1、文科数学 满分 150 分，考试时间 120 分钟 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1已知复数 3i 54i m 是纯虚数，则实数m的值为（ ） A 12 5 B12 5 C15 4 D 15 4 2已知集合 1 0 1 x Ax x ，集合 2 2 log2ZBxyx，则下列说法正确的是 （ ） ABA B1,1AB U C1,1AB I D R BA I 3已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 86 16,1Sa，则数列 n a的公差为（ ） A 3 2 B 3
2、2 C 2 3 D 2 3 4已知命题 2 000 :0,pxxx；命题 1 1 :,222 2 2 xx qx 则下列命题中是真命题的为（ ） Aq Bpq Cpq D pq 5 如图所示， 线段BD是正方形ABCD的一条对角线， 现以BD为一条边， 作正方形 BEFD， 记正方形ABCD与 BEFD 的公共部分为（如图中阴影部分所示） ，则往五边形 ABEFD 中投掷一点，该点落在内的概率为（ ） A 1 6 B 1 5 C 1 4 D 1 3 6已知某几何体的顶点满足4,0,0 ,0,2,4 ,4,4,4 ,4,4,0 ,0,0,0SABCD， 则下列图形中，该几何体的三视图不可能为（
3、） 7运行如图所示的程序框图，则输出的a的值为（ ） A3 B2 C1 D0 8已知ABC中，, ,D E F分别是,AB AC BC的中点，则（ ） A 3 2 AFABBE B 3 2 AFABBE C 3 2 AFABBE D 3 2 AFABBE 9 九章算术是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题： “今有羡除，下广六 尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是： 今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽 6 尺，上宽 一丈， 深 3 尺， 末端宽 8 尺， 无深， 长 7 尺 （注： 一丈=十尺） 则该五面体的体积
4、为 （ ） A66 立方尺 B78 立方尺 C84 立方尺 D92 立方尺 10已知函数 sincos0=f xxx在 5 , 6 12 上仅有 1 个最值，且为最大值，则实 数的值不可能为（ ） A 4 5 B 7 6 C 3 2 D 5 4 11 已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F， 准线 3 : 2 l x ， 点M在抛物线C上， 点A 在准线l上，若MAl，且3 AF k （ AF k表示直线AF的斜率） ，则AFM的面积为 （ ） A3 3 B6 3 C9 3 D12 3 12 已 知 函 数( )f x的 图 象 与 函 数 2 1 1 axa g x xa 的 图 象
5、 关 于yx对 称 ， 若 3340f xfx ，则a （ ） A2 B2 C3 D3 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.将答案填在题中的横线上.） 13已知双曲线 1 C与双曲线 22 2: 1 26 xy C的渐近线相同，且双曲线 1 C的焦距为 8，则双曲 线 1 C的方程为 14已知实数, x y满足 230 4 30 xy xy xy ，则2zxy的取值范围为 15已知 5 3 2 ,，若 3 cos 3 ，则 13tancos2 16已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1 ( 1) 2,2 n nn aa a n ，
6、则 50 S 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分） 已知ABC中， 01BMBC ， 若8,4AMAC MC， 3 MAC （1）证明：AMC为等边三角形； （2）若ABC的面积为10 3，求BAM的正弦值 18（12 分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污 染，缓解城市交通压力的一种重要手段为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该 地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了 21 人进行问卷调查， 得到这 21 人对共享 单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分 100 分） ： （1
7、）找出居民问卷得分的众数和中位数； （2）请计算这 21 位居民问卷的平均得分； （3）若在成绩为 7080 分的居民中随机抽取 3 人，求恰有 2 人成绩超过 77 分的概率 19 （12 分）在四棱锥SABCD中，SAAD，平面SAD 平面ABCD， 1 90 ,2 2 ADCBCDADDCSABC o ，点,E G分别在线段,SA AD上，且 ,SEAE AGGD，F为棱BC上一点，且1CF （1）证明：平面/SCD平面EFG； （2）求三棱锥ADEF的体积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且椭圆C过点 3 1, 2 ，直 线
8、 :2l ykx 与椭圆C相交于,A B两点，圆是以AB为直径的圆 （1）求椭圆C的方程； （2）记O为坐标原点，若点O不在圆内，求实数k的取值范围 21 （12 分）已知函数 lnf xxx （1）若曲线 22 yx f xpx在 1,1f 与曲线 2 2 xb y 在 1,1f处有公切线，求p 的值； （2）证明：当 2 ,1 e am时， ln lnln lnln m mmam e 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写 清题号 22 （10 分）选修 44 坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，
9、以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 22 cos4 sin4 （1）若 4 ，求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于,M N两点，且12MN ，求直线l的斜率 23 （10 分）选修 45 不等式选讲 已知函数 =+3f xxx （1）求不等式(24)10fx 的解集； （2）记 ( )f x 的最小值为m，若正实数 , p q满足 11 32 m pq ，求9 4pq 的最小值 选题题号（请在所选的题号后） ：22 23 选考题答题区： 答案 1答案：A 解析：依题意， 3545121543 54545441 miimm
10、 imi iii ，故 5120 1540 m m ， 即 12 5 m ，故选 A 2答案：B 解析： 依题意， 1 011 1 x Axxx x ， 2 2 log21,0,1ZBxyx ， 故1,1AB U， 故选 B 3答案：D 解析：依题意， 1836 8 88 16 22 aaaa S ，故 36 4aa，故 3 3a ，故 63 2 33 aa d ，故选 D 4答案：C 解析：取 0 1 2 x ，可知 2 11 22 ，故命题p为真；因为 11 222 222 2 xxxx ，当且仅当 1 2 x 时 等号成立，故命题q为真；故pq为真，故选 C 5答案：B 解析：依题意，不
11、妨设1AB ，故五边形 ABEFD 的面积 15 2 22 S ，阴影的面积为1 2，故所求概率 为 1 1 2 1 5 2 2 P ，故选 B 6答案：D 解析：在正方体模型中作出该几何体的直观图如下所示，可知 A，B，C 分别是正视图、侧视图以及俯 视图，观察可知，故选 D 7答案：C 解析：运行该程序，第一次是，6,5Sa，第二次是，11,4Sa，第三次是，15,3Sa，第四次 是，18,2Sa，第五次是，20,1Sa，第六次，否，跳出循环，输出 a1故选 C 8答案：A 解析： ：依题意， 11 = 22 BEBABCABBF ，故 3 2 AFABBFABBE，故选 A 9答案：C
12、解析：如图，在,DC EF上取,G H,使得DG EHAB ，连接,BG BH GH CH，故多面体的体积 11 ()73 32 ADEBGHB CGHF VVVSABCGHF 直截面 111 73 6(42)7384 232 ，故选 C 10答案：C 解 析 ： 依 题 意 ， 2sin 4 f xx ， 故 5 2 642124 Zkk ， 解 得 3243 12 552 Zkk k，且 5 1262 T ，故4，故 33 52 ，观察可知，故选 C 11答案：C 解析： 依题意， 抛物线 2 :6C yx ； 因为3 AF k ， 故直线AF与 x 轴正半轴所成角为 120 ， 故AFM
13、 为等边三角形，则26AFAMMFp，则AFM的面积为 2 3 69 3 4 ，故选 C 12答案：D 解析：因为 3340f xfx ，故函数( )f x的图像关于3, 2对称，因为( )f x与( )g x的图象 关于 yx 对称，所以，( )g x的图象关于点( 2,3)对称，又 2 11 11 axaa g xa xaxa ，其对称中心 为1, a a，依题意得 12 3 a a ，解得3a ，故选 D 13答案： 22 1 412 xy 或 22 1 124 yx 解析：依题意，设双曲线 1 C的方程为 22 0 26 xy ，故 22 10 26 xy ，则2616或 2616；解
14、得2或2 ，故双曲线 1 C的方程为 22 1 412 xy 或 22 1 124 yx 14答案： 28 0, 5 解析： 作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 观察可知， 当直线2zxy过点(0,0)O时， z 有最小值 0，当直线2zxy过点 12 8 (, ) 5 5 A时，z 有最大值 28 5 ，故2zxy的取值范围为 28 0, 5 15答案： 61 3 解 析 ： 因 为 5 3 2 ,， 所 以是 第 二 象 限 角 ； 因 为 3 cos 3 ， 所 以 6 s i n 3 ， 故 t an2, 2 1 cos22cos1 3 ，故 61 13tancos2 3
15、 16答案：1302 解 析 ： 依 题 意 ， 1 12 n nn aan ， 因 为 1 2a ， 故 2345 4 ,0 ,6 ,2aaaa， 6 12a ， 789101112 0,14,2,20,0,22,aaaaaa，以此类推，发现数列 n a每间隔 4 项呈现出一定的规律， 即第 1 项、第 5 项、第 9 项都是 2，第 2 项、第 6 项、第 10 项成等差数列，第 3 项、第 7 项、第 11 项 都 是0 ， 第4项 、 第8项 、 第12项 成 等 差 数 列 ， 故 50 4 1001369412 2 130 121302 22 S 17解析： （1）在AMC中，,4
16、,8 3 AMCMCAMAC ， 由余弦定理得 222 2cosMCAMACAM ACMAC， 所以 2 22 4828cos60AMAMAMAM o ，解得4AM 又,4 3 AMCMC ，所以AMC是等边三角形 （6 分） （2）因为10 3 ABC S ，且 2 3 44 3 4 AMC S ，故6 3 AMB S ， 所以 1 sin6 3 2 AM MBAMB，解得6MB ， 在AMB中， 222 2cos76ABAMMBAM MBAMB，所以2 19AB 在AMB中，由正弦定理得 sinsin ABMB AMBBAM ， 所以 6sin1203 57 sin 382 19 BAM
17、o （12 分） 18解析： （1）依题意，居民问卷得分的众数为 99，中位数为 88； （4 分） （2）依题意，所求平均得分为 76521334578991516171818191919 8088 21 （8 分） （3）依题意，从 5 人中任选 3 人，可能的情况为（73,74,75）,（73,74,78）,（73,74,79） ， （73,75,78）, （73,75,79）,（73,78,79）,（74,75,78）,（74,75,79）,（74,78,79）,（75,78,79） ，其中满足条件的为 3 种， 故所求概率 3 10 P ； （12 分） 19解析： （1）因为点,E
18、 G分别在线段,SA AD上，且,SEAE AGGD， 故/EG SD，又EG 平面SCD，SD 平面SCD，故/EG平面SCD； 因为90ADCBCD o ，故/AD BC，因为1GDFC， 故四边形GDCF为平行四边形，故/GF CD； 又GF 平面SCD,CD平面SCD，故/GF平面SCD 因为GF 平面EFG,EG平面,EFG EGFGG， 所以平面/SCD平面EFG； （6 分） （2）由已知可得，2 AFD S ， 由 112 2 1 333 A DEFEAFDAFD VVSEA .（12 分） 20解析： （1）依题意， 222 22 313 ,1, 24 c abc aab ，
19、解得2,1,3abc， 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y； （4 分） （2）联立 2 2 2 1 4 ykx x y 消去y并整理得： 22 1416120kxkx（*） ， 因直线l与椭圆C有两个交点，即方程（*）有不等的两实根， 故 2 2 164 14120kk ，解得 2 3 4 k ， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由根与系数的关系得 12 2 12 2 16 14 12 14 k xx k xx k ， 点O不在圆内0OA OB，即 1 212 0x xy y， 又由 2 12121212 22 1216 221240 1414 k x xy yx
20、xkxkxkk kk 解得 2 4k ，故 2 3 4 4 k，则 3 2 2 k或 3 2 2 k 则满实数k的取值范围为 33 2,2 22 （12 分） 21解析： （1）依题意， 2232 lnyx f xpxxxpx，故 22 3ln2yxxxpx， 故121p ，故1p ； （4 分） （2）令 lnh xxxa，则 ln1h xx 当 1 0 e x时， 0fx；当 1 e x 时， 0fx 所以函数( )h x在 1 0, e 上单调递减，在 1, e 上单调递增 当 1 e x 时， min 1 e h xa 于是，当 2 e a时， 11. ee h xa 令 e x xx
21、 ，则 eee1 xxx xxx 当01x时, 0x；当1x时, 0x 所以函数 x在0,1上单调递增，在1,上单调递减 当1x 时， max 1 e x ，于是，当0x 时， 1. e x 显然，不等式中的等号不能同时成立故当 2 0, e xa时，lne x xxax 因为1m ，所以ln0m 所以 ln lnln lnlne m mmam （12 分） 22解析： （1）依题意，直线 2 2 : 2 2 xt l yt ，可知直线l是过原点的直线， 故其极坐标方程为 4 R；曲线 22 :4 sin4cosC， 故曲线C的直角坐标方程为 2 44xy （5 分） （2）依题意，直线l的极
22、坐标方程为 R； 设,M N对应的极径分别为 12 , ，将 R代入曲线C的极坐标可得 22 cos4 sin40；故 1212 22 4sin4 , coscos ， 故 2 121212 2 4 4 cos MN ，故 2 4 12 cos ，则 2 1 cos 3 ， 2 tan2，故直线l的斜率为2 （10 分） 23解析： （1）依题意，(24)= 24 + 21fxxx， 当2x 时，242110xx，解得 15 2 4 x ， 当 1 2 2 x时，242110xx，故 1 2 2 x； 当 1 2 x 时， 155 44 x，故 15 24 x； 综上，所求不等式的解集为x| 155 44 x （5 分） （2）依题意， =+333f xxxxx，故 11 3 32pq ， 故 1111491491 9494325252 6 3323323323 qpqp pqpq pqpqpq 当且仅当2 23 3qp时等号成立，故94pq的最小值为 1 52 6 3 （10 分）
