1、 数学语言不仅是用来表达和研究的，而且可以精妙的表达人的数学语言不仅是用来表达和研究的，而且可以精妙的表达人的思想和追求，如下面这些：思想和追求，如下面这些：1：华罗庚的华罗庚的减号减号 “在学习中要敢于做减法就是减去前人已经解决的部分，在学习中要敢于做减法就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决。看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决。”一：用数学符号写格言一：用数学符号写格言2：爱迪生的：爱迪生的加号加号天才天才=1%的灵感的灵感+99%的汗水。的汗水。”3：季米特洛夫的季米特洛夫的正负号正负号 要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是要利用时间，思
2、考一下一天之中做了些什么，是 正号正号 还是还是负号负号 ，倘若是倘若是+，则进步；倘若是，则进步；倘若是-，就得吸取，就得吸取教训教训，采取措施。，采取措施。”二：用数写的格言二：用数写的格言4：王菊珍的王菊珍的百分数：百分数：“干下去还有干下去还有50%的成功希望，的成功希望，不敢下去便是不敢下去便是100%的失败。的失败。”5：雷巴柯夫的：雷巴柯夫的常数常数：“时间是个常数，但对勤奋的人来时间是个常数，但对勤奋的人来说，是个说，是个变数变数。用。用分分来计算时间的人比用来计算时间的人比用小小时时来计算时间的人时间多来计算时间的人时间多59倍。倍。”6：托夫斯泰的：托夫斯泰的分数：分数：“
3、一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数的值就越小。对自己的估价好比分母。分母越大，则分数的值就越小。”三：用公式写的格言三：用公式写的格言7：爱因斯坦的爱因斯坦的公式公式：“A=X+Y+Z.并解释道：并解释道：A代表成功，代表成功，X代表艰苦劳动，代表艰苦劳动，Y代表正确的方法，代表正确的方法，Z代表少说话。代表少说话。”四：用圆写的格言四：用圆写的格言8：芝诺的芝诺的圆圆：如果用小圆代表我们学到的知识，用大圆如果用小圆代表我们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆代表我
4、学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无知面就越多了。知面就越多了。”例如第一章集合、映射与函数时，说到：日落月出花果香，物换星移看沧桑。日落月出花果香，物换星移看沧桑。因果变化多联系，安得良策破迷茫？因果变化多联系，安得良策破迷茫？集合奠基说严谨，映射函数叙苍黄。集合奠基说严谨，映射函数叙苍黄。看图列表论升降，科海扬帆有锦囊看图列表论升降，科海扬帆有锦囊 当到第二章指数函数、对数函数和幂函数时，说到：晨雾茫茫碍交通，蘑菇核云蔽长空；晨雾茫茫碍交通，蘑菇核云蔽长空；化石岁月巧推算，文海索句快如风化
5、石岁月巧推算，文海索句快如风.指数对数相辉映，立方平方看对称；指数对数相辉映，立方平方看对称；解释大千无限事，三族函数建奇功解释大千无限事，三族函数建奇功。利用诗歌表达数学思想、概念的诗歌比较多：“一帆一桨一扁舟，一个渔翁一钓钩，一俯一仰一场笑，一江明月一江秋。一帆一桨一扁舟，一个渔翁一钓钩，一俯一仰一场笑，一江明月一江秋。”这是清代诗人陈秋舫写过一首以这是清代诗人陈秋舫写过一首以题秋江独钓图题秋江独钓图为题的为题的“一一”字诗。字诗。“浪花有意千重雪，桃李无言一队春；一壶酒，一竿身，世上如侬有几人。浪花有意千重雪，桃李无言一队春；一壶酒，一竿身，世上如侬有几人。”“”“一棹一棹春风一叶舟，一
6、纶茧缕一轻钩；花满渚，酒满瓯，万顷波中得自由。春风一叶舟，一纶茧缕一轻钩；花满渚，酒满瓯，万顷波中得自由。”五代时南唐后主李煜在位时，曾为宫廷画家卫贤所作五代时南唐后主李煜在位时，曾为宫廷画家卫贤所作春江钓叟图春江钓叟图题词二首，把一个个洒脱的渔翁形象刻题词二首，把一个个洒脱的渔翁形象刻画得栩栩如生。画得栩栩如生。一、数字入诗：数字入诗：“一年老一年，一日没一日，一秋又一秋，一辈催一辈，一聚一离别，一苦一年老一年，一日没一日，一秋又一秋，一辈催一辈，一聚一离别，一苦一伤悲。一榻一身卧，一生一梦里，寻一个相识，他一会，咱一地，都一般相知，一伤悲。一榻一身卧，一生一梦里，寻一个相识，他一会，咱一地
7、，都一般相知，吹一回，唱一回。吹一回，唱一回。”这是这是元曲小令元曲小令雁儿落带过得胜令雁儿落带过得胜令，诗中诗中22个个“一一”字不断重复，反映了人生虚幻的凄苦。字不断重复，反映了人生虚幻的凄苦。其写法奇特，而以俚语取胜。其写法奇特，而以俚语取胜。二、关于数字入诗还有许多凄美的故事：二、关于数字入诗还有许多凄美的故事：据说，卓文君与司马相如婚后不久，司马相如即赴长安做了官，五年不归。文君十分想念。据说，卓文君与司马相如婚后不久，司马相如即赴长安做了官，五年不归。文君十分想念。有一天，她突然收到丈夫寄来的一封信，自然喜不自禁。不料拆开一看，只写着有一天，她突然收到丈夫寄来的一封信，自然喜不自禁
8、。不料拆开一看，只写着“一二三四一二三四五六七七八九十百千万五六七七八九十百千万”十四个数字。聪明过人的卓文君立即明白了丈夫的意思：数字十四个数字。聪明过人的卓文君立即明白了丈夫的意思：数字“七七”出现了两次，由于出现了两次，由于“七七”与与“妻妻”同音，显然司马相如有停妻另娶的意思。同音，显然司马相如有停妻另娶的意思。于是，她满含悲愤，写了一首数字诗于是，她满含悲愤，写了一首数字诗：“一别之后，二地相悬，说的是三四月，却一别之后，二地相悬，说的是三四月，却谁知五六年！七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中断，十里长亭望眼欲穿。谁知五六年！七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中断，十里长亭望眼
9、欲穿。百般想，千般念，万般无奈把郎怨。万语千言道不尽，百无聊赖十凭栏，重九登高百般想，千般念，万般无奈把郎怨。万语千言道不尽，百无聊赖十凭栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆。七月半，烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心看孤雁，八月中秋月圆人不圆。七月半，烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月榴花如火偏遇阵阵冷雨浇，四月枇杷未黄我欲对镜心欲乱，三月桃花随流寒，五月榴花如火偏遇阵阵冷雨浇，四月枇杷未黄我欲对镜心欲乱，三月桃花随流水，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。水，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。”你看，这首数字诗写得多好，数字由一到万再
10、由万到一，可谓是百转情肠。难你看，这首数字诗写得多好，数字由一到万再由万到一，可谓是百转情肠。难怪司马相如读后越想越惭愧，终于用驷马高车，把卓文君接到了长安。怪司马相如读后越想越惭愧，终于用驷马高车，把卓文君接到了长安。1等量代换 2转化思想 3逆向换位4 原命题与否命题 三、数字对联：三、数字对联：相传，郑板桥在山东任知县时，看见一个破旧的大门上贴了一幅春联，相传，郑板桥在山东任知县时，看见一个破旧的大门上贴了一幅春联，上联：二三四五。上联：二三四五。下联：六七八九。下联：六七八九。郑板桥立即派人送去衣服、食品。众吏惊问何故，析桥笑答：上联缺一即缺郑板桥立即派人送去衣服、食品。众吏惊问何故，
11、析桥笑答：上联缺一即缺衣，下联缺十即少食。衣，下联缺十即少食。象上面这条全部用数字写成的对联很少见，而嵌入数字的对联很多。但嵌象上面这条全部用数字写成的对联很少见，而嵌入数字的对联很多。但嵌入十个基数的对联并不多见。下面介绍两条谐联：入十个基数的对联并不多见。下面介绍两条谐联：童子看椽，童子看椽，一二三四五六七八九十；一二三四五六七八九十；先生讲命，先生讲命，甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。读后令人捧腹。原来先生讲命，恰如孩童信口念数，是不值得认真的。再如下面这条联，上下联读后令人捧腹。原来先生讲命，恰如孩童信口念数，是不值得认真的。再如下面这条联，上下联都包含了十个基数，十分难得
12、，值得仔细玩赏。都包含了十个基数，十分难得，值得仔细玩赏。相传，苏东坡与学友赴京赶考，因涨大水，船只行进困难，耽搁时日，眼看应考就要迟到，学友相传，苏东坡与学友赴京赶考，因涨大水，船只行进困难，耽搁时日，眼看应考就要迟到，学友叹曰叹曰：“一叶孤舟，坐二三个骚客，启用四浆五帆，经由六滩七湾，历尽八颠九簸，可一叶孤舟，坐二三个骚客，启用四浆五帆，经由六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。叹十分来迟。”苏东坡亦用数字入联劝勉道苏东坡亦用数字入联劝勉道：“十年寒窗，进九八家书院，抛却七情六欲，十年寒窗，进九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中！苦读五经四书，考了三番二次，今
13、天一定要中！”上联从一数到十，下联又倒着从十数到一，上联从一数到十，下联又倒着从十数到一，不仅数字使用巧妙得当，而且将莘莘学子寒窗苦读、赴京赶考的艰难表述得淋漓尽致。不仅数字使用巧妙得当，而且将莘莘学子寒窗苦读、赴京赶考的艰难表述得淋漓尽致。四、诗歌数学题四、诗歌数学题 明代程大位算法统宗是一本通俗实用的数学书，也是数字入诗代表作。这本书由程大位花了近20年完成，他原本是一位商人，经商之便搜集各地算书和文字方面的书籍，编纂成一首首的歌谣口诀，将枯燥的数学问题化成美妙的诗歌，让人朗朗上口，加强了数学普及的亲合力。程大位还有一首类似的二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。好
14、酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人。共同饮了一肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。好酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人。共同饮了一十九，三十三客醉颜生。试问高明能算士，几多醨酒几多醇？十九，三十三客醉颜生。试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这道诗题大意是说：好酒一瓶，可以醉倒这道诗题大意是说：好酒一瓶，可以醉倒3位客人位客人;薄酒三瓶，可以醉倒一位客人。如果薄酒三瓶，可以醉倒一位客人。如果33位客位客人醉倒了，他们总共饮下人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？著名著名孙子算经孙子算经中有一道中有一道物不知其数物不知其数问题。这个算题原文为：问
15、题。这个算题原文为：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个问题流传到后世，有过不少有趣的名称，如这个问题流传到后世，有过不少有趣的名称，如鬼谷算鬼谷算、韩信点兵韩信点兵等。程大位在等。程大位在算法统算法统宗宗中用诗歌形式，写出了数学解法：中用诗歌形式，写出了数学解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。圆月正半，除百零五便得知。这首诗包含着著名的这首诗包含着著名的剩余定理剩余定理。也就说，拿也就说，拿3除的余除的余数乘数乘7
16、0，加上，加上5除的余数乘除的余数乘21，再加上，再加上7除的余数乘除的余数乘15，结果如比，结果如比105多，则减多，则减105的倍数。的倍数。上述问题的结果就是：（上述问题的结果就是：（270）+（321）+（215）（）（2105）23。歌剧歌剧刘三姐刘三姐中，刘三姐与三位秀才中，刘三姐与三位秀才(陶陶,李李,罗罗)对唱，对唱，罗秀才罗秀才:“小小麻雀莫逞能，三百条狗四下分。小小麻雀莫逞能，三百条狗四下分。一少三多要单数，看你怎样分得清。一少三多要单数，看你怎样分得清。”刘三刘三姐姐是怎么回答的呢？是怎么回答的呢？”大家想想总共有多少种分大家想想总共有多少种分法？法？:“九十九条打猎去九
17、十九条打猎去,九十九九十九条看羊来。九十九条守门条看羊来。九十九条守门口，还剩三条奇奴才。口，还剩三条奇奴才。计算一下可以发现计算一下可以发现300=99+99+99+3。这正是数学中的整数分拆问题。这正是数学中的整数分拆问题。如果不计次序的分拆，就有四如果不计次序的分拆，就有四种分拆方法：种分拆方法：300=99+99+99+3 =99+99+3+99 =99+3+99+99 =3+99+99+99。同学们生活中，处处存在着数学，而且有些数学现象还是非常有趣的，现在给大家介绍几种简单而有趣的数学游戏。一、数字谜数字谜。1:一斗米一斗米(猜一字猜一字)6:10001000=100100100(
18、猜一成语猜一成语)2:0000(猜一成语猜一成语)7:十月十日十月十日(猜一字猜一字)3:五个手指五个手指(猜一成语猜一成语)8:一头牛一头牛(猜一字猜一字)4:七除以二七除以二(猜一成语猜一成语)9:一月七日一月七日(猜一成语猜一成语)5:11=1(猜一成语猜一成语)10:一至十当中，哪个数最偷懒，哪个数最勤奋呢一至十当中，哪个数最偷懒，哪个数最勤奋呢?二、扑克扑克24点游戏点游戏 扑克牌的扑克牌的21点游戏，大家都有听过，今天我介绍给大家的点游戏，大家都有听过，今天我介绍给大家的24点并不是和点并不是和21点一样的玩法，而是先从一副扑克中点一样的玩法，而是先从一副扑克中（去除（去除J、Q、
19、K和王牌），随机抽出和王牌），随机抽出 4 张，然后你可以通过加减乘除等四则运张，然后你可以通过加减乘除等四则运算的方法得到算的方法得到24，比一比谁最快，比一比谁最快?谁最多方法谁最多方法?也是很有趣的！也是很有趣的！四：四：11分钟时候是半篮子鸡蛋分钟时候是半篮子鸡蛋一：字谜答案1:料 2：万无一失 3：三长两短 4：不三不四 5：一成不变 6：千方百计 7：萌 8：生 9：脂 10：一最偷懒，二最勤奋。因为一不做，二不休。三三、桌子上还剩几根蜡烛？桌子上还剩几根蜡烛？桌子上原来有桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，根，不久又一阵风吹灭了不久又一阵风吹
20、灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢？根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢？四、鸡蛋的数量鸡蛋的数量 往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍，这样下去，倍，这样下去，12分钟后，篮子满了。那么，你知道在什么时候是半篮子鸡蛋吗？分钟后，篮子满了。那么，你知道在什么时候是半篮子鸡蛋吗？五、谁在说谎呢？（1）从从1到到9变成从变成从9到到11 x 8+1=912 x 8+2=98123 x 8+3=9871234 x 8+4=987612345 x 8+5=98765123456 x 8+6=9876541234567 x 8+7=987654
21、312345678 x 8+8=98765432123456789 x 8+9=987654321（2）数字序列变为）数字序列变为1字序列字序列1 x 9+2=1112 x 9+3=111123 x 9+4=11111234 x 9+5=1111112345 x 9+6=111111123456 x 9+7=11111111234567 x 9+8=1111111112345678 x 9+9=111111111123456789 x 9+10=1111111111（3）1字序列构造数字回文字序列构造数字回文1 x 1=111 x 11=121111 x 111=123211111 x 111
22、1=123432111111 x 11111=123454321111111 x 111111=123456543211111111 x 1111111=123456765432111111111 x 11111111=123456787654321111111111 x 111111111=12345678987654321三：三：5根根六、趣味的乘法数字排列七、哥德巴赫猜想大于大于4 4的偶数总能写成两个奇素数之和，大于的偶数总能写成两个奇素数之和，大于7 7的奇数总能写成三个奇素数的奇数总能写成三个奇素数之和。之和。例如：63+3，85+3，105+5，9=3+3+3，11=3+3+5，
23、99=89+7+3，这是德国数学家哥德巴赫于1742年6月7日给欧拉写的信中提出的 问题，6月30日欧拉回信说：“虽然我还不能回答这个问题，但我确信无疑，认为这是完全正确的定理。”为了摘取这颗明珠，数学家们做了无数次的努力，也取得了一些进展，1973年，中国数学家陈景润发表了一篇论文，轰动了国际数学界，据说离解决这个问题只有一步之隔了，但这一步却有难以想象的艰难。许多数学家认为，要想证明这个问题，很可能必须创造新的方法，以往的路都是走不通的。八八、动物中的数学动物中的数学“天才天才”丹顶鹤丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度度。更精确地计算还表明“人”字形夹角
24、的一半即每边与鹤群前进方向的夹角为54度度44分分8秒秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度度44分分8秒秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？真正的数学“天才”是珊瑚虫珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时小时，一年不是365天天，而是400天天。冬天，猫猫睡觉时总是把身体抱成一个球形球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小表面积最小，从而散发的热量也最少散发的热量也最少。2、缪勒缪勒-莱耶错
25、觉莱耶错觉看看左边面的带箭头的两条直线，猜猜看哪看看左边面的带箭头的两条直线，猜猜看哪条更长条更长?是上面那条吗是上面那条吗?1、填充错觉填充错觉看看这幅图，中间有一个黑点，周围是一团看看这幅图，中间有一个黑点，周围是一团灰雾。灰雾。盯着黑点目光不要移动，你觉得灰雾盯着黑点目光不要移动，你觉得灰雾消失了！消失了！同样的你试试下边的那幅，这次灰雾不会消同样的你试试下边的那幅，这次灰雾不会消失了。这是怎么回事？为什么灰雾有时消失失了。这是怎么回事？为什么灰雾有时消失有时又不消失？有时又不消失？3、Fraser螺旋螺旋 4：龟兔赛跑(基诺悖论)兔子和乌龟相距一公里，兔子的速度比乌龟快很多，请问兔子能
26、追上乌龟吗？当兔子跑到兔子和乌龟原来所在的中点时，乌龟已向前爬了一段距离，但是兔子跑到新的中点处时，乌龟又爬到前面去了。乌龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截了，那怕这个距离比头发丝还小。4、大大小小恒恒常常性性错错觉觉5、不可能的楼梯不可能的楼梯6、荷兰美术大师荷兰美术大师 M.C.Escher 作品作品圆形的拱圆形的拱顶顶黑夜还是白天？黑夜还是白天？上升还是下降？上升还是下降？多少条腿？在证明定理时，很多人认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程在证明定理时，很多人认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程 当然是一个当然是一个让老师们感
27、到纠结的误解。因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道炫丽的风景线，而这种让老师们感到纠结的误解。因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道炫丽的风景线，而这种炫丽甚至不需要用语言来描述。所以我在这里列举了数学里几个不需要语言的证明（炫丽甚至不需要用语言来描述。所以我在这里列举了数学里几个不需要语言的证明（proofs without words）。让同学们在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外，更从此爱上数学。）。让同学们在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外，更从此爱上数学。1.勾股定理勾股定理这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我想大家应该都可以用好几种方法来证明它。而路明思（El
28、isha Scott Loomis）在 毕达哥拉斯命题（Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。2.关于反正切的恒等式关于反正切的恒等式关于反正切，有如下两个很精彩的等式：arctan1/2+arctan1/3=/4 acrtan1+arctan2+arctan3=它们的证明方法也同样精彩，大家可以好好观察它的证明方式。3.几何平均值小于算术平均值几何平均值小于算术平均值这是不等式中最重要和基础的等式：它也可以通过图形来证
29、明。4.平方数的求和公式平方数的求和公式5.立方数的求和公式立方数的求和公式6.最受数学家喜爱的无字证明最受数学家喜爱的无字证明 1989 年的美国数学月刊（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。美国数学月刊提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观
30、察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过这个问题。同时它还是死理性派logo的出处。7.棋盘上的数学证明棋盘上的数学证明 在一个88的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。
