1、 广东省广东省 2020 届高三上学期数学理试题分类汇编届高三上学期数学理试题分类汇编 坐标系与参数方程 1、 （广东省 2020 届高三调研考试 I）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ty tx 2 3 2 1 2 ， （t 为参数） ，曲线C的参数方程为 sin33 cos3 y x （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系。 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）已知点P的极坐标为), 2(，l与曲线C交于BA,两点，求.) |( 2 PBPA 2、 （东莞市 2020 届高三上学期调研考试）在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为 22 4650xyxy在以
2、坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的 极坐标方程为 3 2 sin() 42 （1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程； （2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ的最小值及此时点P的直角坐标. 3、（佛山市 2020 届高三教学质量检测 （一） ） 在直角坐标系xOy中， 曲线 C 的参数方程为m my mx ( 4 4 2 为参数） （1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 21,l l，其中 1 l与曲线C交于A，B两点， 2 l与C交于M，N两点， 1 l与 2 l 交于点),( 00 yxP，求证：|PNPMPBPA.
3、4、（广州市2020届高三上学期调研考试） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 m my m mx 1 1 （m为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. 03cossin3 （1）求曲线C和直线l的直角坐标系方程； （2）已知1 , 0P直线l与曲线C相交于A,B两点，求 PBPA 11 的值 5、 （广州市天河区 2020 届高三一模考试）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 cos3sin ( sin3cos x y 为参数） ，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单 位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()2 6
4、（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明： | |PAPB为定值 6、 （广州市增城区 2020 届高三调研（一） ）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 cos sin xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极 坐标方程为 22 cos2 sin1. （1）若 3 ，求直线l以及曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于M、N两点，且6MN ，求直线l的斜率 7、 （华南师大附中 2020 届高三月考（二） ）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C
5、的参数方程为 510cos 10sin x y （） ，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极 坐标方程为4cos （1）求曲线 1 C与曲线 2 C两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为sin2 2 4 ，直线l与y轴的交点为M，与曲线 1 C相 交于A，B两点，求|MAMB的值 8、 （惠州市 2020 届高三第二次调研）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 cos 1 sin x y （为参数） 以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极 坐标系 （1）求圆C的普通方程及其极坐标方程； （2） 设直线l的极坐标方
6、程为sin2 3 ， 射线: 6 OM 与圆C的交点为P（异于极点） ， 与直线l的交点为Q，求线段PQ的长 9、 （惠州市 2020 届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点 1, A ， 2, 6 B ， 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上 （1）求证： 123 3； （2）若过B，C两点的直线参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 求四边形OBAC的面积 10、 （梅州市 2020 届高三上学期第一次质量检测）在极坐标系中，圆:4cosC.以极点O为原
7、 点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线l经过点 1, 3 3M 且倾斜角为. （1）求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （2）已知直线l与圆C交与A，B，满足A为MB的中点，求. 11、 （深圳市宝安区 2020 届高三上学期调研考试）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的 非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2222 cos3sin12+=，直线l的 参数方程为 2 2 2 ( 2 2 xt t yt =-+ = 为参数).直线l与曲线C分别交于NM,两点. （1）若点P的极坐标为(2, )，求PMPN的值； （2）求曲线C的内接矩形周长的最大值. 12
8、、 （湛江市 2020 届高三上学期调研考试）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 为参数） 。以坐标原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (1)求曲线 C 的极坐标方程， (2)设直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点的取值范围。 13、（肇庆市 2020 届高三第二次统测） 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 1cos , 2sin, xt yt （t 为参数，0） ， 在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方 程为 2 4 1 3cos . （1）求l的普通方程和C的直角坐标方程； （2）若曲线C截
9、直线l所得线段的中点的直角坐标为1,2，求直线l的斜率. 14、 （珠海市 2020 届高三上学期期末考试） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线 1 C： 4cos 4sin x y ， （ 为参数） ，将曲线 1 C上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 1 2 后得到曲线 2 C；以坐标 原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin3 3 . （1）求曲线 2 C和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知( 2 3 0)M -，设直线 l 与曲线 2 C交于不同的A B, 两点，求MA MB 的值. 参考答案参考答案 1、 2、解： （1）圆C的方程可化
10、为 22 (2)(3)8xy，圆心为(2,3)C,半径为2 2 圆C的参数方程为 22 2cos 32 2sin x y （为参数） 3 分 直线l的极坐标方程可化为sincos3 cos sin x y 直线l的直角坐标方程为30xy 5 分 （2）法一：设曲线C上的点P(2+2 2cos ,32 2sin )， 6 分 点P到直线l：30xy的距离： 22 2+2 2cos+32 2sin3)2 2(cossin)8 2 2 sin()2 42 11 d 8 分 当 5 4 时， min 2 2 ( 1)+22 2PQ， 9 分 此时点P的坐标为(0,1)， 所以 min 2 2PQ，此时
11、点P的坐标为(0,1). 10 分 法二：曲线C是以(2,3)C为圆心，半径为2 2的圆， 6 分 圆心(2,3)C到直线l：30xy的距离 22 2+3+3 4 2 11 d ， 7 分 所以 min 4 22 22 2PQ， 8 分 此时直线PQ经过圆心(2,3)C，且与直线l：30xy垂直， 1 PQl kk ，所以1 PQ k，PQ所在直线方程为32yx，+1yx即 9 分 联立直线和圆的方程 22 +1 4650 yx xyxy 解得 0 1 x y 或 4 5 x y 当PQ取得最小值时，点P的坐标为(0,1) 所以 min 2 2PQ，此时点P的坐标为(0,1). 10 分 3、
12、 4、 5、解： （1）由 2222 (cos3sin)(sin3cos )4xy， 得曲线 22 :4C xy 直线l的极坐标方程展开为 31 cossin2 22 ， 故l的直角坐标方程为340xy （2）显然P的坐标为(0, 4)，不妨设过点P的直线方程为 cos ( 4sin xt t yt 为参数） ， 代入 22 :4C xy得 2 8 sin120tt，设A，B对应的参数为 1 t， 2 t 所以 1 2 | | | 12PAPBt t为定值 226、解： （1）由题意，直线 1 2 : 3 2 xt l yt ，可得直线l是过原点的直线， 故其直角坐标方程为3yx，2 分 又
13、22 cos2 sin1，由sin,cosyx3 分 故 2 21xy；5 分 （2）由题意，直线 l 的极坐标为 R ，6 分 设M、N对应的极径分别为 1 ， 2 将 R 代入曲线C的极坐标可得： 22 cos2 sin1， 故 12 2 2sin cos ， 12 2 1 cos ， 12 MN 2 1212 2 2 4 cos ，8 分 故 2 2 6 cos ，则 2 1 cos 3 ，即 22 2 sin1 cos 3 ， 2 2 2 sin tan2 cos ， 所以tan2k 故直线l的斜率是2 10 分 法二：由题意，直线l方程为kxy ，设M、N对应的点坐标为),(),(
14、2211 yxyx、 6 分 联立直线l与曲线C的方程 12 2 yx kxy ，消去y得012 2 kxx .7 分 1,2 2121 xxkxx 8 分 6)1 (24)(11 2 21 2 21 2 21 2 kxxxxkxxkMN 9 分 所以2k，故直线l的斜率是2. 10 分 7、 【解答】 ：(1) 曲线 1 C的普通方程为 22 (5)10xy； 曲线 2 C的普通方程为 22 4xyx，即 22 (2)4xy， 由两圆心的距离3( 102, 102) d，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线方程为6215x，即 5 2 x， 所以直线的极坐标方程为 5 cos 2 ； （2
15、）直线l的直角坐标方程4xy，则与y轴的交点为(0, 4)M， 直线l的参数方程为 2 2 2 4 2 xt yt （t为参数） ， 代入曲线 22 (5)10xy得 2 9 2310tt， 设A，B两点对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 9 2 tt， 12 31t t，所以 1 t， 2 t同号， 故 1212 | | | 9 2MAMBtttt 8、解析： （1）由 coscos 1 sin1sin xx yy 1 分【注】无写出此步骤，本得分点不 给分 平方相加，得： 22 (1)1xy，所以圆C的普通方程为： 22 (1)1xy 2 分 又cos ,sinxy3 分【注】
16、无写出此步骤，本得分点不给 分 22 (cos )( sin1)14 分 化简得圆C的极坐标方程为：2sin5 分 （2）解法一：把 6 代入圆的极坐标方程可得：2sin1 6 P 7 分 把 6 代入直线l的极坐标方程可得：sin2,2 63 Q 9 分 所以线段PQ的长1 PQ PQ10 分 （2）解法二：把 6 代入圆的极坐标方程可得：2sin1 6 P 7 分 直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为34yx ， 射线: 6 OM 的直角坐标方程为 3 (0) 3 yxx 8 分 记直线l与x轴交点为A，则OAQ为直角三角形，其中30QOA， 根据勾股定理可得2OQ 9 分 所以线段PQ的
17、长1PQOQOP10 分 9、 【解析】 （1） 【解法 1】由 1 2cos， 2 2cos 6 ， 3 2cos 6 ，3 分 则 23 2cos2cos 66 2 3cos 4 分 所以 123 35 分 【解法 2】M的直角坐标方程为 2 2 11xy，如图所示，1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx， 2 yk x， 3 yk x， 3, 3k ， 由点到直线距离公式可知 2 1 k MF k 在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知 2 2 1 1 +1 2 MF ，得 1 2 2 1k 2 分 由直线方程可知tank， 2 tan+ 6 k ， 3 tan 6 k 所
18、以 2 tan +tan 3 +1 6 = 3 1tantan 6 k k k ，得 2 2 3 1 k k 3 分 所以 3 tan -tan 31 6 = 3 1tantan 6 k k k ，得 3 2 3 1 k k 4 分 所以 123 35 分 （2） 【解法一】曲线M的普通方程为： 22 20xyx，6 分 将直线BC的参数方程代入上述方程，整理得 2 30tt，解得 12 0,3tt ；7 分 平面直角坐标为 13 ,2,0 22 BC 8 分 则 23 1,2, 6 ；又得 1 3 . 9 分 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 26264 OBAC S 为所
19、求. 10 分 【解法二】由 BC 的参数方程化为普通方程得：. 23 yx5 分 联立 02 23 22 xyx yx 解得 0 2 1 1 y x 或 2 3 2 1 2 2 y x ，即) 2 3 , 2 1 (B,)0 , 2(C6 分 , 6 , 1 2 点 A 的极坐标为），（ 6 3 ，化为直角坐标为），（ 2 3 2 3 7 分 直线 OB 的方程为xy3，点 A 到直线 OB 的距离为. 2 3 )3(1 2 3 2 3 3 2 d8 分 . 4 33 2 3 2 2 1 2 3 1 2 1 OACOBAOBAC SSS10 分 10、解： （1）由圆 C：4cos 可得 2
20、4cos， 因为 2x2y2，xcos， 所以 x2y24x，即(x2)2y24 直线 l： x1tcos， y3 3tsin（t 为参数，0） 5 分 （2）设 A，B 对应的参数分别为 tA，tB， 将直线 l 的方程代入 C 并整理，得 t26t( 3sincos)320， 所以 tAtB6( 3sincos)，tA tB32 又 A 为 MB 的中点，所以 tB2tA， 因此 tA2( 3sincos)4sin( 6 )，tB8sin( 6 )， 8 分 所以 tA tB32sin2( 6 )32，即 sin2( 6 )1 因为 0，所以 6 6 7 6 ， 从而 6 2 ，即 3 1
21、0 分 11、解： （1）已知曲线 C 的标准方程为 22 1 124 xy ，点 P 的坐标为( 2,0)， 将直线 l 的参数方程. ty tx 2 2 2 2 2 （t 为参数）与曲线 C 的标准方程 22 1 124 xy 联立， 得 2 240tt，则12 MN4PPtt . （2）由曲线 C 的标准方程 22 1 124 xy ，可设曲线 C 上的动点的(2 3,2)Acossin，则以 A 为顶点的内 接矩形周长为4(2 32)16() 3 cossinsin ，0 2 . 因此该内接矩形周长的最大值为 16，当且仅当 6 时等号成立. 12、 13、解： （1）当 2 a 时，
22、l的普通方程为1x ； （1 分） 当 2 a 时，l的普通方程为2tan1yx， 即tan2tan0xy （或者直接得出sincossin2cos0xy） （3 分） 由 2 4 1 3cos 得 222222 3cos316xyx 即 22 1 416 xy （5 分） （2）将 1cos , 2sin, xt yt 代入 22 1 416 xy 整理得 22 1 3cos8cos4sin80tt （7 分） 依题意得 12 0tt，即 2 8cos4sin 0 1 3cos ，即8cos4sin =0 （9 分） 得tan2 直线l的斜率为2 （10 分） 14、解： （1）直线l的极坐
23、标方程为 sin3 3 ， 化简得3 cossin60， 化为直角坐标方程为360xy 2 分 将曲线 1 C： 4cos 4sin x y ， （为参数） ，消参得 22 16xy， 依题意变换后得曲线 2 C： 22 1 164 xy . 5 分 （2）由题意知( 2 3 0)M -，在直线l上，又直线l的倾斜角为 3 ， 所以直线l的参数方程为 1 2 3 2 3 2 xt yt ， ， （t为参数） 7 分 设A B ，对应的参数分别为 1 t， 2 t， 将直线l的参数方程代入 22 1 164 xy 中，得 2 138 3160tt 8 分 因为M在 2 C内，所以 恒成立， 由韦达定理得 12 16 13 tt ， 9 分 所以 12 16 | | | 13 MAMBtt 10 分
