取什么物理量的微元？这一条件下的结论这一条件下的结论 什么？什么？a1N1a2N2Oa1N1a2N2解析：解析：如图所示，小车运动过程中经过关于水平轴对称的两位置1和2，且两位置和圆心的连线与水平轴的夹角均为a。RmmgN21sin因为：sin21mgRmN所
32、以：同理：sin22mgRmN221212mRNRNWWWfff小车经过1、2两处一极小段位移内摩擦力所做的功和为即Wf与的大小无关，于是整个过程中摩擦力的功222222mmmWWffv例例15如图所示，长为L的轻杆顶端放一小重球，由竖直位置开始无初速倒下，杆的下端被地面上的台阶挡住，求重球落地时的方向。L点评：点评：1.小球与杆分离前做什么运动？小球与杆分离前做什么运动？2.小球与杆在什么位置分离？分小球与杆在什么位置分离？分离时的动力学特点？离时的动力学特点？3.与杆分离后小球做什么运动？与杆分离后小球做什么运动？解析：解析：球开始时在轻杆上与轻杆一起沿圆弧运动，当轻杆对重球的支持力变为零
33、时，球脱离杆，做斜下抛运动。设杆的支持力为零时，杆与竖直方向的夹角为，小球速率为v1，此时有：L v1Lmvmg21cos2121)cos1(mmgL由动能定理有：32cos3/21gL将v1沿水平和竖直两方向分解，则有3/232cos1/gL设小球落地时速率为v，则有：221mmgL 设落地时重球的速度与竖直方向的夹角为，则392332sin/392arcsin例例16如图所示，长度为l的轻杆上端连着一质量为m的体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固接于水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰与B接触，立方体C的质量为M。今有微小扰动，使杆向右倾倒，设B与C、C与水平地面间均无摩
34、擦，而B与C刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为300，求B、C的质量之比点评：点评：1.B、C分离前二者运动学和动力学特点分离前二者运动学和动力学特点B对C有作用力，C沿水平方向做加速运动；二者水平方向速度和加速度均相等。2.B、C分离瞬间分离瞬间水平方向速度和加速度仍相等；刚好无相互作用力；C的加速度为零；杆对B的作用力的水平分量必为零此刻杆对B的作用力为零。（？杆为轻杆）解：解：以B球为研究对象，设B、C分离时B球的速度大小为，杆与水平面夹角以表示，如图所示。则B此刻是仅受重力作用而绕A点作半径为l的圆周运动，则有：lmmg2sin21sinx此时B速度的水平分量所以C的速度：xcvv 对
35、B、C组成的系统，机械能守恒：222121)sin1(CMmmgl41Mm联立以上各式，将 的值代入求解得：例例17如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为l的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求：（1）当小球A、C第一次相碰时，小球A的速度；（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度和此时绳子的张力；（3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角以及绳子的张力。ABCv0llma-ma点评：非惯性系与惯性力点评：非惯性系与惯性力1平动加速参考系平动加速参考系_平移惯性力平移
36、惯性力惯性力：惯性力：amFi定义：定义：为了使牛顿定律在非惯性系中形式上成立，而引入的假想的力。m为研究对象的质量；为非惯性系相对惯性系的加速度。a负号表示惯性力方向与非惯性系加速度方向相反。理解：理解：（1）惯性力不是真实力，没有施力体，没有反作用力；）惯性力不是真实力，没有施力体，没有反作用力；（2）惯性力的效果是真实存在的，也能用测力计测出来；）惯性力的效果是真实存在的，也能用测力计测出来；（3）所有质点在非惯性系下都可能是惯性力。）所有质点在非惯性系下都可能是惯性力。2.转动参考中转动参考中_惯性离心力惯性离心力2iFmr 惯性离心力的特点：惯性离心力的特点：（1）离心力与转动参考系
37、的转动角速度有关，方向垂直 转轴向外；（2）离心力与物体所在位置有关，与物体在转动系中运 动与否无关。解析：解析：（1）A、C第一次相碰时，vxvyBACxmvmv30)(212212122220yxxvvmmvmv22yxAvvv032vvA（2）当三个小球再次处在同一直线上时BAvmvmmv 2022202121221BAvmvmmvABCvBllvA032vvA031vvBABCvBllvA设T，以B为参考系（惯性系或非惯性系？），A、C做圆周运动，（线速度多大？）lmvT20（3）A的最大动能EKA最大时，B的速度为零，此时A的速度方向一定垂直于AB的连线（？）220212221AkA
38、vmEmv cos20Avmmv 2041mvEKA4BACv”A2BmaTcos2对B球lvmmaTAB2cos 对A球，以B为参考系（非惯性系），A做圆周运动lmvT420例例18.如图，质量可忽略不计的刚性细杆可绕通过其中点O的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两质量分别为2m和m的小球1和2（可视为质点）串在细杆上，它们与细杆之间的静摩擦系数为 。开始时细杆静止在水平位置，小球1和2分别位于紧靠细杆两端点A和B的位置。系统自水平位置以零初速下摆。问小球1和2分别在什么位置脱离细杆？（分别求出小球1和2脱离细杆时细杆与水平线的夹角）。/635m2mlAOlBBA12点评：点评：（1）设轻质杆
39、转过时，系统的角速度和角加速度分别为和，如何计算这两个值？（2）受力分析，判断哪个球先离开轻质杆。如何计算弹力和静摩擦力？mg2mgN1N2f1f2（3）一个球离开轻质杆后，另一球的运动分析。点评：点评：以系统为研究对象，小球离开轻质杆前，机械能守恒2122221sin221sin0mvmglmvmgllvv21lg3sin2角动量定理：tLmglmglcoscos222132mlmlvmlvL2233mltmltLlg3cosm2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2对小球对小球1：lmmaNmg22cos211lmmamgfn211
40、22sin2cos341mgN sin3101mgf 对小球对小球2：lmmamgN22coslmmafmgn222sincos342mgN sin312mgf m2mlAOlBBA12mg2mgN1N2f1f2小球1与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球1先滑动。设球1开始滑动时，细杆与水平线夹角为1，则)()(1111Nf11cos34sin310mgmg0130由于球1的初始位置在杆的末端，故此时轻质杆与水平线夹角为300。因轻杆没有质量，球1一旦脱离轻杆，球2与轻杆间的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：初速度的方向与水平线的夹角：得任意 t 时刻球2的位
41、置坐标：333sin210gllglv3210tglltvlx6323coscos001220012122121sinsingtgllgttvly15(1)3ltg球2脱离细杆时，几何关系 222lxy222(2)03lltttgg2 3562156xlyl 22 35cos6xl278.2M1 方法一：方法一：设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角1cosba 对椭圆长轴端的A点:A1aA12AAva 对A点投影A1点:21Avab 1cosAAAbaaaa 又又2Aba 椭圆短轴端B点的曲率半径由B1vvMAaABvaBa
42、B 22cosBBvvab 2Bab 例例19质点做椭圆运动，已知长半轴与短半轴为a和b，求长其轴与短轴端点的曲率半径。四曲率半径的计算四曲率半径的计算方法二方法二:xyOabAB轨迹方程：12222byax参数方程：cosax sinby taxcos)2cos(tby将栯圆运动等效为两个简谐运动tadtdxvxsintadtdvaxxcos2)2sin(tbdtdyvy)2cos(2tbdtdvayybabaavBBB22222vAababavAAA22222vBaAaB例例20质点做抛物线运动，已知其轨迹方程为：，求轨迹上任一点的曲率半径。pxy22点评：特殊到一般点评：特殊到一般设质点
43、以速度v0做平抛运动xyO0vtvx0221gty ygvx2022pxy22P对轨迹上的P点:gv0vvy 2cosvg 2202vvgh 020cos2vvgh 2200022vghvggvh 322002vghgv 32202021ghvvg 23)21(pxp解析：解析：设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有 02hrhvv 设螺旋线上任一点的曲率半径为设螺旋线上任一点的曲率半径为则则20nvar 22020hvvrv 22214hrr 0vhv220hvv hr例例21旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处
44、处相同试用运动学方法求解曲率半径值。小结：曲线运动轨迹的曲率与曲率半径小结：曲线运动轨迹的曲率与曲率半径232)1(1yyK 五五螺旋运动螺旋运动1.平面螺旋运动平面螺旋运动OxyP(r,)平面内长直细杆绕其端点O旋转套在杆上的小环P沿杆运动t=0时，P的位置：r小球沿杆方向速率vr与杆旋转角速度均为常量任意t时刻有：tvrrtvrvv轨迹方程：rvr 阿基米德螺旋线阿基米德螺旋线t时刻小环的角向速度：tvrvrt时刻小环的速率：rrrrvtvvvvv222221)(.空间螺旋运动空间螺旋运动xyxy（）等螺距运动（）等螺距运动vTx vrT2vx（）等差螺距运动（）等差螺距运动axxx212
45、312aTxxxxxxnnvrT2例例22已知等距螺旋线在垂直轴方向的截面半径为R，曲率半径为，一质点沿此螺旋线做匀速率运动。已知质点在垂直轴方向的投影转过一周所用时间为T，则质点沿轴方向的分运动速率为多少？点评：例点评：例19解析：解析：设速率v，圆周运动线速率v1，轴方向速率v2RTv21222121vvRvTRRv)(22例例23.如图所示，从x轴上的O点发射一束电量为q(q0)、质量为m的带电粒子，它们的速度方向分布在以O点为顶点、x轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内，速率均为v。试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于x轴上的另一点M，M点与O点的距离为d。要求给出该磁场的方向，磁感
46、应强度的大小及最小值。不计重力及粒子间的相互作用。OMdxOMdx点评：点评：（1）怎样加磁场，才能）怎样加磁场，才能使这束带电粒子会聚于使这束带电粒子会聚于x轴上的另一点轴上的另一点M？xvxvyvB（2）带电粒子的运动分析）带电粒子的运动分析x轴方向：轴方向：区别？区别？匀速直线运动yoz平面：平面：匀速圆周运动等螺距运动等螺距运动（3）怎样理解）怎样理解很小？很小？vvvxcosvvvy sin（）磁聚集（）磁聚集OMdx解析：解析：沿x轴方向加匀强磁场，设磁感应强度为B。xvxvyv沿x轴方向有：vttvtvdxcos垂直于x轴平面内，设半径R，周期T，则有：RmvBqvyy2yvRT
47、2过M点的条件：nTt,3,2,1n联立以上各式得：qdmvnB2,3,2,1nqdmvB2minn为什么时，B有最小值：例例24.如图，一刚性螺旋环质量为m（质量均匀分布），半径为R，螺距 ，可绕竖直的对称轴OO无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计。一质量为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动。扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态。然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，同时螺旋环便绕转轴 转动。求：（1）当小球下滑高度为h时，螺旋环转过的角度。（2）此时螺旋环转动的角速度。RH点评：点评：（1）立体问题平面化：HR2（2）螺旋环的角动量：20
48、0iiLmv Rmv RmR（3）系统角动量是否守恒？（4）系统机械能是否守恒？解：解：（1）设小球下滑高度为h时，球相对于螺旋环的速率为v，环的速率为v0。如图所示。212tanRR55sin552cos螺旋环的角动量：200iiLmv Rmv RmR系统水平面内，合外力为零，角动量守恒：20RmRmvIIRvvIIcoscos,cos22vvRR 0coscoscot222vtshhtRRRR（2）由机械能守恒定律2221021 sin31cos121 sin3ghghvghghRR 22)(2121Rmmvmgh222vvvIIRvvIIcossinvv由角动量守恒定律有：20RmRmv
49、II解法二：等效法解法二：等效法 0aaM第一讲：例17gmMmga31sincossin20gmMgmMa35sinsin)(2212tanRR221sintah2021taRRh（2）102sin3hghva0011223va RghRRR例例25.如图所示，两个竖直放置的同轴导体薄圆筒，内筒半径为R，两筒间距为d，筒高为L（LRd），内筒通过一个未知电容Cx的电容器与电动势U足够大的直流电源的正极连接，外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h的A、B两点，其连线AB与竖直的筒中央轴平行。在A点有一质量为m、电量为-Q的带电粒子，它以v0的初速率运动，且方向垂直于由A点和筒中央轴构成的
50、平面。为了使此带电粒子能够经过B点，试求所有可供选择的v0和Cx值。点评：复杂问题简单化点评：复杂问题简单化（）电路结构分析；（）电路结构分析；（）带电粒子受力分析；（）带电粒子受力分析；（）带电粒子运动分析；（）带电粒子运动分析；（）薄圆筒导体的电容；（）薄圆筒导体的电容；（）两电容器连接方式及其特点；（）两电容器连接方式及其特点；（）带电粒子能经过（）带电粒子能经过B点的条件；点的条件；速度选择器速度选择器Rd+U探究一：模型的建立探究一：模型的建立dR两环之间的电场是怎样的？探究二：工作原理探究二：工作原理满足什么条件的带电粒子才能从左端进，右端出？运动学特征？动力学特征？RmvdUq2
