1、应用应用基础知识图表基础知识图表奇偶性奇偶性定义定义判定方法判定方法定义法定义法性质法性质法图象法图象法图象性质图象性质函数性质函数性质y=xy=x3 3 y=xy=x2 2yxoaP/(-a,f(-a)P(a,f(a)-ayxoaP/(-a,f(-a)P(a,f(a)-a(-a,-f(a)(-a,f(a)y=X3是是奇奇函数函数y=x2是是偶偶函数函数1.1.函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义2.2.具有奇偶性的函数图象特点（性质）具有奇偶性的函数图象特点（性质）3.3.奇偶函数的性质奇偶函数的性质（补充）（补充），（1）为偶函数为偶函数（2）若）若奇奇函数函数 的定义域含有的定义域含有0
2、，则，则()f x()(|)f xfx(0)0f()f x（3）设）设 ，的定义域分别是的定义域分别是 ，那么在它们的，那么在它们的公共定义域上：奇公共定义域上：奇+奇奇=奇，奇奇奇，奇奇=偶，偶偶，偶+偶偶=偶，偶偶偶，偶偶=偶，奇偶偶，奇偶=奇奇（4）奇函数的反函数也是奇函数。）奇函数的反函数也是奇函数。（5）奇奇函数在关于原点对称区间上的函数在关于原点对称区间上的单调性单调性相同相同，偶偶函函数在关于原点对称区间上的数在关于原点对称区间上的单调性单调性相反相反。（理）（理）（6）奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数）奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数.()f x()g x12,D D例例1
3、.1.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：111xfxxx(2)221lglgfxxx(1)532fxxxx(3)2020 xxfxxx(4)注意:定义域关于原点对称；练习练习:当当a为何值时，函数为何值时，函数 为偶函数；为偶函数；2(),(5,)f xxxa 小结小结:函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法 (1)根据根据定义定义判定，判定，首先首先看函数的定义域是否关于看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，若对称，再再判定判定f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x).有时判定有时判定f(-x)=f(x)
4、比比较困难，可考虑较困难，可考虑等价判定等价判定f(-x)f(x)=0或或f(x)/f(-x)=1(f(x)0)(2)利用定理，借助函数的利用定理，借助函数的图象图象判定判定 (3)性质性质法判定法判定 在定义域的公共部分内在定义域的公共部分内奇奇+奇奇=奇，奇奇奇，奇奇=偶，偶偶，偶+偶偶=偶，偶偶偶，偶偶=偶，奇偶偶，奇偶=奇奇 偶函数在区间偶函数在区间(a，b)上递增上递增(减减)，则在区间，则在区间(-b，-a)上递上递减减(增增)；奇函数在区间；奇函数在区间(a，b)与与(-b，-a)上的增减性相同上的增减性相同.偶函数偶函数y=f(x)在在(-，0）上是增函数，则）上是增函数，则f
5、(x)在在(0,+)上上是（是（）A.增函数增函数 B.减函数减函数 C.非单调函数非单调函数 D.单调性不确定单调性不确定例例2.2.下面四个结论：偶函数的图象一定与下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，函数，函数f(x+1)为为奇函数，则有奇函数，则有f(x+1)=-f(-x+1).其中正确命题的个数是（）其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4特点：特点：自变量取一对相反数，若
6、函数值互为相反数，则为奇函自变量取一对相反数，若函数值互为相反数，则为奇函数；自变量取一对相反数，若函数值相等，则为偶函数。数；自变量取一对相反数，若函数值相等，则为偶函数。练习：练习：已知已知 是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，求求a a的值。的值。例例3.3.设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为-5，5，若当若当x0,5时时,f(x)的图象如图，则不的图象如图，则不等式等式f(x)0的解集为的解集为_ 拓展拓展:()0 x f xx0521y3 3拓展拓展:(理理)()0 x fx0-5-2练习：练习：若若 ，且，且 ，求求 的值；的值；若若 ，且，且 ，求，求 的值；
7、的值；2)(24bxaxxf5)(cf)(cf 2)(3bxaxxf5)(cf)(cf 例例4 4.已知已知 是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当时，时，当，当 时时,则则 的表达式是的表达式是 ;)(xfy 0 xxxxf2)(20 x)(xf例例5.函数函数f(x)=asin2x+btanx+1,且且 f(-2)=10f(-2)=10，则，则f(+2)f(+2)等等于于 .例例6、已知是定义在、已知是定义在R上的偶函数，且上的偶函数，且在在0，+）上为增函）上为增函数，数，则不等式，则不等式 的解集为的解集为 .1()02f(1)0f x 2()0f x4(log)0fx 拓展拓
8、展:4(log)0fx 拓展拓展(理理):(log)0afx 练习：练习：定义在实数集定义在实数集R R上的函数上的函数f(x)f(x)，对任意，对任意x x，yRyR，有，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且，且f(x)f(x)不等于不等于0 0 求证：求证：f(0)=1f(0)=1；f(x)f(x)为偶函数为偶函数 (1)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x，都有，都有f(-x)=f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数.(2)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x，都有，都有f(-x)=-f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数 如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性 1.1.函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义2.2.具有奇偶性的函数图象特点（性质）具有奇偶性的函数图象特点（性质）奇奇 函数函数 函数函数的图象关于的图象关于 对称；对称；偶偶 函数函数 函数的图象关于函数的图象关于 对称对称.3.3.奇偶函数的性质奇偶函数的性质（补充）（补充）
