1、2020年高考前夜数列核心问题剖析一般数列的和求项)2n(SS)1n(Sa1nn1n)1(a0S1n0nSSnn时，当且仅当功能分析1.已知Sn的表达式求an的表达式2.从含有和与项的递推关系式中消去和得到项的递推关系式3.从含有和与项的递推关系式中消去项得到和的递推关系式4.求出和或项后进一步利用原始关系可以求出项与和5.数列的首项问题可能要从原始关系得到 列从第二项开始呈等差数）（n22n2na2)B)(nA2An()1n(B1)-A(n-BnAn)1n(CBAa0CCnnSBA1由和求项由和求项P.Ga)2n)(1)b-a(b(ba-ba1)(naba)0c(abaSn1-n1-nnnn
2、n从第二项开始为时cc为等差数列时a0CCnnSn2nBA特例1特例2P.Ga0cacbaSnnn为时已知an+1=2Sn+1，a1=2求ann2时，an=2Sn-1+1与an+1=2Sn+1相减并整理得：an+1=3an(n2)消和求项再求和例1已知an=2Sn+1，求ana1=-1n2时，an-1=2Sn-1+1与an=2Sn+1相减并整理得：an=-an-1(n2)消和求项再求和例2消项求和再求项)2(1a2a,12nn1nSSann)2(1)(S)2(S21n1nnSSSSnnnn绝对和 an=2n-7,求|a1|+|a2|+|an|当n3时|a1|+|a2|+|an|=-(a1+a2
3、+a3)+a4+a5+an=a1+a2+an-2(a1+a2+a3)绝对和2 Sn=n2-70n,求|a1|+|a2|+|an|当n35时an35时|a1|+|a2|+|an|=-(a1+a2+a35)+a36+a37+an=a1+a2+an-2(a1+a2+a35)=Sn-2S35绝对和2 Sn=n2-70n+70,求|a1|+|a2|+|an|当2 n35时an0|a1|+|a2|+|an|=2a1-(a1+a2+an)=2-Sn 当n35时|a1|+|a2|+|an|=2a1-(a1+a2+a35)+a36+a37+an=2a1+(a1+a2+an)-2(a1+a2+a35)=2+Sn-
4、2S351：在等差数列中,求Sn 的最大(小)值 即:当a1 0,d0,解不等式组 an 0，an+1 0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 0,解不等式组 an 0，an+1 0 可得Sn 达最小值时的n的值;一般数列 an0时SnSn-1,an0时Sn0增，an-an-10时递增数列，d=0时递减数列d=0时是常数数列nnnnaSnaaaaa1321nnnnaSnaaaaa1321例题nnSn1000102nnnaSna1简单性质的综合应用 三角形内角A,B,C依次成等差数列 2B=A+C A+B+C=3B=1800 B=600简单性质的综合应用 B=600 a,b,c成等比数列,b2
5、=ac 由余弦定理:b2=a2+c2-2accos600 ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0 三角形ABC为等边三角形简单性质的综合应用 B=600 a2=bc，b,a,c成等比数列,B要么最大，要么最小 三角形ABC为等边三角形等差数列的通项公式a1=a1a2-a1=da3-a2=d,an-an-1=dan=a1+(n-1)d等比数列的通项公式a1=a1a2a1=qa3a2=q,anan-1=qan=a1 qn-1迭加迭乘法an=an-1+nan=an-1+2n+1an=an-1+2n111nnnnnaannaa等差数列通项公式辨析an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=a3+(
6、n-3)d,=am+(n-m)d等差数列通项公式辨析an=kn+bk=da1=k+bmnaadmndnmaanm)(定义的变通an-1+an+1=2anam+n=am+an bf(x+y)=f(x)+f(y)-bf(x+1)=f(x)+f(1)-b变化an是等差数列，则kan+b是等差数列an，bn是等差数列，则an+bn是等差数列例题1和序列an，bn是等差数列，cn=an+bna1=1,b1=1,a2=1.3,b2=2.7an+bn的通项公式cn=2n公共项序列an，bn是等差数列，则其公共项构成一个等差数列公差是他们的公差的最小公倍数实例1，3，5，7，3,12,21,30,其公共项构成
7、一个等差数列公差是18变化1a，3a，5a，7a，3a,12a,21a,30a,其公共项构成一个等差数列公差是18a等差数列与等比数列的联系)0p(是等比数列是等差数列nanpa 不是等差数列不是等差数列是等差数列nnnaada1)0(2变化an等差，则an+10,a10n等差变化an，bn是等差数列，公差d1,d2,bnN*,则21dd,公差等于等差nba变化an等差，则a1+a2,a2+a3,a3+a4,a1+a2,a3+a4,a5+a6,.等差a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9，,等差a1+a2+am,am+1+am+2+a2m,a2m+1+a2m+2+a3m，,成等差
8、数列公差m2dSn,S2n-Sn,S3n-S2n,是等差数列实例：等差数列an中a1+a4+a7+a97,a2+a5+a8+a98,a3+a6+a9+a99，等差具体例题a1+a4+a7+a97=1,a2+a5+a8+a98=2,a3+a6+a9+a99=3a1+a2+a3+a99=3,a2+a5+a8+a98=1换成等比数列a1+a4+a7+a97=1,a2+a5+a8+a98=2,a3+a6+a9+a99=4等比数列通项公式辨析an=a1 q(n-1)=a2 q(n-2)=a3 q(n-3),=am q(n-m)等比数列通项公式辨析an=A BnB=qa1=ABmnmnaaqmnmnqaa
9、定义的变通an-1an+1=an2定义的变通am+n=am an bf(xy)=f(x)f(y)bf(x+1)=f(x)f(1)b变化an是等比数列，则kan是等比数列|an|是等比数列变化ank是等比数列an，bn是等比数列，则anbn是等比数列都是等比数列nnnnaaaa1,1022 是等比数列nb*nnnaNbP.Ab,P.Gaan，bn是等比数列，则当且仅当公比相等时an+bn是等比数列2an+3bn也是等比数列变化an，bn是等比数列，则其公共项构成一个等比数列公比是他们的公比的最小公方 数变化21，23，25，27，21,24,27,210,其公共项构成一个等比数列公比是26。|l
10、n|ln|ln)0p(|lnpqnapqaaannnnn是等差数列是等比数列对比变化an等b比，则a1+a2,a2+a3,a3+a4,a1+a2,a3+a4,a5+a6,.等比a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9，,等比a1+a2+am,am+1+am+2+a2m,a2m+1+a2m+2+a3m，,成等比数列公比qmSn,S2n-Sn,S3n-S2n,是等比数列变化an等b比，则a1a2,a2a3,a3a4,a1a2,a3a4,a5a6,.等比a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9，,等比a1a2am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m，,成等比数列公比(qm
11、)m.a1+a3+a5+a7=4a4a2+a4+a6=3a4a9=(a1+a17)/2=S17/17等差数列的拓展性质正项数列an,bn分别等差等比a1=b1,am=bman 与 bn大小关系87654321-224681087654321-2246810公差于公比的类比nmaadnm nmnmaaq 1通项公式的类比dmnaamn)(mnmnqaa 数列性质的类比srmnaaaasrnm srnmaaaasrnm dkaaaaaaaaaakkkkkkkn23221222121.,.成等差数列公差成等差数列公差，等差，等差，若若 kkkkkkkknqaaaaaaaaaa成等比公比成等比公比和非
12、零和非零，等比，等比，若若)(.,.3221222121 等差数列中的重要性质：5463728154637281aaaaaaaaaaaaaaaa等比数列中等差数列中25647382915647382912aaaaaaaaaaaaaaaaaa等比数列中等差数列中法1等差数列中a1+a8=a4+a5a1a8与a4a5谁大谁小？和一定相等时积最大，差(绝对值)越小,积越大，差越大积越小，差最大积最小a1a8 a4a5法2等差数列中a1+a8=a4+a5-（1）a1a8与a4a5谁大谁小？|a1-a8|a4-a5|-（2）(1)2-(2)2得a1a8a4a5法1等比数列中a1a8=a4a5a1+a8与
13、a4+a5谁大谁小？积一定相等时和最小，差(绝对值)越小,和越小，差越大和越大，差最大和最大a1+a8a4+a5法2各项为正数的等比数列中a1a8=a4a5-（1）a1+a8与a4+a5谁大谁小？|a1-a8|a4-a5|-（2）4(1)2+(2)2得a1+a8 a4+a5递增的等差数列中a1+a8=5,a4a5=6a1+a8=a4+a5=5a4=2,a5=3an=2+(n-4)1递增的等比数列中a1+a8=5,a4a5=6a4a5=a1a8=6a1=2,a8=3和的性质片断和数列的公差若an为等差数列,公差为dSn,S2n-Sn,S3n-S2n成一个新的等差数列公差为n2d等比数列的片断和a
14、1+an=54,an+1+a2n=6,a2n+1+a3n=?Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)62=54(S3n-60)等比数列的片断和a1+an=54,an+1+a2n=6,a2n+1+a3n=?作为选择题还可以取n=1则已知成为a1=54,a2=6,可求a3判断等差数列数列的公差2dnS2d)1n(nnaBnAnSn12n为等差数列，公差为n1n11n11n11n1n1nq1qaq1qa1qaqa1-qaqa1qaaq1aaS1qn时，项和公式等比数列的前30-7联想2BnAnn)2da(n2dd2)1n(nnan2aan2aaSn212
15、11n2n1n项和公式等差数列的前29-42310TSba,32n1nTSba2bbn2aanTSb,a9955nn2n12n1n1n1nnnn则若知两个等差数列29-4联想可求已知，则等差数列中95Sa29-415a9aSS95aa355995._,3432*,.1 483759 bbabbannTSNnTSnbannnnnn则则都有：都有：对任意的对任意的、项和分别为项和分别为的前的前、若两个等差数列若两个等差数列 解析解析.4119112112222 1111111111666396369483759 TSbbaababaabababbabba qqaaqqaqnaSqaqaqaannm
16、nmnnn11)1(1,112211末末首首等比数列12121221)1(mnnmmnnmnmmmnmnmmmaaaaaaaamnaaaa81511515115211521ln15ln215)ln(lnlnlnlnaaaaaaaaaaa5010021)12100(amaaaammmm15010021mnmmmmaaaaa0)12100(5010021amaaaammmm等差数列中若a50=0115010021mnmmmmaaaaa等比数列中若a50=1等差数列中am=n,an=mam+n=0am=km+b=nan=kn+b=m两式相减得k=-1,b=m+nam+n=k(m+n)+b=0若知k就
17、是dam+n=am+nd=n-n=0tujie108642-2-4-6-551015A(m,n)B(n,m)Sm=Sn,(mn)Sm+n=0108642-2-4-6-551015EFGH108642-2-4-6-551015EFGH0)nm(B)nm(AS0Bn)A(mBnAnBmAmSSBnAnSBmAmS2nm22nm2n2mSm=n,Sn=mSm+n=-(m+n)nm()nm(B)nm(AS-1Bn)A(mmBnAnSnBmAmS2nm2n2m从裂项的角度联想2n1n1nn2n1nn1nn1nnaa1aa12d1aaa1)(a1a1(d1aa1)5n1n1(51)5n(n11n1n1)1
18、n(n1等差数列）从不等式放缩的角度联想1n1n1)1n(n1n1n11n1)1-n(n1n1)1-nn(21nn2nn2n1)n1n(21nn2nn2n122项和的前求nnaNnannn*).()21(1:,2111 )21()21(3)21(2112得式两边同乘nnnSnnnnnnnSnnS)21()21()21()21(1)211(:,212 )21()21)(1()21(221211212得式式减去教学反馈中，我们发现这种方法教学反馈中，我们发现这种方法尽管容易被学生接受，但学生在尽管容易被学生接受，但学生在运算过程中也很容易出错运算过程中也很容易出错.在高考在高考阅卷中，我们也发现能
19、用阅卷中，我们也发现能用“错位错位相减法相减法”算出正确结果的考生少算出正确结果的考生少之又少之又少.裂项法，迭加法，迭乘法，归纳法递推数列转换法1 a1=1,an=2(an-1+an-2+a2+a1)(n1)n2时，an=2Sn-1 n3时，an-1=2Sn-2 两式相减并整理得an=3an-1(n3)a1=1,a2=2S1=2a1=2,an=a23n-2(n 2)2an+an-1=3,a1=1an+1+an=3an+1=an-1a1=a3=a5=1a2=a4=a4=22an+2=an+1-ana1=1,a2=5an+3=an+2-an+1an+3=ana1=a4=a7=1a2=a5=a8=
20、5a3=a6=a9=4变式练习an+1=2Sn+p，a1=2为使数列an成等比，充要条件p=2由an+1=2Sn+p，a1=2得：an+1=3an(n2)an+2=an+1-anan+3=an+2-an+1两式相加得an+3=-anan+3=-anan+6=-an+3an+6=an数列递推公式的变形an+an+1=C,(等和数列等和数列)变变换得：换得：an+1+an+2=C于是于是an=an+2,数列为间隔数列为间隔相等数列相等数列21112211 nnnnnaaaaa递推关系的变通 1121111212111nnnnnnnaaaaaaa递推关系的处理方式1另一例2Sn=n(a1+an)2S
21、n+1=(n+1)(a1+an+1)2an+1=a1+(n+1)an+1-nan(n-1)an+1=nan-a1nan+2=(n+1)an+1-a1nan+2+nan=2nan+11132nnnaa1332311nnnnaa求证2n5n+7(n5,nN)研究具有下列性质的函数1212111nnnnnnaaaaaannnnnnaaaaaa212111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa11111111111121nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa3313131333133131121nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa111111111111211212214212 n
22、n?1)1()1(2321)1(21)1221222141212 kkkkkkkk（89)2)(1(2)32(1)1()12321 kkkkkkk（.,12.2 nnnnnnaanaSSna的通项的通项求数列求数列满足满足项和项和的前的前已知数列已知数列 解解,22:,1)1(2,12 111nnnnnnaanaSnaS得两式相减2)2(22)()(2,22111nnnnnnaaxxaxaaa结构主义和整体意识1111112123123n)()()(1n222221221211高考试题展示112211125222nnaaan高考试题展示11111,31nnnaaaa高考试题展示111nnnna
23、aa a注意题目的提示和指引 高考想到出题难高考想到出题难 考纲如镜法如山考纲如镜法如山 几支梅艳三寒苦几支梅艳三寒苦 一道题成百汗干一道题成百汗干 缘遇遭遇各有因缘遇遭遇各有因 殊途同归大局稳殊途同归大局稳 解题先解出题人解题先解出题人 看到题型想题根看到题型想题根考前几天 注意不要太累，保持身体健康。默写重要的概念公式和定理；试卷和专题中曾经犯过的错误考试前 提前半小时到达考区创设数学情境创设数学情境，让大脑进入单一数让大脑进入单一数学状态学状态 基本知识“过过电影”暗示重要知识和方法 提醒常见解题误区 稳定情绪、增强信心考场上 简单题，要细心，莫忘乎所以面对偏难的题，要耐心，不能急。静心
24、、信心、细心、专心;做到“内紧外松”不要总想“捞满分”而要常想“多拣分，少丢分”良好的开端是成功的一半 开头要慢，注意及时检查核对 立足中低档题目，力争高水平 先易后难。不能走马观花,有难就退 先熟后生先小后大：使思维流畅创造宽松的心理基础使思维流畅创造宽松的心理基础 一“慢”一“快”，相得益彰审题要慢解答要快审题要慢解答要快，特别应用题多看两遍，特别应用题多看两遍 讲求规范表述，力争既对又全 面对难题，讲究策略，分步得分 后三个大题中也有很多分数容易得，千万别放过 混分方法 把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标等，完成数学归纳法的第一步，分
25、类讨论的简单情形等，都能得分。重重视视检检查：查：能能查查出出自自己己的的错错误误很很难难 先检查头尾 检查符号，规范，端点，审题不仔细的地方 忘记了定义域 忘记了正负号 忘记了特殊情形 没有利用特殊情形进行检验 忘记了充分性的说明重要方法技巧 判别式法与韦达定理 均值不等式 参数与分离参数法 拆项法 错位相减法 线性规划方法常用数学思想1、函数与方程的思想函数与方程的思想.2、数形结合的思想数形结合的思想:但切忌对图形的默认代替证明但切忌对图形的默认代替证明3、分类与整合的思想 分类之后必须整合分类之后必须整合选择填空题 优先作图,优先考虑特例“小题不可大做小题不可大做”“小题小作”解题五重视1.隐含条件隐含条件2.定义和定义域定义和定义域3.整体意识目标整体意识目标 意识意识4.正难则反正难则反,旁敲侧击旁敲侧击5.审题尤重要审题尤重要。美好祝愿重重要。要。老老妈妈最最近近很很累，累，别别忘忘对对她她笑笑笑，笑，穿穿得得漂漂漂漂亮亮亮，亮，誓誓把把监监考考迷迷倒。倒。最最后后提提醒醒一一遍，遍，检检查查铅铅笔笔小小刀！刀！祝祝你你高高考考顺顺利！利！
