1、广西南宁市、玉林市、贵港市等高三毕业班摸底考试广西南宁市、玉林市、贵港市等高三毕业班摸底考试 数学（文）试题数学（文）试题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合 2 4,340Ax xxBxx，则 AB （ ） A. ,0 B. 4 0, 3 C. 4 ,4 3 D. ,0 【答案】C 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【详解】集合
2、A=x|x24x=x|0x4， B=x|3x40=x|x 4 3 ， AB=x| 4 3 x4=（ 4 4 3， 故选 C 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想，是基础题 2. 3 12ii i （ ） A. 3 i B. 3 i C. 3 i D. 3 i 【答案】B 【分析】根据虚数单位 i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简 【详解】 3 12ii i = 1 3i i = 1 3ii i i =3i故选 B 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实 数化 3.已知
3、三角形内角 A满足 1 sincos 5 AA，则sin2A的值为（ ） A. 12 25 B. 12 25 C. 24 25 D. 24 25 【答案】D 【分析】 将已知等式两边平方，判断出 cosA 小于 0，sinA 大于 0，且 sinA 的绝对值大于 cosA 的绝对值，利用完全 平方公式求出 sinAcosA 的值，与已知等式联立求出 sinA 与 cosA 的值，即可确定出sin2A的值. 【详解】A 为三角形内角，且 sinA+cosA= 1 5 ， 将 sinA+cosA= 1 5 两边平方得：2sinAcosA= 24 25 ， A 为钝角，即 sinA0，cosA0，且
4、|sinA|cosA|， 12sinAcosA= 49 25 ，即（sinAcosA）2= 49 25 ， sinAcosA0， sinAcosA= 7 5 ， 联立得： 1 5 7 5 sinAcosA sinAcosA ， 解得：sinA= 4 5 ，cosA= 3 5 ， 则 sin2A= 24 2sinAcosA 25 故选 D 【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，利 用(sincos) 212sin cos，可以知一求二 4.执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（ ） A. 1 2 B. 1 C. 2018 D. 2 【
5、答案】B 【解析】先根据循环语句得 S变化规律（周期） ，再根据规律确定输出值. 详解：因为 1 1,1;,2;2,3; 2 SkSkSk 所以3T , 所以当2008=669 3+1k 时1,S 选 B. 点睛：算法与流程图考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择 结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明 确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5.若直线3yk x与圆 22 4xy相交，则实数k的取值范围为（ ） A. 2,2 B. 2 5 , 5 C. 2 3 2 3 , 55 D. 2 5 2 5
6、, 55 【答案】D 【分析】 直线3yk x与圆 22 4xy相交等价于圆心到直线距离小于半径. 【详解】直线3yk x化为一般式为：30kxyk， 直线3yk x与圆 22 4xy相交等价于圆心到直线距离小于半径， 即 2 3 2 1 k k ， 2 54k 2 5 2 5 , 55 k 故选 D 【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的， 联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到 定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值. 6.已知 x、y满足 0 40 4 xy xy x ，则
7、3x y 的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】A 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求 得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【详解】由约束条件 0 40 4 xy xy x 作出可行域如图， 联立 40 0 xy xy ，解得 A（2，2） ， 令 z=3xy，化为 y=3xz， 由图可知，当直线 y=3xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为 4 故选 A 【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需 要注意的是：一，准确无误地作出可
8、行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中 的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界 上取得. 7.函数 sin0,0,0f xAxA的部分图象如图所示，为了得到 sing xAx 的图象，只需将函数 yf x的图象（ ） A. 向左平移 3 个单位长度 B. 向左平移 12 个单位长度 C. 向右平移 3 个单位长度 D. 向右平移 12 个单位长度 【答案】B 【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由特殊点求出 的值，可得凹函数 f（x）的解析式，再利 用 y= sinAx的图象变换规律，得出结论 【详解】由函
9、数 f（x）= sin0,0,0AxA的部分图象， 可得 A=2， 2362 T ，T=，=2，f（x）=2sin（2x+） ， 将2 3 ，代入得 2 1 3 sin ，0， 2222 6612 f xsinxsinx ， 故可将函数 y=f（x）的图象向左平移 12 个单位长度得到 l 的图象，即可得到 sing xAx的图象， 故选 B 【点睛】由sinyx的图象变换出sinyx 0的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途 径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无 论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起
10、多大变化，而不是“角变 化”多少. 8.如图，棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，M为BC中点，这直线 1 D M与平面ABCD所成角的正 切值为（ ） A. 3 2 B. 5 5 C. 2 5 5 D. 1 2 【答案】C 【分析】 先作出直线 D1M 与平面 ABCD 所成角，然后求解即可 【详解】连接 DM，因为几何体是正方体， 所以D1MD就是直线 D1M 与平面 ABCD 所成角， tanD1MD= 1 2 5 55 2 DDa DMa 故选 C 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线 较为难找时也可以借助于三棱锥的
11、等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值， 当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解. 9.函数 2+ln f xxx的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 先判断函数为偶函数排除BC；再根据当0x时，( )f x ，排除D得到答案. 【详解】 2 22 lnlnln( )f xxxxfxxxxfx ，偶函数，排除BC； 当0x时，( )f x ，排除D 故选A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案. 10.在ABC中，A，B，C 对边分别为 a，b，c，已知3c ， 3 C ，
12、sin2sinBA，则ABC的 周长是（ ） A. 3 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 【答案】C 【分析】首先用正弦定理将sin2sinBA转化为2ba，再利用余弦定理列方程，求出, a b值，由此求 得三角形周长. 【详解】因为sin2sinBA，由正弦定理得2ba， 由余弦定理得， 2222222 2cos423cababCaaaa ， 又3c ，解得1a ，2b则ABC的周长是33 故应选 C 【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理主要用于边和角的互化，余 弦定理主要用于列方程求未知数.属于基础题. 11.如图，已知 12 ,F F是双曲线
13、 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点，若直线3yx与双曲线C交 于PQ、两点，且四边形 12 PFQF是矩形，则双曲线的离心率为（ ） A. 5 2 5 B. 5 2 5 C. 3 1 D. 3 1 【答案】C 【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出 a，c 的关系，即可求出双曲线的离心率 【详解】由题意，矩形的对角线长相等， y= 3x 代入 22 22 1(0 xy a ab ，b0） ， 可得 x= 22 22 3 a b ba ，y=3 22 22 3 a b ba ， 22 22 4 3 a b ba =c2， 4a2b2=（b23a2）c2，
14、4a2（c2a2）=（c24a2）c2， e48e2+4=0， e1，e2=4+2 3， e= 3+1 故选 C 【点睛】求离心率的常用方法有以下两种： （1）求得 , a c的值，直接代入公式 c e a 求解； （2）列出关于, ,a b c的齐次方程(或不等式)，然后根据 222 bac，消去b后转化成关于e的方程(或不 等式)求解 12.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】几何体复原后为正方体的内接四面体，其外接球即正方体外接球. 【详解】几何体复原后如图所示: 四面体 ABCD 的外接球即正方体的外接
15、球，外接球的直径 2R= 3 此几何体的外接球表面积为3 故选 B 【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆 的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般 把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R 2a2b2c2求解 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案分，将答案填在答题纸上）填在答题
16、纸上） 13.已知平面向量a与b的夹角为120，且 2,4ab，若 maba，则m _ 【答案】1 【分析】 由已知求出a b 的值，再由（mab）a，得（mab）a=0，展开后得答案 【详解】向量a与b的夹角为 120，且|a|=2，|b|=4， 1 1202 44 2 a ba b cos ， 又maba， （ma b ）a= 2 |440m aa bm ，解得 m=1 故答案为 1 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题 14.某学校共有教师 300 人， 其中中级教师有 120 人， 高级教师与初级教师的人数比为5:4.为了解教师专业 发展要求，现
17、采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师 72 人，则该样本中的高级教师人 数为_ 【答案】60 【分析】先求出高级教师与初级教师的人数之和，然后根据分层抽样的定义，即可得到结论 【详解】学校共有教师 300 人，其中中级教师有 120 人， 高级教师与初级教师的人数为 300120=180人， 抽取的样本中有中级教师 72 人， 设样本人数为 n，则 12072 300n ，解得 n=180， 则抽取的高级教师与初级教师的人数为 18072=108， 高级教师与初级教师的人数比为 5：4 该样本中的高级教师人数为 5 10860 54 故答案60 【点睛】进行分层抽样的相关计算时
18、，常利用以下关系式巧解： （1） n N 样本容量该层抽取的个体数 总体的个数该层的个体数 ； （2）总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比 15.抛物线 2 2yx的准线方程为_ 【答案】 1 2 x 【分析】 抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x ，由此得到题目所求准线方程. 【详解】抛物线 2 2yx的准线方程是 1 2 x . 【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x ，直接利用公式可得 到结果.属于基础题. 16.已知, 2,2Mx yxy，点P的坐标为, x y，则当PM时，且满足 22 224xy 的概率为_ 【答
19、案】1 16 【分析】根据题意，满足|x|2 且|y|2 的点 P 在如图的正方形 ABCD 及其内部运动，而满足（x2） 2+（y2） 24 的点 P 在以 C 为圆心且半径为 2 的圆及其外部运动 因此， 所求概率等于阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率 【详解】如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部满足（x2）2+（y2）24 的点位于的区域是以 C （2，2）为圆心，半径等于 2 的圆及其外部 P 满足（x2）2+（y2）24 的概率为 P1= S S 阴影 正方形 = 2 1 4 42 4 4 4 =1 16
20、 故答案为1 16 【点睛】几何概型概率公式的应用： （1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； （2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后 利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； （3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利 用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤
21、. .） 17.设 n S是公比不为 1 的等比数列 n a的前n项和.已知 33 39 , 22 aS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 2 3 n nn bna .若 1 1 n nn c b b ，求数列 n c的前n项和 n T. 【答案】 （1） 1 1 6 2 n n a ； （2） 41 n n . 【分析】 （1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列 n a的通项公式； （2）由（1）得2 n bn， 1 11 41 n c nn ，利用裂项相消法求和即可. 【详解】(1) 设等比数列 n a的公比为q，则 33 31233 2 aa Saaaa qq
22、. 因为 33 39 , 22 aS，所以 2 210qq . 解得1q （舍去） ， 1 2 q . 1 3 3 1 6 2 n n n aa q . （2）由（1）得 1 2 2 3 n nn bnan ， 所以 1 111 11 4141 n nn c b bn nnn 数列 n c的前n项和 111111 1 42231 n T nn 11 1 41n 41 n n . 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方 法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1) 11 11 n nkknnk ； （2） 1 nkn 1 nkn k ；
23、（3） 1111 21 212 2121nnnn ； （4） 11 122n nn 11 112n nnn ；此外， 需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18.某地区某农产品近几年的产量统计如表： （1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程ybta； （2）根据线性回归方程预测 2019 年该地区该农产品的年产量. 附:对于一组数据 1122 , nn t ytyty， 其回归直线y bta的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 2 n ii i n i i ttyy b tt ，aybt.(参考数据: 6 2.8 ii i ttyy ， 计算结果保留小数点
24、后两位） 【答案】 （1）0.166.44yt； （2）预测 2019 年该地区该农产品的年产量约为 7.72 万吨. 【分析】 （1）求得样本中心点（t，y） ，利用最小二乘法即可求得线性回归方程； （2）由（1）可知：将 t=8代入线性回归方程，即可求得该地区 2019年该农产品的产量估计值为 7.72 万吨 【详解】 （1）由题意可知： 1 23456 3.5 6 t ， 6.66.777.1 7.27.4 7 6 y ， 6 2222 222 1 2.51.50.50.51.52.517.5 i i tt ， 1 2 1 2.8 0.16 17.5 n ii i n i i ttyy
25、b tt ， 又70.16 3.56.44aybt， y关于t的线性回归方程为0.166 4 .4yt . （2）由（1)可得，当年份为 2019 年时，年份代码8t ，此时0.16 86.4. 47 72y ，所以，可预测 2019 年该地区该农产品的年产量约为 7.72 万吨. 【点睛】求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 2 11 , , nn iii ii x yxx y 的值；计算回归系数 , a b ；写出回归直线方程为 ybxa； 回归直线过样本点中心 , x y是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋
26、势. 19.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形， ,PBBC PDCD，且 2PA ，E 为PD中点. （1）求证：PA 平面ABCD； （2）求几何体PABE的体积. 【答案】 （1）见解析； （2） 2 3 . 分析】 (1) 判断 PABC，且,CDPA BC CDC，从而得证 PA平面 ABCD； （2）由 11 22 P ABEE PABD PABP ABD VVVV 运算求解即可 【详解】 （1）证明：底面ABCD为正方形， BCAB，又,BCPB ABPBB， BC 平面PAB， BCPA. 同理,CDPA BCCDC， PA 平面 ABCD. （2）E
27、为PD中点， 11 22 P ABEE PABD PABP ABD VVVV 1112 22 2 2323 . 【点睛】求解空间几何体体积的常用策略： （1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解； （2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求 和即可； （3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于 部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使 用. （4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他
28、的底面面积和 高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 20.设椭圆 22 22 :10 xy Cab ab ，右顶点是 2,0A，离心率为 1 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆交于两点,M N(,M N不同于点A)，若 0AM AN ，求证:直线l过定点，并求出 定点坐标. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2） 2 ,0 7 . 【分析】 （1）由椭圆右顶点的坐标为 A（2，0） ，离心率 1 2 e ，可得 a，c 的值，由此可得椭圆 C 的方程； （2）当 直 线MN斜 率 不 存 在 时 ， 设: MN lxm， 易 得 2 7 m ， 当 直 线MN
29、斜 率 存 在 时 ， 直 线 :0MN ykxb k， 与 椭 圆 方 程 22 1 43 xy 联 立 ， 得 222 4384120kxkbxb， 由 0AMAN 可得 2 7 bk ，从而得证. 【详解】 （1）右顶点是2,0A，离心率为 1 2 ， 所以 1 2, 2 c a a ，1c ，则 3b ， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . （2）当直线MN斜率不存在时，设: MN lxm， 与椭圆方程 22 1 43 xy 联立得： 2 3 1 4 m y ， 2 2 3 1 4 m MN ， 设直线MN与x轴交于点B，MBAB，即 2 3 12 4 m m ， 2 7 m
30、或 2m(舍） ， 直线m过定点 2 ,0 7 ； 当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k， 1122 ,M x yN xy，则直线:0MN ykxb k， 与椭圆方程 22 1 43 xy 联立，得 222 4384120kxkbxb， 12 2 8 43 kb xx k ， 2 12 2 412 43 b x x k ， 22 12121 212 y ykxbkxbk x xkb xxb， 2 22 84 434120,kbkbkR ， 0AM AN ，则 1122 2,2,0xyxy， 即 1 21212 240x xxxy y， 22 74160bkkb ， 2 7 bk 或2bk
31、， 直线 2 : 7 MN lyk x 或2yk x， 直线过定点 2 ,0 7 或2,0舍去； 综上知直线过定点 2 ,0 7 . 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法 （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一 个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意 21.已知函数 1 ln1f xa xxxaR. （1）当图象过点,3e e时，求函数 f x在点 1,1f处的的切线方程； （其中e为自然对数的底数， 2.71828e ） （2）当 1 2 a 时，求证：对任意1
32、x ， 0f x 恒成立. 【答案】 （1）330xy； （2）见解析. 【分析】 (1)由图象过点,3e e 可得2a ，求出 2 2ln11,013fxxf x ，切点为，斜率为，从而 得到切线方程； (2) 欲证： 0f x ，注意到 10f，只要 1f xf即可. 【详解】 （1）当图象过点,3e e时，所以113a eee ，所以2a ， 由 21 ln1f xxxx得 2 2ln1fxx x ， 切点为1,0，斜率为 13 f ， 所求切线方程为：31yx，即330xy； （2）证明：当 1 2 a 时， 1 ln11f xa xxxx， 欲证： 0f x ，注意到 10f，只要
33、1f xf即可， 1 ln111fxaxx x ， 令 1 ln11g xxx x ，则 22 111 01 x gxx xxx ， 知 g x在1,上递增，有 12g xg，所以 1 210 2 fxaa ， 可知 f x在1,上递增，于是有 10f xf. 综上，当 1 2 a 时，对任意的 1,0xf x恒成立. 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 h xf xg x.根据差函数导函 数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数. 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元
34、函数转化为一 元函数. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分按所做的第一题记分. . 22.在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数） ，以原点O为极点，x轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin. （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）已知曲线 3 C的极坐标方程为(0,)R ，点A是曲线 3 C与 1 C的交点，点B是曲线 3 C与 2 C的交点，A，B均异于原点O，且4 2AB ，求的值. 【答案】 （1）
35、 22 22 24,24xyxy； （2） 3 4 . 【分析】 （1）根据曲线 1 C的参数方程，消去参数，即可得到 1 C的普通方程；由4sin两边同时乘以，即可 得到 2 4 sin，进而可得 2 C的直角坐标方程； (2)根据 1 C的直角坐标方程先得到其极坐标方程， 将 分别代入 1 C和 2 C的极坐标方程， 求出 A 和 B ， 再由4 2 AB AB，即可求出结果. 【详解】 （1）由 22 2 xcos ysin 消去参数，得 1 C的普通方程为 2 2 24xy. 由4sin，得 2 4 sin，又siny， 222 xy， 所以 2 C的直角坐标方程为 2 2 24xy.
36、 （2）由（1）知曲线 1 C的普通方程为 2 2 24xy， 所以其极坐标方程为4cos. 设点A，B的极坐标分别为, A ，, B ， 则4cos A ，4sin B ， 所以4 cossin4 2 sin4 2 4 AB AB ， 所以sin1 4 ，即 42 kkZ ， 解得 3 4 kkZ ， 又0，所以 3 4 . 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即 可，属于常考题型. 23.已知函数 2 9f xxx. （1）解不等式 15f x ； （2）若关于x的不等式 f xa有解，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）311xx；
37、 （2）9a . 【分析】 （1）由题意化简 318,9 18,09 183 ,0 xx f xxx x x ，分段解不等式，最后取并集即可； （2）x的不等式 f xa有解等价于 a min f x. 【详解】 （1）由题意化简 318,9 18,09 183 ,0 xx f xxx x x ， 15f x ， 所以 9 31815 x x 或 09 1815 x x 或 0 18315 x x ， 解得不等式的解集为：311xx. （2）依题意，求2 9xx的最小值， 318,9 18,09 183 ,0 xx f xxx x x 的最小值为 9， 9a . 【点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关： 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题，而不 等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f(x)f(x)max，f(x)a 恒成立af(x)min. 第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝 对值三角不等式，即|a|b|a b|a|b|；利用零点分区间法
