1、更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 高中基础知识归纳 一、一、 集合与简易逻辑 1 区分集合中元素的形式：区分集合中元素的形式： |( )x yf x |( )y yf x ( , )|( )x yyf x 函数的定义域 函数的值域 函数图象上的点集 例 1集合RxxyyM, 2 ，RxxyyN,1 2 ，则NM 例 2集合RxxyyxM,),( 2 ，RxxyyxN,1),( 2 ，NM 例 3集合RaaM,4 , 32 , 1，集合RaaN,5 , 43 , 2， 则NM 2 2研究集合必须注意集合元素的特
2、征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。 例 4已知集合,lg()Ax xyxy，集合yxB, | ,0，且BA ，则 yx 3 3集合的性质：集合的性质： 任何一个集合P都是它本身的子集，记为PP 。 空集是任何集合P的子集，记为P。 空集是任何非空集合P的真子集，记为P 。 注意：若条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。 例 5集合012| 2 xaxxA，如果 RA，实数a的取值范围 集合的运算：集合的运算： CBACBA、CBACBA； ()() UUU CABC AC B、()() UUU CABC
3、 AC B。 BCAACBCBABBAABA UUU 。 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为： n 2、12 n 、12 n 、22 n 。 例 6满足条件5,4,3,2,12,1 A的集合A共有 个。 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 4 4研究集合之间的关系，当判断不清时，建议通过“研究集合之间的关系，当判断不清时，建议通过“具体化具体化 ”的思想进行研究。”的思想进行研究。 例 7已知NkkxxM,12，NkkxxN,14，则NM _。 5 5补集思想补集思
4、想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 例 8设函数 12224 22 ppxpxxf在区间1 , 1上至少存在一个实数C， 使 0cf，求实数p的取值范围 6命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。 命题的四种形式及其内在联系： 原命题：如果，那么； 逆命题：如果，那么； 否命题：如果，那么； 逆否命题：如果，那么； 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题 甲，既“甲乙” ，那么这样的两个命题叫做等价命题。
5、 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题。 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑。 例 9 “s i ns i n”是“”的 条件。 注意命题“如果，那么”的否定否定与它的否命题否命题的区别： 命题“如果，那么”的否定否定是“如果，那么” ；否命题否命题是“如果，那么” 。 *例 10 “若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是 否定是 7 7常见结论的否定形式：常见结论的否定形式： 原结论 是 都是 一定 p或q p且q 大于 小于 否定形式 不是 不都是 不一定 p且q p或q 不大于 不小于 原命题 逆命题 否命题逆否命题 互为 逆否 互 逆 互 逆
6、 互 否互 否 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 原结论 至少一个 至多一个 至少n个 至多n个 对 所 有x 都成立 对 任 何x 不成立 否定形式 一个也 没有 至少两个 至多 个 至少1n 个 存 在 某x 不成立 存 在 某x 成立 8充要条件：充要条件： 条件 结论 推导关系 判断结果 是的充分条件 是的必要条件 且 是的充要条件 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性： 首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果。 二、二、 不等式 1基本性质： （基本性质： （注意：不等式的运算强
7、调加法运算与乘法运算）注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算） ba 且cb ca ； 推论：.abacbc ； . ba 且dc dbca； 0 00 0 acbcc abacbcc acbcc ； 推论：.0,0abcdacbd； .ba 且a、b同号 11 ab ； .ba 0 11 0 ab ； .0,0, nnnn abnabab； 0ba，0m ma mb a b ； 0 0 0 ba b b b a； 1n 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 2解不等式： （解不等式： （解集必须写成集合或区间
8、的形式）解集必须写成集合或区间的形式） 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤： .分解因式找到零点； .画数轴标根画波浪线； .根据不等号，确定解集； 注意点：.分解因式所得到的每一个因式必须为 x 的一次式； .每个因式中x的系数必须为正。 绝对值不等式绝对值不等式 关 键 去绝对值：去绝对值： .xaxaa或 )0(a； .xaaxa)0(a； . 22 abab； . (0)f xg xg xf xg x 或 xgxf； . f xg xg xf xg x ； 幂、指、对不等式幂、指、对不等式 借助函数单调性 去掉幂、指、对符
9、号去掉幂、指、对符号 解不等式：解不等式： 解对数不等式时，应注意些什么问题？（化成同底、利用单调性、注意同解变形） 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述 对于不等式恒成立问题，常用“对于不等式恒成立问题，常用“函数思想函数思想 ” 、 “” 、 “分离变量思想分离变量思想 ”以及“”以及“图象思想图象思想 ” 。” 。 例 1已知不等式04)2(2)2( 2 xaxa对一切Rx恒成立，求a的取值范围 3 3基本不等式：基本不
10、等式： Rba,，则 22 2abab，当且仅当ba 时，等号成立。 , a bR，则2abab，当且仅当ba 时，等号成立。 综上，若Rba,，则ab ba ba2 2 )( 2 22 ， 当且仅当ba 时，等号成立。 * 若 Rba,，则 22 2 11 22 abab ab ab ，当且仅当ba 时，等号成立。 * 1 201, 1 1 201, xxx x x x xxx x ，当且仅当，即时 等号成立 ，当且仅当，即时 等号成立 。 例 2已知正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是 例 3函数) 2 1 ( 42 9 4 x x xy的最小值为 更多内容见微信公众号：数学第六感
11、；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 例 4若12yx，则 yx 42 的最小值是 例 5正数x、y满足22yx，则 yx 11 的最小值为 4 4不等式的证明：不等式的证明： 比较法：比较法：作差 因式分解或配方 与“0”比较大小 综合法：综合法：由因导果。 分析法：分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证。 反证法：反证法：正难则反。 最值法：最值法： maxxfa ，则)(xfa 恒成立； minxfa ，则)(xfa 恒成立。 三、三、 函数 1 1九个基本函数必须熟练掌握：九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象和性质强调函数图象和性质
12、 正比例函数， 反比例函数， 一次函数， 二次函数， 幂、指、对函数， 三角函数，反三角函数。 2 2反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。 求反函数的步骤掌握了吗？ 解方程，用y表示x；交换x与y，写成反函数的形式； 注明反函数的定义域。 你还记得反函数的四个性质吗？ 互换性； ； 对称性； 单调一致性； 还原性。 例 1函数 xfy 过点 1 , 1，则xf4的反函数的图象一定经过点 若原函数( )yf x在定义域上单调，则一定存在反函数；但一个函数存在反函数，则此函数 不一定单调。你能写出一个具体的函数吗？ 例如：分段函数：
13、01 01 2 1 xx x xf x 或 x xf 1 等。 3 3函数的要素：定义域、值域、对应法则函数的要素：定义域、值域、对应法则 定义域：定义域： 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的x的范围）的范围） (1) 0)()( 0 xfxfy； (2) ( ) ( )0 ( ) P x yQ x Q x ； (3) 0)()( 2 xPxPy n ； (4) ( ) log( )( )0, (
14、)1,( )0 P x yQ xP xP xQ x； (5) ( )( ), 2 ytan P xP xkkZ ； (6) ( )( ),ycot P xP xkkZ； (7) ( )1( )1yarcsin P xP x ； (8) ( )1( )1yarccos P xP x ； 使实际问题有意义的自变量的范围。使实际问题有意义的自变量的范围。 例 2锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 求复合函数的定义域：求复合函数的定义域： 若 xf的定义域为ba,，则 xgf的定义域由不等式 bxga解出； 若 xgf的定义域为ba,，则 xf的定义域相当于bax,时 xg的值域； 例 3函数 )3l
15、g( )4( )( x xx xf的定义域为 例 4若函数 xfy 的定义域为 2 , 2 1 ，则函数xf 2 log的定义域为 例 5若函数1 2 xf的定义域为1 , 2，则函数 xf的定义域为 值域：值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？ 二次函数型或可化为二次函数型；单调性；基本不等式； 换元法；数形结合； 例 6函数1cos3sin2 2 xxy的值域为 例 7设x, 1 a, 2 a,y成等差数列，x, 1 b, 2 b,y成等比数列，则 21 2 21 bb aa 的取值范围是 例 8函数 x xy 2 2 sin1 9 sin 的值域为 例 9函数xy x 5log
16、2 3 2 的值域为 3 3函数的基本性质：函数的基本性质： 奇偶性：奇偶性： ABC 1,2 ,BCBA cos AC A AC 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 定义判断奇偶性的步骤： 定义域D是否关于原点对称； 对于任意Dx，判断)( xf 与)(xf的关系： 若)()(xfxf,也即0)()(xfxf( ),yf x xD为偶函数 若)()(xfxf,也即0)()(xfxf( ),yf x xD为奇函数 图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称奇函数； 函数图象关于y轴对称偶函数； 判断函数的奇偶性时，注
17、意到定义域关于原点对称了吗？ 如果奇函数)(xfy 在0x处有定义，则0)0(f。 .一个函数既是奇函数又是偶函数， 则该函数必为：( )0,f xxD (其中定义域D关于原点对称) 如果两个函数都是非零函数（定义域相交非空） ，则有： 奇+奇奇；奇+偶非奇非偶；偶+偶偶；奇奇偶； 奇偶奇； 偶偶偶。 单调性：单调性：设设任意Dxx 21, ,且且 21 xx ,则则)( 1 xf)( 2 xf无单调性 12 ( )()f xf x减函数 12 12 ()() 0 f xf x xx ； 12 ( )()f xf x增函数 12 12 ()() 0 f xf x xx ； 在比较)( 1 xf
18、与)( 2 xf大小时，常用“作差法” ，比较)( 1 xf)( 2 xf与0的大小。 奇函数的图象在y轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在y轴两侧的单调性相反。 互为反函数的单调性一致。 增函数+增函数 增函数； 减函数+减函数 减函数。 复合函数单调性由“同增异减”判定。 例 10函数xxy2log 2 2 1 的单调递增区间为 注意函数“单调性” 、 “奇偶性”的逆用（即如何体现函数的“奇偶性” 、 “单调性” ） 例 11已知奇函数 xf是定义在2 , 2上的减函数，若0121mfmf， 求实数m的取值范围 最大值和最小值：最大值和最小值：参见函数的值域 当x取 12 , n x xx的
19、中位数时，函数 12 | n yxxxxxx取最小值 函数的零点：函数的零点：对于函数( ) ()yf xxD，如果存在实数()c cD，当xc时，( )0f c ， 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 那么就把xc叫做函数( ) ()yf xxD的零点。注：零点是数；注：零点是数； 用二分法求零点的理论依据是：函数 f x在闭区间 , a b上连续；( )( )0f af b 那么，一定存在( , )ca b，使得( )0f c 。 （反之，未必） 以下性质以下性质不是不是 函数的基本性质函数的基本性质 周期
20、性：周期性：对于函数Dxxfy)(，如果存在一个非零常数t，使得对于任意Dx 时，恒有 )()(xftxf成立，那么函数Dxxfy)(叫做周期函数，非零常数t叫做该函数的周期。 任意 任意Dx， xfaxf， 则， 则aT2 任意 任意Dx， xf axf 1 ， 则， 则aT2 . . 任意任意Dx, ,f xaf xb, ,则则|Tab 例 12定义在R上的偶函数 xf满足 xfxf2，且在2, 3上是减函数，若、是 锐角三角形的两个内角，则sinf与cosf的大小关系为 * *若 xfy 图像有两条对称轴ax 、bx （ba ） ，则 xfy 必是周期函数， 且一周期为baT 2。 *
21、*若 xfy 图像有两个对称中心0 , aA、0 , bB（ba ） ，则 xfy 是周期函数， 且一周期为baT 2。 * *如果函数 xfy 的图像有一个对称中心0 , aA和一条对称轴bx （ba ） ， 则函数 xfy 必是周期函数，且一周期为baT 4。 例 13已知定义在R上的函数 xf是以2为周期的奇函数，则方程 0xf在2 , 2x上 至少有 个实数根。 对称性：对称性： 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 左加右减 上加下减 沿y轴方向伸缩为原来的k倍 沿x轴方向伸缩为原来的 倍 1 k 点y
22、x,关于y轴的对称点为yx,； 函数 xfy 关于y轴的对称曲线方程为xfy。 点yx,关于x轴的对称点为yx ,；函数 xfy 关于x轴的对称曲线方程为 xfy。 点yx,关于原点的对称点为yx ,； 函数 xfy 关于原点的对称曲线方程为xfy 两函数两函数xafy与xbfy的图像关于直线 2 ab x 对称。 函数 xf满足xbfxaf，则函数的图象关于直线 2 ba x 对称。 例 14二次函数bxaxxf 2 )(满足35xfxf，且方程xxf)(有等根，则)(xf 例 15己知函数 32 3 x x xf，若) 1( xfy的图像是 1 C，它关于直线xy 对称图像是 2 C ，
23、2 C关于原点对称的图像为 3 C，则 3 C对应的函数解析式是 例 16函数xxy 2 与函数 xgy 的图象关于点3 , 2对称，则 xg 形如),0(bcadc dcx bax y 的图像是双曲线，对称中心是点 c a c d ,，两条渐近线 分别为 c d x， c a y 。 例 17已知函数图象 1 C与 2 C：11 2 aaxaxy关于直线xy 对称，且图象 1 C关于 点3, 2 对称，则a 4 4函数图象变换：函数图象变换： 平移变换：平移变换： 函数)(xfy 的图象 函数)(axfy的图象； 函数)(xfy 的图象 函数bxfy)(的图象； 伸缩变换：伸缩变换： 函数)
24、(xfy 的图象 函数)(xkfy的图象； 函数)(xfy 的图象 函数)(xfky的图象； 对称变换：对称变换： 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 x0时，图象不变；然后再关于y轴对称 f(x)0时，图象不变；然后再关于x轴对称 函数)(xfy 的图象 函数)( xfy的图象； 函数)(xfy 的图象 函数)(xfy的图象； 函数)(xfy 的图象 函数)( xfy的图象； 函数)(xfy 的图象 函数|)(| xfy 图象； 函数)(xfy 的图象 函数| )(|
25、xfy 图象； 例 18要得到xy3lg的图像，只需作xylg关于_轴对称的图像，再向_平移3个 单位而得到。 例 19将函数a ax b y 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与 原图象关于直线xy 对称,那么 ( ) (A) 1a，0b； (B) 1a，Rb； (C) 2a，0b ； (D)0a ，Rb； 5 5常见的抽象函数模型：常见的抽象函数模型： 正比例函数模型： 0,kkxxf yfxfyxf。 幂函数模型： 2 xxf yfxfxyf； yf xf y x f 。 指数函数模型： x axf yfxfyxf； yf xf yxf。 对数函数模型： xxf a
26、 log yfxfxyf； yfxf y x f 。 三角函数模型： xxftan yfxf yfxf yxf 1 。 6三个二次（哪三个二次）的关系以及应用掌握了吗？三个二次（哪三个二次）的关系以及应用掌握了吗？ 在研究三个二次时，你注意到二次项系数非零了吗？ 如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。 一元二次函数的研究强调数形结合，那么数形结合该从哪些方面去研究？（开口、对称轴、 定义域以及偏移度） 特别提醒：二次方程 2 0axbxc的两根即为不等式 2 0 ( )axbxc解集的端点值， 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979
27、252；微信号：ABC-shuxue; 也是二次函数 2 ( )(0)f xaxbxca图象与x轴交点的横坐标。 7 7研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？ 8 8研究函数的性质注意在定义域内进行了吗？研究函数的性质注意在定义域内进行了吗？ 9 9解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗？解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗？ 1010指数运算法则：指数运算法则：),0,0(RnRmba . nmnm aaa ； . nmmnnm aaa )()(； . nnn baba )(； 1111对数运算法则：对数运算法则： )(logl
28、oglogNMNM aaa ； N M aaa NMlogloglog； ba b a log ； a b b c c a log log log ； b m n b a n am loglog ； 四、四、 三角 1 1三角比的定义你还记得吗？三角比的定义你还记得吗？ 2 2三角公式你记住了吗？三角公式你记住了吗？ 同角三角比的关系：商数关系、倒数关系、平方关系； 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 你能用“小三角形”进行同角三角比的转换吗？ 3 3三角化简，强调哪两点？三角化简，强调哪两点？ 切、割化弦； 化繁为简。 4 4三角条件求值你注意到两个关系了吗？三角条件求值你注意到两个关系了吗
29、？（角的关系、名的关系） 例如：； 2； 2 例 1已知 5 2 tan， 4 1 4 tan ，则 4 tan 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 例 2已知、为锐角，xsin，ycos， 5 3 cos，则y关于x的 函数关系为 5 5在三角中，你知道“在三角中，你知道“1”等于什么吗？”等于什么吗？ 22 cossin1 22 tansec 22 cotcsc 4 tancottan 0cos 2 sin 。 6 6重要公式：重要公式： 2 2cos1 sin 2 ； 2 12cos cos2 sin c
30、os1 cos1 sin 2 tan ； sincossin 22 baba； 例 3当函数xxysin3cos2取最大值时，xtan 7 7你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗？你注意到了扇形的弧长与周长的你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗？你注意到了扇形的弧长与周长的 区别了吗？区别了吗？弧长公式：rl； 周长公式：rlc2； 面积公式：rlrS 2 1 2 1 2 ； 例 4已知扇形AOB的周长是cm6，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 8正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜
31、三角形吗？ 正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：Abccbacos2 222 ； bc acb A 2 cos 222 ； 面积公式：BcaAbcCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ； 大边对大角：BABAbasinsin； 锐角ABC中：若 222 cba，则BABABAcossin 22 ； 钝角ABC中：若 222 cba，则BABABAcossin 222 ； 直角ABC中：若 222 cba，则BABABAcossin 22 ； 例 5在ABC中，若 3 1 sinA，则Acos (注意几解） 更多内容见微信公众号：数学第六感；
32、公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 在ABC中，若 3 1 cosA，则Asin （注意几解） *9三角形与向量综合的有关结论：三角形与向量综合的有关结论： 在ABC中，给出 222 OCOBOA，O是ABC的外心； （外心：中垂线的交点） 在ABC中，给出0OCOBOA，O是ABC的重心； （重心：三边中线的交点） 在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，O是ABC的垂心； （垂心： 高的交点） 在ABC中，给出 AC AC AB AB OAOP ，AP所在直线经过ABC的内心； 在ABC中，给出 2 ACAB AD ，等于已知AD是ABC
33、中BC边的中线； 例 6O是ABC所在平面内一点，且满足OAOCOBOCOB2，则ABC的形状为 例 7若D为ABC边BC的中点，ABC所在平面内一点P，满足0CPBPPA， 设 PD AP ，则 例 8若O是ABC的外心，且0COOBOA，则角C 1010你能迅速画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象吗？你知道三角函数线吗？你能迅速画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象吗？你知道三角函数线吗？ 能写出它们的单调区间及其取最值时x的集合吗？（别忘了 k Z） ； 能给出三角函数的对称轴、对称点吗？ 11会用五点法画函数“会用五点法画函数“y=Asin( x+f)+B”的草图吗？哪五点？”的草图
34、吗？哪五点？ 会根据图象求出参数A、B的值吗？ 1212形如形如BxAy)sin(、BxAy)tan(的最小正周期会求吗？有关函数周期的定的最小正周期会求吗？有关函数周期的定 义还记得吗？周期函数有何性质？义还记得吗？周期函数有何性质？ 1313反三角的处理思想是什么？反三角的处理思想是什么？（回归思想： 设、 化、 范围，回到三角范围求解） 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 1414你能熟练的画出反三角函数：你能熟练的画出反三角函数：xyarcsin、xyarccos、xyarctan的图象吗？ 并结合图象
35、，你能说明反三角函数的性质吗？ 15在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面要求：在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面要求： 先求出某一个三角函数值； 再判定角的范围。 1616三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“Zk”了吗？”了吗？ 1717在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角 时，是否注意到它们的范围？时，是否注意到它们的范围？直线的倾斜角：, 0；两直线的夹角： 2 , 0 ；异面直线所成 角： 2 , 0 ；线面角：
36、 2 , 0 ；二面角：, 0；向量夹角：, 0； 五、五、 数列： 1数列的本质是什么？（定义在正整数集或其子集上的函数） 。 2等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？ 3等差数列的求和公式有几个？等比数列的求和公式应注意什么？ 4设 n S是数列 n a的前n项和，则“ n a是等差数列”的充要条件是“BnAnSn 2 ，其中 公差Ad2” 。设 n S是数列 n a的前n项和，则“ n a是非常数等比数列”的充要条件是 “(0) n n SAqA A其中公比是q” 。 5常数列：)(Nnaan n a是公差0d的等差数列； 非零常数列 既是等差数
37、列,又是等比数列；既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列 6若 n a是等差数列,则 n a b是等比数列（0b） ；若 n a是等比数列，则 nba log 是等差数列； 7对于等差、等比数列，你是否掌握了类比思想？ 8等差数列、等比数列有哪些重要性质？你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗？ 等 差 数 列 等 比 数 列 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 定 义 从第二项起，后一项减前一项的差是同 一个常数，则该数列为等差数列。 1. ), 2( 1 Nnndaa nn 从第二项起，后一
38、项与前一项的比是同一非零常数非零常数， 则该数列为等比数列。 1.)0, 2( 1 qNnnq a a n n 通 项 )() 1( 1 Nndnaan )( 1 1 Nnqaa n n 求 和 d nn ann aa S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 )( 2 NnBnAn 1 11 )1 ( 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 通项公式 n a与前n项和公式 n S之间的关系： NnnSS nS a nn n , 2 1 1 1 性 质 1),()( Nkndknaa kn 2. )(2 21 Nnaaa nnn 1),( Nknq a a kn k
39、n 2. )0,( 12 2 1 nnnn aNnaaa 3若plkji2， 则： plkji aaaaa2 2 )( 2 )( 121 naanaa S nn n 3若plkji2， 则： 2 )( plkji aaaaa 4.若 321 ,kkk是公差为k的等差等差 数列数列， 则： 321 , kkk aaa是公差为 dk的等差数列等差数列。 4.若 321 ,kkk是公差为k的等差数列等差数列， 则： 321 , kkk aaa是公比为 k q的等比数列等比数列。 5. n a, n b分别是公差为 1 d， 2 d的等 差数列，、是常数，则： nn ba是公差为 21 dd的等差数列
40、。 5. n a, n b分别是公比为 1 q， 2 q的等比数列，、 是非零非零常数，则： nn ba是公比为 21 qq 的等比数列； n n b a 是公比为 2 1 q q 的等比数列。 例 1已知 n a是等比数列，且 n a的前n项和rS n n 3，则r 例 2在等比数列 n a中，124 83 aa，512 74 aa，公比q是整数，则 10 a 更多内容见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ 教研群：391979252；微信号：ABC-shuxue; 9无论是在等差数列还是在等比数列中，共有五个关键量： 1 a、 n a、 n S、n、d或q， 如果已知其中三个量，则可由 n a及 n S的公式，求出其余两个量（知三求二） ； 1010求数列通项公式有哪几种典型类型？求数列通项公式有哪几种典型类型？ 1 (2,) nn aad nnN 或或 1 (2,) n n a q nnN
