1、2020高考数学不等式专题汇编一、积分放缩一、积分放缩积分法即利用积分的几何意义进行放缩。积分法即利用积分的几何意义进行放缩。基本结论：基本结论：nndxxnnnln)1ln(111)1ln(ln111nndxxnnnnn-1n1xxxf11)(或nnnnxdxxn11|21111|211nnnnxdxxnnn+1n1xxxf11)(或*例例1 1、求证：、求证：nnn1.211)1ln(11.3121证：证：)1ln(ln111nndxxnnn)1ln(11.1111.31211113221ndxxdxxdxxdxxnnnnnndxxnnnln)1ln(111同理证右。同理证右。)1ln(1
2、)1ln(nnnnn练习：练习：2221.21111nnn）（2131.211112*nnn）（)2(121.211213*nnnn）（1、求证：、求证：)11(21.312114nn）（二、函数放缩二、函数放缩函数法即构造函数，利用函数单调性进行函数法即构造函数，利用函数单调性进行放缩。放缩。基本结论：基本结论：xxxx)1ln(1lnnnn11ln)11(21ln11ln22222nnnnnn!1)!1(1!lnnnnn*例例2 2、求证：、求证：665333ln.33ln22lnnnnn证证1 1：)31.3121(13nnS左xxxxx11ln1ln)3(652ln3ln2ln)13l
3、n(11.1131.31211321334332nnndxxdxxdxxdxxnnnnnnndxxnnnln)1ln(111时验证成立、21n右，得证。左6513nSnnnnn6513)31.3121(13需证nn6531.3121证证2 2：)31.3121(13nnS左xxxxx11ln1lnnnnn6513)31.3121(13需证nn6531.3121不行。（缩得太小）（）（）（）（段放缩换个思路，指数结构分,3231.3131.31.3131)3131(31.231131.31.5141)3121(31.3121222111121nnnnnnnn？段，每个括号都）（）（再换思路653
4、1.231131.31.5141)3121(31.31211121nnnnn6531.231131)(11nnnnf下证nndxxnnnln)1ln(111132)13(3ln1313ln)13ln()13ln(11.1131.231131)(11111313133332323131111111nnnnnnnnnnnnnnnnndxxdxxdxxdxxnf)1323ln()(1nnf651)1023ln()(3nfn时，当65)2(,65)1(2,1ffn时，验证当得证。所以nnfffn65)(.)2()1(31.3121的最小值。求整数恒成立，若项和为前mmSSSnanannnnn15,1,
5、3412练习：练习：121122112211.11)1(,1.11)(151.11nnnnnnnnnaaanfaaanfNnmaaa令恒成立，对解：解：0)681181()681381(341181381111)1()(122nnnnnnnaaanfnfnnn3141591511115)1()(),1()(32mmaamfnfnfnf减，则需所以.5最小值为正整数m*例例3 3、求证：、求证：)2,2()1(212ln.33ln22ln2nnnnnn证证1 1：)1(11111lnln22222nnnnnnnnn减在),4lnxxy右，得证。）左1121(1)1(11(.)4311()3211
6、(nnnnS证2：令)1(11)1(121)1()1(2)1(212)1()(222nnnnnnnnnnnnnfnf)1(212)(2nnnnf)1(11ln22nnnn再证：成立因为)1(11111ln22222nnnnnnn所以：)1()(ln22nfnfnn由取n=2,3,n累加)1()(ln22nfnfnn)1(212)1()(ln.33ln22ln2222222nnnfnfnn再证：)2(lnln22nnnn构造函数：)4(lnxxxy减在),4lnxxy)2(lnln22nnnn*例例4 4、求证：、求证：en)!11).(!311)(!211(证：证：1.814121!1.!31
7、!21!1!11ln(nSnn左）取等）（只有）（11lnxxx1)!11ln(.)!311ln()!211ln(1)!11).(!311)(!211ln(nn即证*例5、求证：bbbababaaaln)ln()(2ln)(ln证：两个字母的不等式，可以将其中一个字母看成变量，另一个看成常数构造函数。)ln(2ln1)ln(2lnln1)(baabaaay)0,0(,0ln)ln()(2ln)(ln)(babbbababaaaay即证),0()(0)(bbaybaay，在得证。0)()(byay11()12()2af xaxaax()lnf xx1,)1111ln(1)232(1)nnnn*例
8、例6 6、已知函数、已知函数（1 1）证明：）证明：在在上恒成立；上恒成立；（2 2）证明：）证明：解（解（1 1）：）：)1,21(ln211ln)()(xaxaxaaxxxfxg令2222)1)(1(111)(xxaaxxaxaxxxaaxg析）（或用二次函数图象分0)1)(11()(2xxaxaxg0)1()(),1)(gxgxg增，所以在xxfln)(证（证（2 2）：在（）：在（1 1）中）中考察所求式取等只有则取)1,1(ln2121,21xxxxxa1111ln(1)232(1)nnnn()ln(1)2(1)()(1)(1)(2).(1)(0)(0)(1)(0)(2)(1).()
9、(1)nnnf nnnf nf nf nf nffffffff nf n左边 部分，考虑把右边拆成 部分令)1(22121)1(21)1ln(21ln)1(2)1ln(1)1()(1,0)0(kkkkkkkkkkkkkkkkkkkfkfkf所以只需证注意得证。，则令取等只有对照结论)1(221)1(2121)1ln(1)1,1(ln2121kkkkkkkkkkkkxxxxxx练习：练习：*1、求证：、求证：证证1 1：4)1(21.232221211ln)1)(1(ln21ln22nnnSnnnnnnnn左4)1(1ln.43ln32lnnnnn取等）（只有11lnxxx证证2 2：令：令4)
10、1()(nnnf214)2)(1(4)1()1()(nnnnnnfnf)1()(211lnnfnfnnn再证再证再取再取n=2,3,.,nn=2,3,.,n累加得证。累加得证。2、求证：、求证：证：证：!1)!1(1!1!lnnnnnnn1!ln.!33ln!22lnnn取等）（只有11lnxxx1!11)!1)!1(1(.)!31!21()!211(nnnS左*3、求证：、求证：证：证：）构造函数，略（1)0,3(12)1ln(1xaxax）（32)1(1).(321()211(2nenn）（)1(32)1(1ln(132)1ln(3nnnnxxa令)1(32(.)3232()2132(nn
11、S左32)1(1ln(.)321ln()211ln(2nnn）即证（得证。32)111(32nnn此题思想重要！此题思想重要！三、对偶放缩三、对偶放缩 基本结论：基本结论：糖水不等式糖水不等式,(0,0)bbmabmaam)0,0(,mabmambab例例1 1、求证：、求证：121)211).(411)(211(nn证：证：1212124321 nnnS即证1225432 nnS121121)12(.432)2(3212 nSnnnS例例2 2、求证：、求证：证：证：2313784512 nnS左1335623 nnS3313133.321)13(432 nSnnnS313)2311).(7
12、11)(411)(11(nnnnS3136734 练习：练习：1、求证：、求证：312)1211).(511)(311(nn证：略。证：略。证证1 1：先通项放缩，再考虑求和。：先通项放缩，再考虑求和。2、求证：、求证：1122642)12(531.642531423121 nnn121121)12(4322321)12(75326422642)12(5312 nannnannnnannn考虑右端裂成考虑右端裂成n n份为份为)1()2(.)2()1()1()()1()(112ffnfnfnfnffnfn只需只需1212)1()(121nnnfnfn分析法可证。分析法可证。证证2 2：先考虑求
13、和，再考虑裂项放缩。：先考虑求和，再考虑裂项放缩。nnnnnnanaananannnnnna 2)12()22(2212)22(2642)12)(12(53111nnnnaana2)1(211)22(2)22()22(2(.)64()42(.1111322121nnnnnanaanannaaaaaaaaS121nan同前放得太大。11213222nnnS适合。112132222332123)22(264)12)(12(53211 nnnSnnnnnan四、裂项放缩四、裂项放缩mabmabba11)()1(.)3()2()2()1()()1(nfnfffffnff裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技
14、巧。常见于积式、分式，根式，二次等结构，基本思想是转化成差形结构f(n)-f(n-1)累加求和解决问题。一般思路是配积取倒凑差。)1()(.)2()3()1()2()1()(nfnffffffnf)1()(.)2()3()1()2()1()(nfnffffffnf基本结论：基本结论：)(.21或nfaaan的列项思路：的列项思路：，再累加。证)1()(nfnfan)1()2(1ffa)2()3(2ffa)1()(nfnfan)()1()(.21nffnfaaan往往往往 ，加强就可以证明。，加强就可以证明。0)1(f用于计算。1111111111)1(11)1(nnnnnnnnnnnaaaaa
15、aaaaaa用于放缩。注意1110112111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa的想法：如对)0(21nnnnaaaa基本结论：基本结论：(一一)分母整式型裂项分母整式型裂项111)1(1nnnn)11(1)(1dnnddnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnnnnnn11111112)1(1)1(12113nnnnn（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）)121121(21444/111222nnnnn例例1 1、求证：、求证：21.31211222n471.31211222n)2(351.31211)12)(1(6222nnnnn(1)(1)(2)(2)*(
16、3)(3)例例1 1、求证：、求证：证证(3)(3)：)121121(21444/111222nnnnn35321121121.71515131(211.31211222）nnn证证(3)(3)：111)1(112nnnnn综上得证。所以时验证成立。）)12)(1(62)3(12611111111(.)3121()211(1.31211222nnnSnnnnnnnnnnn*例例2 2、求证：、求证：证：通项分析，裂项放缩。证：通项分析，裂项放缩。)12(2167)12131(211)121121(.)7151()5131(211)121121(.)7151()5131(211)121121(2
17、1)12)(121)1212nnnnnnSnnnnn左（)2()12(2167)12(1.51311222nnn证：通项分析，裂项放缩。证：通项分析，裂项放缩。例例3 3、求证：、求证：证：证：411.3121333n)1(1)1(121)1()1(11133kkkkkkkkkk3212112143132121)2)(1(1)1(121.nnnn41)2)(1(12121nn左练习：练习：证：证：na2212)(aaa.)(23213aaaa221).(nnaaaa11annnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaanf.1.1).)(.().()(211212112122112112112
18、1321212111.11).1.1(.)11()11(aaaaaaaaaaaaaaaaaaannn左1 1、设、设为正数列，求证：为正数列，求证：证：证：2)1(),1(nbnnann1251.112211nnbababa)2(125)11212161nn（左*2 2、求证：求证：)111(21)1(21)12)(1(11nnnnnnbann也成立，综上得证。1n (二二)分母根式型裂项分母根式型裂项（1 1）（2 2）（3 3）)1(2),1(2(21kkkkkkk)111(2)1(12)1(12213kkkkkkkkkkkkkkk)111(213kkk31k)111(2kk)111(21
19、1)111(23kkkkkkk即即，同理，同理)111(2.1)1(2)1()1(2)1(1kkkkkkkkkkkk)111(2)1(1kkkk基本结论：基本结论：例例1 1、求证：、求证：*(1)(1)(2)(2)17,16(1801kk31.2111333n证（证（2 2）：）：)111(2)1(12)1(12213kkkkkkkkkkkkkkk)111(213kkk323)111.3121211(21nnnS例例2 2、求证：、求证：)112(21.31211)11(2nnn证：注意观察不等式两端结构，裂成证：注意观察不等式两端结构，裂成n n份比较。份比较。)1212(21)1(2nn
20、nnn为需证结构为需证结构累加得证。累加得证。例例3 3、求证：、求证：)111(2)1(1.231121nnn证：注意观察不等式两端结构，裂成证：注意观察不等式两端结构，裂成n n份比较。份比较。)111(2)1(1nnnn为需证结构为需证结构)111(2.1)1(2)1()1(2)1(1kkkkkkkkkkkk)111(2)1(1kkkk累加得证。累加得证。例例4 4、求证：、求证：1)1(111.3121121111222222nnn证：注意观察不等式两端结构，裂成证：注意观察不等式两端结构，裂成n n份比较。份比较。累加得证。累加得证。1111)1(11122nnnn练习：练习：证：证
21、：)11(21.114122454432nxxxxxxnn1 1、设、设，11x为偶数）（为奇数）nnnnxn1(，求证：，求证：nnnnnxxnn2241141)12)(12(11424244122显然成立nnnnn11121)11(21.3221(2nnn）左*例例1 1、数列、数列 满足：满足：求求 的整数部分。的整数部分。1,23211nnnaaaa2015211.11aaamna解：解：nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa111)1(111)1(111121111111nnnaaa1121111201520151aaam1232015maa (三三)其他结构裂项其他结构裂项例
22、例2 2、求证：求证：nnnnnnaaaTa.22421，证：证：)121121(23)12)(12(223123)2(222332234211211nnnnnnnnnnnnT累加得证。累加得证。23.21nTTT分母出现积式是裂项的条件，分子配凑分母的差进行分母出现积式是裂项的条件，分子配凑分母的差进行调整。所以调整。所以配积取倒凑差配积取倒凑差是裂项的基本思想方法。是裂项的基本思想方法。)1(1)(1)1()()()1(nfnfnfnfnfnf例例3 3、(2015(2015重庆重庆22)22)：121213121),2,(12,2,010,301000021110kakukNkkauua
23、aaaaaknnnnnn求证：）若（；求）若（中，数列背景：背景：递归数列，数列不等式。递归数列，数列不等式。策略：策略：递归公式变形，迭代或裂项后累加，构造新递归公式变形，迭代或裂项后累加，构造新数列，数列单调性数列，数列单调性(有界性有界性)，放缩法。，放缩法。解析解析(1)(1)解析解析(2)(2)；求）若（中，数列nnnnnnauuaaaaaa,2,010,32111022,0,3211nnnaaaua000011nnnaaaa矛盾，所以，由已知若1123232nnnnnaqaaa的等比数列，公比是首项为则121213121),2,(120100000kakukNkkk求证：）若（20
24、10)1(1,1nnnakaauk若解析解析(2)(2)2010)1(1,1nnnakaauk)11(11)11(1111110001000020202021kakkaakakkakakkakaaannnnnnnnnn)(.)()(0001231211kkkaaaaaaaa)11.1111(113002010000kakakakkkk3.0)1(,3112011aaaakaaannnnn因为13121312)11.1111(113000000201000100kkkkkakakakkkakk22131200010nkakkka又12121212)11.1111(1130000002010001
25、00kkkkkakakakkkakk综上得证。*例例4 4、(2015(2015浙江浙江20)20)：)1(21)2(212211,2121211nnSnSnaaaaaaaannnnnnnnn求证：项和为前）设数列（；）证明：（中，数列背景：背景：递归数列，数列不等式。递归数列，数列不等式。策略：策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。裂项求和，放缩法。)1(21)2(212211,2121211nnSnSnaaaaaaaannnnnnnnn求证：项和为前）设数列（；）证明：（中，数列背景：背景：递归数列，数列不等式。递归数列，数
26、列不等式。策略：策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。裂项求和，放缩法。解析解析(1)(1)21.0121nnnnnaaaaa；）证明：（中，数列211,211211nnnnnnaaaaaaa0)1).(1)(1(.)1)(1()1(111111aaaaaaaaaannnnnnnn21,0(na所以212,1 11121nnnnnnnnaaaaaaaa或用数学归纳法证明)1(21)2(212,212211nnSnSnaaaaaannnnnnn求证：项和为前）设数列（中，数列解析解析(2)(2)12nnnaaa11322121)(
27、.)()(nnnnaaaaaaaS)1(121nnnnnnaaaaaannnnnaaaaa111)1(111nnnnnaaaaa111)1(1112,1 11111nnnaaa2,)11(.)11()11(11121111nnaaaaaaaannnnn212212,2111nnannann，)1(21212211nnanSnnn练习：练习：证：证：)11(21.1121naaan*1 1、设、设1111naaann，求证：求证：1111111nnnnnnnaaaaanaa)11(2211.1121121121naaaaaaaaaaannnnn证：证：645.21nbbb2 2、设、设22)2(
28、12nnnannbna，求证：，求证：)2(11161)2(44161)2(41222222nnnnnnnnbn645)211(161)2(1)1(1()211(161)2(1.31()1.211(161.2222222221nnnnbbbn证：证：)2(211.1111121naaan3 3、设、设21121aaaannn，求证：求证：nnnnnnnnaaaaaaaa111)1(11)1(1111111nnnaaa)11(.)11()11(13221nnaaaaaaS中1111211nnaaa)2,1(131Saan解解(1)(1)：na）求（14 4、设、设1).(21111aaaanan
29、n，12.1)1(211ananaannannnn作差)2(nnan)(1,1,212211knbbbabbbnnnknn求证：满足：）（).(2111nnaaana)2)(.(2)1(111naaaannn适合11anan所以证证(2)(2)：nnnbbkbb2111,21增0.11nnnbbbb系放缩，寻找递归不等关直接求通项不易，只有kbbbbkbkbbnnnnnnn111111121kkkkbbbbbbbbkkkkk12)1)(1(1)11(.)11()11(1112211)(111knbkkbnk五、等比放缩五、等比放缩 等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯等比放缩适用于指数结构，
30、当后前项不是纯等比关系。可以考虑将后前项的比值放缩成一等比关系。可以考虑将后前项的比值放缩成一个常数，转化为等比数列求和处理。个常数，转化为等比数列求和处理。基本结论：基本结论：111)()()()()()(nnnnqafafqafaf正数列中，qaaaSqn1.1|121正等比数列中，741231.12311311n*例1、求证：左（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证：证：7484482111212811.231.2312811231.23171411212nnnii1611121.)121()21()221)(21()121)(21(2211212211iiiii)121(
31、)21(11i)2()21(1211nii)3(6112114134.)21()21(31132nSn*例2、求证：所以所以左=（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证法证法1 1：611611321nSSSSnii16111212122212122121212111111nnnnnnnnaa)2()21()21(.211111naaannnn例2、求证：其余同法1证法证法2 2：nnnaaaTan.1342121，例3、求证：所以左证：证：3nT313131131131311212122121nnnnnnaa)2(2)31()31(.311111naaannnn)2(33112.
32、2)31(.2)31(231212nSnn3321nSSSnnnnnnnbbbTaaba.,1)4(5421122，例4、求证：证：证：23nT416201165145145122nnnnnbnnnnnn1625)16(16254163)16(162522233411 bT234869.)1611612534232（时，nTn23nTnnna23 例5、求证：证法证法1 1：231.1121naaa)1(31)32(23 312311111nannnnnn)2(21 1)23(212311nannnnnn证法证法2 2：练习：练习：证：证：21 nan）（1 1、设、设3,1121anaaan
33、nn，求证：，求证：21312)2(1)(12211121naknkkkaakaaakaknnnkkkkkk所以成立所以成立即）假设成立）数学归纳法（2111.1111221naaa）（121)(11)(21nnnnnnanaaaaaf）结论，联系（）注意结构考虑（1111122)1(1211121nnnnnnnaaaaaa）（21.161814121111左nna解：解：nnnaPGaa，求）若（112 2、设、设5,62111aaaaannn211.11321naaa）求证：（1134112kkkaak为奇数时，）求证：（1-11-11-16)1(61nnnnnnnnnnnnnaaaaaa
34、aaaaaaa）（为常数qaaaannnn1-116)1(3216或111315231522nnnnnaaqaa，等比，首项时，111)2(10321033nnnnnaaqaa，等比，首项时，1)2(3nna联立解得0)23)(23(3)23(784)23)(23(34867342312313411211111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkaak为奇数时，）（113411kkkaa所以11341123kkkaak为奇数时，）由（2191194.3434341.1164221naaan为偶数，则若。综上为奇数，则若211.112111.111.112112121nnnnaa
35、aaaaaaaan六、二项式定理放缩六、二项式定理放缩二项式定理将二项式定理将n n的指数形式和幂形式结合起来，的指数形式和幂形式结合起来，只取展开式的有限项就建立了不等关系。只取展开式的有限项就建立了不等关系。基本结论：基本结论：)3(1221nnn）（)5(2222nnnn）（)2(12332nnn）（),1(1)1(4Nnxnxxn，）贝努利不等式（3)11(25nn）（)2,1(,)1(422nxxnxn例1、求证：证：证：222210)1()1(.)1()1()1(1 xCxCxCxCCxxnnnnnnnnn222)1(2)1()1(xnnxCn04)2(42)1(2nnnnn)2,
36、1(,)1(422nxxnxn，nannbna)21(,12例2、解：解：nnbbbS.21的大小。与，比较nnnnnTSaaaaaaT341.1113221)41132nnS（)12113234nTn（，nnCCCCnnnnnnnn21313.33)31(42210nnTS34)41132nnS（)12113234nTn（，),0,1(1)1(Nnnxnxxn，例3、证明贝努利不等式证法证法1 1：函数法：函数法0110 1)1()1()0,1(1)1(11xxxnnxnynxnxxynnn由，增减，在),00,1)(xynxxyxyn1)1(0)0()(证法证法2 2：二项式定理法：二项式
37、定理法)0(1.)1(2210 xnxxCxCCxnnnn但不能说明但不能说明x x在在-1,0-1,0的情况。的情况。证法证法3 3：数学归纳法：数学归纳法nxxknxkkxxkxkxxxxknkxxknnnkkk1)1(1)1(1)1(1)1)(1()1()1()1(11)1(21121所以成立所以时，则时，）假设（成立）（3)11(2nn*例4、求证：证：证：2.)1(11)11(221nCnCnnnnnnnnnnnnCnCnCnCn)1(.)1()1(11)11(33221121!1121!1)1(!)1).(2)(1()1(kkkknknknnnnnnnknkknnnnnC32111
38、1.)21(2111)11(2nn所以综上得证。综上得证。练习：练习：证：证：1 1、设、设2,1nNna求证：求证：)0(1)1(1)1()1(1xnxxnxxxaxannnn即证令naan11已证。即贝努利不等式，前面证证1 1：2 2、求证：、求证：),0,(2)2(Nnbababannn显然成立1n)(0)(2)(22Ababannnnn 时，即证).(2).)()(2)(2222110210nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbCbaCbaCaCCCCCbababa0)()()(kkknknknknkkknnnknknkknnkknknknnnbabaCbababaCbaCbaC
39、Cba因为成立，得证求和从)(0Ank证证2 2：yxbyxaybaxba,22，令时显然成立，21nn得证。因为)0()2(.)()(212444222xbaxyxCyxCxyxyxbannnnnnnnnnn证：即证证：即证3 3、求证：、求证：nnn2ln)211ln(2ln3ln2)211(23nn23.)21(211)211(221nCnCnnnnnnnnnnnnCnCnCnCn)21(.)21()21(211)211(33221kkkknnknnnnnnnknkknnnnnC)21(12122212!1)21(!)1).(2)(1()21(2.)21(211)211(2nn所以综上得证。综上得证。121241)1(.3214321nanaaaaNnN不等式时，使得数）确定一个最小的正整（4 4、解解(1)(1)：nnaaan.1)11(221）求证：（!1)!1(1!1)1(!1kkkkaknakn121241!12)!1)!1(1(.)!31!21()!211(1nnn即求111nnanaa，时适合。当5,121!1211!1Nnn证证(2)(2)：nnnnnnnnCnCnCnCn)1(.)1()1(11)11(33221kkknkkknanCknknnnnnnnknkknnnnnC)1(!1121!1)1(!)1).(2)(1()1(nnaaan.1)11(21所以
