1、第2课时利用空间向量解决立体几何问题 考向一利用空间向量计算空间角考向一利用空间向量计算空间角角度角度1 1求线面角或异面直线所成的角求线面角或异面直线所成的角【例例1 1】(2016(2016全国卷全国卷)如图如图,四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,MABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段为线段ADAD上一上一点点,AM=2MD,N,AM=2MD,N为为PCPC的中点的中点.(1)(1)证明证明:MNMN平面平面PAB.PAB.(2)(2)求直线求直线ANAN与平面与平面PMNPM
2、N所成角的正弦值所成角的正弦值.【题眼直击题眼直击】题题眼眼思维导引思维导引想到在平面想到在平面PABPAB内找到一条直线与内找到一条直线与MNMN平行平行作出线面角作出线面角,利用向量法求线面角利用向量法求线面角【自主解答自主解答】(1)(1)由已知得由已知得AM=AD=2,AM=AD=2,取取BPBP的中点的中点T,T,连接连接AT,TN,AT,TN,由由N N为为PCPC中点知中点知TNBC,TN=BC=2.TNBC,TN=BC=2.又又ADBC,ADBC,故故TNAM,TN=AM,TNAM,TN=AM,四边形四边形AMNTAMNT为平行四边形为平行四边形,于是于是MNAT.MNAT.因
3、为因为ATAT平面平面PAB,MNPAB,MN 平面平面PAB,PAB,所以所以MNMN平面平面PAB.PAB.2312(2)(2)取取BCBC的中点的中点F,F,连接连接AF.AF.由由AB=ACAB=AC得得AFBC,AFBC,从而从而AFADAFAD且且 以以A A为坐标原点为坐标原点,的方向为的方向为x x轴的正方向轴的正方向,的方向为的方向为y y轴的正方向轴的正方向,的方向为的方向为z z轴的正方向轴的正方向,建立空间直角建立空间直角坐标系坐标系,由题意可得由题意可得22AFABBF5，AF AD AP 5P(0 0,4),M(0 2 0),C(5,2 0)N(,1 2)2，所以所
4、以 设设n=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面PMNPMN的法向量的法向量,则则 即即 可取可取n=所以所以cos cos=,=所以直线所以直线ANAN与平面与平面PMNPMN所成角的正弦值为所成角的正弦值为 55PM(0 24),PN(12)AN(1 2)22，PM0,PN0,nn 2y4z0,5xy2z0,2(0,2,1)，ANAN8 5,25|n|AN|n8 5.25【拓展提升拓展提升】求线面角的常用方法求线面角的常用方法(1)(1)找找:即找出直线与平面所成的角即找出直线与平面所成的角,再通过解三角形求再通过解三角形求解解,具体步骤为具体步骤为:寻找过斜线上一点与平面垂直的直线
5、寻找过斜线上一点与平面垂直的直线,或过斜线上一或过斜线上一点作平面的垂线点作平面的垂线,确定垂足的位置确定垂足的位置;连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影,斜线与其斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角射影所成的锐角或直角即为所求的角;将该角归结为某个三角形的内角将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角一般是直角三角形形),),通过解三角形通过解三角形(可能需要解多个三角形可能需要解多个三角形)求得该角求得该角或其三角函数值或其三角函数值.(2)(2)算算:几何法几何法:sin=:sin=.其中其中,为线面角为线面角,h,h为点为点B B到平面到平面的
6、距离的距离,l为斜线段为斜线段ABAB的长的长.空间向量法空间向量法.hl【变式训练变式训练】(2018(2018全国卷全国卷II)II)如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,AB=BC=2,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,OPA=PB=PC=AC=4,O为为ACAC的中点的中点.(1)(1)证明证明:PO:PO平面平面ABC.ABC.(2)(2)若点若点M M在棱在棱BCBC上上,且二面角且二面角M-PA-CM-PA-C为为3030,求求PCPC与平面与平面PAMPAM所成角的正弦值所成角的正弦值.2【解析解析】(1)(1)因为因为AP=CP=AC=4,OAP=C
7、P=AC=4,O为为ACAC的中点的中点,所以所以OPAC,OPAC,且且OP=2 .OP=2 .连接连接OB.OB.因为因为AB=BC=AC,AB=BC=AC,所以所以ABCABC为等腰直角三角为等腰直角三角形形,且且OBAC,OB=AC=2.OBAC,OB=AC=2.由由OPOP2 2+OB+OB2 2=PB=PB2 2知知POOB.POOB.由由OPOB,OPAC,OBAC=O,OPOB,OPAC,OBAC=O,知知POPO平面平面ABC.ABC.32212(2)(2)连接连接OM,OM,如图如图,以以O O为坐标原点为坐标原点,的方向为的方向为x x轴正方轴正方向向,的方向为的方向为y
8、 y轴正方向轴正方向,的方向为的方向为z z轴正方向轴正方向,建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系.OB OC OP 由已知得由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 ),=(0,2,2 ),P(0,0,2 ),=(0,2,2 ),取平面取平面PACPAC的法向量的法向量 =(2,0,0).=(2,0,0).设设M(a,2-a,0)(0a2),M(a,2-a,0)(0a2),则则 =(a,4-a,0).=(a,4-a,0).设平面设平面PAMPAM的法向量为的法向量
9、为n=(x,y,z).=(x,y,z).3AP 3OB AM由由 n=0,=0,n=0=0得得 可取可取n=(a-4),a,-a),=(a-4),a,-a),所以所以cos ,cos=由已知得由已知得|cos ,|cos|=.|=.AP AM2y2 3z0,ax4ay0,（）33OB 2222 3 a4.2 3(a4)3aa（）OB 32 解得解得a=-4(a=-4(舍去舍去),a=.),a=.所以所以PCPC与平面与平面PAMPAM所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .432222 3 a43.22 3a43aa所以（）8 3 4 34(,).333 所以nPC0,2,2 3又（），3cosP
10、C,.4所以n34角度角度2 2二面角的计算二面角的计算【例例2 2】(2019(2019全国卷全国卷)如图如图,直四棱柱直四棱柱ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面是菱形的底面是菱形,AA,AA1 1=4,AB=2,BAD=60=4,AB=2,BAD=60,E,M,NE,M,N分别是分别是BC,BBBC,BB1 1,A,A1 1D D的中点的中点.（1)1)证明证明:MNMN平面平面C C1 1DE.DE.(2)(2)求二面角求二面角A-MAA-MA1 1-N-N的正弦值的正弦值.【题眼直击题眼直击】题眼题眼思维导引思维导引想到线面平行的判定定理想到线面
11、平行的判定定理建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,利用向利用向量法求二面角的正弦值量法求二面角的正弦值【自主解答自主解答】(1)(1)连接连接B B1 1C,ME.C,ME.因为因为M,EM,E分别为分别为BBBB1 1,BC,BC的中点的中点,所以所以MEBMEB1 1C,C,且且ME=BME=B1 1C.C.又因为又因为N N为为A A1 1D D的中点的中点,所以所以ND=AND=A1 1D.D.由题设知由题设知A A1 1B B1 1 DC,DC,可得可得B B1 1C C A A1 1D,D,故故MEME ND,ND,1212因此四边形因此四边形MNDEMNDE为平行四边形为平行四
12、边形,MNED.,MNED.又又MNMN 平面平面EDCEDC1 1,所以所以MNMN平面平面C C1 1DE.DE.(2)(2)由已知可得由已知可得DEDA.DEDA.以以D D为坐标原点为坐标原点,的方向为的方向为x x轴正方向轴正方向,建立如图所示建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系,则则DAA(2,0,0),AA(2,0,0),A1 1(2,0,4),M(1,2),N(1,0,2),(2,0,4),M(1,2),N(1,0,2),设设m=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面A A1 1MAMA的法向量的法向量,则则 所以所以 可取可取m=(,1,0).=(,1,0).设设
13、n=(p,q,r)=(p,q,r)为平面为平面A A1 1MNMN的法向量的法向量,则则 3111A A(0 04)A M(132)A N(1 02)MN(03 0).，11A M0,A A0,mm x3y2z0,4z0，31MN0,A N0nn ，所以所以 可取可取n=(2,0,-1).=(2,0,-1).于是于是coscos=所以二面角所以二面角A-MAA-MA1 1-N-N的正弦值为的正弦值为 3q0,p2r0.2 315|525m nm n，10.5【拓展提升拓展提升】求二面角的常用方法求二面角的常用方法(1)(1)找找:点点(定义法定义法):):在二面角的棱上找一个特殊点在二面角的棱
14、上找一个特殊点,在两个在两个半平面内分别作垂直于棱的射线半平面内分别作垂直于棱的射线.如图如图a,AOBa,AOB为二面为二面角角-l-的平面角的平面角.线线(三垂线定理法三垂线定理法):):过二面角的一个面内一点作另一过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线个平面的垂线,过垂足作棱的垂线过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角到二面角的平面角或其补角.如图如图b,ABOb,ABO为二面角为二面角-l-的平面角的平面角.面面(垂面法垂面法):):过棱上一点作棱的垂直平面过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与该平面与二面角的两个半平面产生交线二面角的两个半平面产生交
15、线,这两条交线所成的角即这两条交线所成的角即为二面角的平面角为二面角的平面角.如图如图c,AOBc,AOB为二面角为二面角-l-的平的平面角面角.(2)(2)算算:射影面积公式射影面积公式:cos=:cos=说明说明:A:A为为A A在在内射影内射影,S,S原原=S=SABCABC,S,S射射=S=SABCABC,的的二面角为二面角为.SS射原；公式法公式法:sin=:sin=说明说明:如图如图,为二面角的大小为二面角的大小,h,h为点为点A A到平面到平面的距离的距离,d d为点为点A A到棱到棱l的距离的距离.h.d【变式训练变式训练】(2019(2019全国卷全国卷)图图1 1是由矩形是
16、由矩形ADEB,RtADEB,RtABCABC和菱形和菱形BFGCBFGC组成的一个平面图形组成的一个平面图形,其中其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60AB=1,BE=BF=2,FBC=60,将其沿将其沿AB,BCAB,BC折起使得折起使得BEBE与与BFBF重合重合,连接连接DG,DG,如图如图2.2.(1)(1)证明证明:图图2 2中的中的A,C,G,DA,C,G,D四点共面四点共面,且平面且平面ABCABC平面平面BCGE.BCGE.(2)(2)求图求图2 2中的二面角中的二面角B-CG-AB-CG-A的大小的大小.【命题意图命题意图】本题考查空间中点、线、面的位置关系、本题考查空
17、间中点、线、面的位置关系、面面垂直的证明面面垂直的证明,向量方法在求二面角中的应用向量方法在求二面角中的应用,意在意在考查考生直观想象、数学运算、逻辑推理的求解能力考查考生直观想象、数学运算、逻辑推理的求解能力.【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得ADBE,CGBE,ADBE,CGBE,所以所以ADCG,ADCG,故故AD,CGAD,CG确定一个平面确定一个平面,从而从而A,C,G,DA,C,G,D四点共面四点共面.由已知得由已知得ABBE,ABBC,BEBC=B,ABBE,ABBC,BEBC=B,故故ABAB平面平面BCGE.BCGE.又因为又因为ABAB平面平面ABC,ABC,所以平面
18、所以平面ABCABC平面平面BCGE.BCGE.(2)(2)作作EHBC,EHBC,垂足为垂足为H.H.因为因为EHEH平平面面BCGE,BCGE,平面平面BCGEBCGE平面平面ABC,ABC,所以所以EHEH平面平面ABC.ABC.由已知由已知,菱形菱形BCGEBCGE的边长为的边长为2,EBC=602,EBC=60,可求得可求得BH=1,BH=1,EH=.EH=.3以以H H为坐标原点为坐标原点,的方向为的方向为x x轴的正方向轴的正方向,建立如图所建立如图所示的空间直角坐标系示的空间直角坐标系H-xyz,H-xyz,则则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,
19、),A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,-1,0).=(2,-1,0).HC 33CG AC 设平面设平面ACGDACGD的法向量为的法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),所以可取所以可取n=(3,6,-).=(3,6,-).又平面又平面BCGEBCGE的法向量可取为的法向量可取为m=(0,1,0),=(0,1,0),因此二面角因此二面角B-CG-AB-CG-A的大小为的大小为3030.3cos,.2所以n mn mn mCG0,x3z0,2xy0.AC0,则即nn3 考向二求点到平面的距离考向二求点到平面的距离【例例3 3】在三棱锥在三棱锥S
20、-ABCS-ABC中中,ABCABC是边长为是边长为4 4的正三角形的正三角形,平面平面SACSAC平面平面ABCABC SA=SC=2 SA=SC=2 ,M,N,M,N分别为分别为AB,SBAB,SB的中的中点点,如图所示如图所示.求点求点B B到平面到平面CMNCMN的距的距离离.3【题眼直击题眼直击】题眼题眼思维导引思维导引想到利用面面垂直的性质作想到利用面面垂直的性质作线面垂直线面垂直建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,利用利用向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离【自主解答自主解答】取取ACAC的中点的中点O,O,连接连接OS,OB,OS,OB,因为因为SA=SC,AB=BC
21、,SA=SC,AB=BC,所以所以ACSO,ACSO,ACBO.ACBO.因为平面因为平面SACSAC平面平面ABC,ABC,平面平面SACSAC平面平面ABC=AC,ABC=AC,所以所以SOSO平面平面ABC,ABC,又因为又因为BOBO平面平面ABC,ABC,所以所以SOBO.SOBO.如图所示如图所示,分别以分别以OA,OB,OSOA,OB,OS所在直线为所在直线为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴轴,建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系,则则B(0,2 ,0),C(-2,0,0),B(0,2 ,0),C(-2,0,0),所以所以 设设n=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面CMN
22、CMN的一个法向量的一个法向量,3S(0,0,2 2)M(13 0)N(032)，CM(33 0)MN(1,02)MB(13 0)，则则 取取z=1,z=1,则则x=,y=-,x=,y=-,所以所以n=所以点所以点B B到平面到平面CMNCMN的距离的距离d=d=CM3x3y0,MNx2z0nn ，26(261)，|MB|4 2.|3nn【拓展提升拓展提升】求点到面的距离的主要方法求点到面的距离的主要方法(1)(1)作点到面的垂线作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的点到垂足的距离即为点到平面的距离距离.(2)(2)在三棱锥中用等体积转换法求解在三棱锥中用等体积转换法求解.(3)(3)向
23、量法向量法:d=(:d=(n为平面的法向量为平面的法向量,A,A为平面上一为平面上一点点,MA,MA为过为过A A点的斜线段点的斜线段).).|MA|nn【变式训练变式训练】在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,AA,AA1 1=AB=BC=3,AC=2,D=AB=BC=3,AC=2,D是是ACAC的中点的中点.(1)(1)求证求证:B:B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD.(2)(2)求点求点B B1 1到平面到平面A A1 1BDBD的距离的距离.【解析解析】(1)(1)连接连接ABAB1 1交交A A1 1B B于于E,E,连接连接DE.DE.
24、根据题意知根据题意知E E为为ABAB1 1的中点的中点,因为因为D D为为ACAC的中点的中点,所以所以DEBDEB1 1C,C,因为因为DEDE平面平面A A1 1BD,BBD,B1 1C C 平面平面A A1 1BD,BD,所以所以B B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD.(2)(2)如图建立坐标系如图建立坐标系,则则B B1 1(0,2 ,3),B(0,2 ,0),(0,2 ,3),B(0,2 ,0),A A1 1(-1,0,3),(-1,0,3),22 =(0,2 ,3),=(0,2 ,0),=(-1,0,3).=(0,2 ,3),=(0,2 ,0),=(-1,0,3).设平面
25、设平面A A1 1BDBD的法向量为的法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),所以所以 所以取所以取n=(3,0,1).=(3,0,1).所求距离为所求距离为d=d=1DB 2DB 21DA 1DB2 2y0DAx3z0nn ，1|DB|3 10.|10nn 考向三利用空间向量求解探索性问题考向三利用空间向量求解探索性问题【例例4 4】如图如图,C,C是以是以ABAB为直径的圆为直径的圆O O上异上异于于A,BA,B的点的点,平面平面PACPAC平面平面ABC,PA=PC=ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,FAC=2,BC=4,E,F分别是分别是PC,PBPC,PB的中点的中点
26、,记记平面平面AEFAEF与平面与平面ABCABC的交线为直线的交线为直线l.(1)(1)证明证明:直线直线l平面平面PACPAC；(2)(2)直线直线l上上是否存在点是否存在点Q Q，使直线使直线PQPQ分别与平面分别与平面AEFAEF、直线直线EFEF所成的角互余所成的角互余?若存在若存在,求出求出AQAQ的长的长;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.【题眼直击题眼直击】题眼题眼思维导引思维导引想到找寻与想到找寻与l平行的直线平行的直线,证明这条直线垂证明这条直线垂直平面直平面PACPAC假设存在假设存在,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,设出设出Q Q点点坐标坐标想到想到|cos
27、|=|cos ,|cos|=|cos|(m为平面为平面AEFAEF的法向量的法向量)PQ,EF PQ【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为E,FE,F分别是分别是PC,PBPC,PB的中点的中点,所以所以BCEF,BCEF,又又EFEF平面平面EFA,BCEFA,BC 平面平面EFA,EFA,所以所以BCBC平面平面EFA,EFA,又又BCBC平面平面ABC,ABC,平面平面EFAEFA平面平面ABC=ABC=l,所以所以BCBCl,又又BCAC,BCAC,平面平面PACPAC平面平面ABC=AC,ABC=AC,平面平面PACPAC平面平面ABC,ABC,所以所以BCBC平面平面PAC,PA
28、C,所以所以l平面平面PAC.PAC.(2)(2)以以C C为坐标原点为坐标原点,CA,CA为为x x轴轴,CB,CB为为y y轴轴,过过C C垂直于平面垂直于平面ABCABC的直线为的直线为z z轴轴,建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系,则则C(0,0,0),A(2,0,C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),0),B(0,4,0),P(1,0,),31313E(0)F(2).2222，33AE(,0,)EF(0 2 0)22，设设Q Q点坐标为点坐标为(2,y,0),(2,y,0),平面平面AEFAEF的一个法向量为的一个法向量为m=(x,y,=(x,y,z
29、),z),则则 取取z=,z=,得得m=(1,0,).=(1,0,).又又 33AExz022EF2y0mm ，33PQ(1y3)，依题意依题意,得得|cos|=|cos ,|cos|=|cos|,|,所以所以y=y=1.1.所以直线所以直线l上存在点上存在点Q,Q,使直线使直线PQPQ分别与平面分别与平面AEFAEF、直线、直线EFEF所成的角互余所成的角互余,AQ,AQ的长为的长为1.1.22222y|y|cosPQ,EF|,2 4y4y1 31|cosPQ,|,2 4y4ym PQEF ，PQ【拓展提升拓展提升】1.1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题空间向量最适合于解决立体几
30、何中的探索性问题,它它无需进行复杂的作图、论证、推理无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算只需通过坐标运算进行判断进行判断.2.2.空间向量求解探索性问题空间向量求解探索性问题:(1):(1)假设题中的数学对象假设题中的数学对象存在存在(或结论成立或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论或暂且认可其中的一部分结论;(2);(2)在这个前提下进行逻辑推理在这个前提下进行逻辑推理,把要成立的结论当作条件把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组据此列方程或方程组,把把“是否存在是否存在”问题转化为问题转化为“点点的坐标的坐标(或参数或参数)是否有解是否有解,是否有规定范围内的解是否有规定范
31、围内的解”等等.若由此推导出矛盾若由此推导出矛盾,则否定假设则否定假设;否则否则,给出肯定结论给出肯定结论.【变式训练变式训练】(2016(2016北京高考北京高考)如图如图,在四棱锥在四棱锥P P-ABCDABCD中中,平面平面PADPAD平面平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)(1)求证求证:PD:PD平面平面PAB.PAB.5(2)(2)求直线求直线PBPB与平面与平面PCDPCD所成角的正弦值所成角的正弦值.(3)(3)在棱在棱PAPA上是否存在点上是否存在点M,
32、M,使得使得BMBM平面平面PCD?PCD?若存在若存在,求求 的值的值;若不存在若不存在,说明理由说明理由.AMAP【解析解析】(1)(1)因为平面因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,交线为交线为AD,ABAD,AB平面平面ABCD,ABAD,ABCD,ABAD,所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.因为因为PDPD平面平面PAD,PAD,所以所以ABPD.ABPD.又因为又因为PAPD,PAAB=A,PA,ABPAPD,PAAB=A,PA,AB平面平面PAB,PAB,所以所以PDPD平面平面PAB.PAB.(2)(2)取取ADAD中点中点O,O,连接连接OP,OC.OP,OC
33、.因为因为PA=PD,PA=PD,所以所以OPAD.OPAD.又因为平面又因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,交线为交线为AD,OPAD,OP平面平面PAD,PAD,所以所以OPOP平面平面ABCD.ABCD.又因为又因为AC=CD,AC=CD,所以所以OCAD.OCAD.因为因为ABAD,ABAD,所以所以OCABOCAB且且OC=2AB.OC=2AB.如图如图,分别以分别以OC,OA,OPOC,OA,OP所在直线为所在直线为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建立空间轴建立空间直角坐标系直角坐标系.P(0,0,1),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0).P(0,0
34、,1),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0).=(1,1,-1),=(2,0,-1),=(0,-1,-1).=(1,1,-1),=(2,0,-1),=(0,-1,-1).设平面设平面PCDPCD的法向量为的法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),则则 PBPCPD PC2xz0,PDyz0,nn 所以所以z=2x,y=-2x.z=2x,y=-2x.令令x=1x=1得得,n=(1,-2,2).=(1,-2,2).cos ,cos=所以直线所以直线PBPB与平面与平面PCDPCD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 PBPB1 22|PB|3 3nn3.33.3(3)(3)方法
35、一方法一:过过B B作作BEAD,BEAD,交交OCOC于于H,H,交交CDCD于于E.E.因为因为OCABOCAB且且OC=2AB,OC=2AB,所以所以OHAB,OH=AB,BH=AO.OHAB,OH=AB,BH=AO.所以所以H H为为OCOC的中点的中点.所以所以EHOD,EHOD,EH=OD.EH=OD.所以所以BE=ADBE=AD且且BEAD.BEAD.1234在在PD,PAPD,PA上分别取点上分别取点F,M,F,M,使得使得PF=PD,PM=PA,PF=PD,PM=PA,则则FMAD,FM=AD.FMAD,FM=AD.所以所以FMBE,FM=BE.FMBE,FM=BE.所以四边
36、形所以四边形BEFMBEFM为平行四边形为平行四边形.所以所以BMEF.BMEF.又因为又因为BMBM 平面平面PCD,EFPCD,EF平面平面PCD,PCD,所以所以BMBM平面平面PCD.PCD.343434因此因此,在棱在棱PAPA上存在点上存在点M,M,使得使得BMBM平面平面PCD,PCD,且且 AM1.AP4方法二方法二:假设存在假设存在M M点使得点使得BMBM面面PCD,PCD,设设 =,M(0,y,M(0,y,z,z),),由由(2)(2)知知A(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),B(1,1,0),A(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),B(1,1,0),=(0,y =(0,y-1,z-1,z),),有有 M(0,1-M(0,1-,),),AMAPAP AMAMAP 所以所以 =(-1,-=(-1,-,).).因为因为BMBM面面PCD,PCD,n为面为面PCDPCD的法向量的法向量,所以所以 n=0,=0,即即-1+2-1+2+2+2=0.=0.所以所以=.=.综上综上,存在存在M M点点,即当即当 时时,M,M点即为所点即为所求求.BMBM14AM1AP4
