1、高三教学质量检测数学试题高三教学质量检测数学试题 第第卷卷( (选择题选择题 共共 60 分分) ) 一一 选择题选择题:(:(本大题共本大题共8小题小题, ,每小题每小题5分分, ,共共40分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的) ) 1.已知复数 12 ,zz在复平面内对应的点分别为(1,1), (0,1)，则 1 2 z z （ ） A. 1 i B. 1i C. 1i D. 1i 【答案】D 【分析】 由已知条件可得 12 ,z z，然后代入 1 2 z z ，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【详解】复
2、数 12 ,z z 在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0，1） ， 1 z1+i， 2 zi 1 2 z z 2 11 1 iii i ii 故选D 【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 2.设R，则“sin cos”是“sin21”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 sincos，得 4 k ， 得s i n 21 成 立 ； 若s i n 21 ，得 4 k ， 得 s i nc o s.，即可判断 【详解】若sincos，则tan1, 4
3、k ，得sin2sin2sin1 42 k 成立；反 之，若sin21，则22 24 kk ，得 sincos?sincos?“sin21?.，故是的充分必要条件 故选 C. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sincos”推出“sin21”. 3.向量, a b满足 1a ，2b ，( )(2)abab，则向量a与b的夹角为（） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】C 【解析】设向量a与b的夹角为 ()(2)abab， 2222 () (2)22 1( 2)12cos0abababa b ，化为cos0， 0, ， 0 90故选 C 考点：平面向量
4、数量积的运算 4.已知数列 n a中, 3 2a , 7 1a .若 1 n a 为等差数列,则 5 a ( ) A. 2 3 B. 3 2 C. 4 3 D. 3 4 【答案】C 【分析】 根据等差数列的性质先求出 1 n a 的公差，即可求出 5 a 【详解】设等差数列 1 n a 的公差为d， 则 73 11 4d aa ，即 1 14 2 d，解得 1 8 d 则 53 11113 2 244 d aa ，解得 3 4 3 a 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题 5.已知点2,4M在抛物线 C: 2 2ypx(0p )上,点 M到抛物线 C的焦点的距离是( )
5、 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 将点2,4M的坐标代入抛物线方程，求出4p ，即得焦点(2,0)F，利用抛物线的定义，即可求出 【详解】由点2,4M在抛物线 2 2ypx上，可得164p，解得4p ， 即抛物线 2 :8Cyx，焦点坐标(2,0)F，准线方程为2x 所以，点M到抛物线C焦点的距离为：224 故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题 6.在ABC中,2ABACAD , 20AEDE ,若EBxAByAC,则( ) A. 2yx B. 2yx C. 2xy D. 2xy 【答案】D 【分析】 依题可得， 点D为边BC的中
6、点， 2AEDE ， 从而可得出 1 () 6 DEABAC ， 1 () 2 DBABAC ， 21 33 EBABAC，从而可得出 21 , 33 xy ，即可得到2xy 【详解】如图所示： 2ABACAD ， 点D为边BC的中点， 20AEDE ， 2AEDE ， 11 () 36 DEADABAC ， 又 11 () 22 DBCBABAC， 1121 ()() 2633 EBDBDEABACABACABAC 又EBxAByAC， 21 , 33 xy ，即2xy 故选：D 【点睛】本题主要考查向量加法平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量 基本定理等知识的应用
7、，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题 7.已知双曲线 C: 22 22 1 xy ab ,(0a ,0b )的左右焦点分别为 1 F, 2 F, O为坐标原点,P是双曲线在第一 象限上的点, 12 22PFPFm,(0m ), 2 12 PF PFm,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) A. 1 2 yx B. 2 2 yx C. y x D. 2yx 【答案】D 【分析】 利用双曲线的定义求出2ma，由向量的数量积，可求出 12 FPF，利用余弦定理可得 , a c的关系式，结 合 222 cab，即可求出 【详解】因为 12 2PFPFa， 12 22PFPFm可得2ma，由 2 12
8、 PF PFm可得 2 12 42 cos4aaFPFa，所以 12 60FPF ， 即有 2222 1 44162 4212 2 caaaaa ，即 2222 3caba ， 所以2 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为：2yx 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用， 意在考查学生的数学运算能力，属于基础题 8.已知奇函数 f x是 R上增函数, g xxf x则( ) A. 23 32 3 1 log22 4 ggg B. 23 32 3 1 log22 4 ggg C. 23 32 3 1 22log 4 ggg D. 2
9、3 32 3 1 22log 4 ggg 【答案】B 【分析】 根据定义， 可判断出( )g x为偶函数， 根据其导数可得出，0x 时， 函数( )g x单调递增，0x时， 函数( )g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小 【详解】由奇函数 ( )f x是R上的增函数，可得 0fx ，以及 当0x 时， 0f x ，当0x时， 0f x ， 由 g xxf x，则()()( )( )gxxfxxf xg x ，即( )g x为偶函数 因为 gxf xxfx ，所以当0x 时， 0gx ，当0x时， 0gx 故0x 时，函数( )g x单调递增，
10、0x时，函数( )g x单调递减 因为 33 1 loglog 4 4 gg ， 23 0 32 3 2221log 4 所以 23 32 3 1 log22 4 ggg 故选：B 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用 导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题 二二 多项选择题多项选择题: :本题共本题共 4 小题小题, ,每小题每小题 5 分分, ,共共 20 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,有多项是符有多项是符 合题目要求合题目要求, ,全部选对的得全部选对的得 5 分分,
11、,部分选对的得部分选对的得 3 分分, ,有选错的有选错的 0 分分. . 9.如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,则下列四个命题正确的是( ) A. 直线BC与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B. 点 C到面 11 ABC D的距离为 2 2 C. 两条异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 4 D. 三棱柱 1111 AADBBC外接球半径为 3 2 【答案】ABD 【分析】 根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法， 即可判断各选项的真假 【详解】正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 对于 A，
12、直线BC与平面 11 ABC D所成的角为 1 4 CBC ，故选项 A 正确； 对于 B，因为 1 BC 面 11 ABC D，点C到面 11 ABC D的距离为 1 BC长度的一半，即 2 2 h ，故选项 B正 确； 对于 C，因为 11 / /BCAD，所以异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 1 ADC，而 1 ADC为等边三角形，故两 条异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 3 ，故选项 C错误； 对于 D， 因为 11111 ,A A AB AD两两垂直， 所以三棱柱 1111 AADBBC外接球也是正方体 1111 ABCDABC D的 外接球，故 222 1113 2
13、2 r ，故选项 D 正确 故选：ABD 【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法， 三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题 10.要得到cos2yx的图象 1 C,只要将sin 2 3 yx 图象 2 C怎样变化得到( ) A. 将sin 2 3 yx 的图象 2 C沿 x 轴方向向左平移 12 个单位 B. 将sin 2 3 yx 的图象 2 C沿 x 轴方向向右平移11 12 个单位 C. 先作 2 C关于 x轴对称图象 3 C,再将图象 3 C沿 x轴方向向右平移 5 12 个单位 D. 先作 2 C关于 x轴对称图象 3 C,再
14、将图象 3 C沿 x轴方向向左平移 12 个单位 【答案】ABC 【分析】 根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到 【 详 解 】 对 于A ， 将s i n2 3 yx 图 象 2 C沿x 轴 方 向 向 左 平 移 12 个 单 位 ， 可 得 sin 2sin 2cos2 1232 yxxx 的图象 1 C，故选项 A 正确； 对于 B，将sin 2 3 yx 的图象 2 C沿 x轴方向向右平移11 12 个单位也可得到， 113 sin 2sin 2cos2 1232 yxxx 的图象 1 C，故选项 B 正确； 对于 C， 先作 2 C关于 x 轴对称， 得到sin
15、2 3 yx 的图象 3 C， 再将图象 3 C沿 x轴方向向右平移 5 12 个 单位，得到 5 sin 2sin 2cos2 1232 yxxx 的图象 1 C，故选项 C 正确； 对于 D，先作 2 C关于 x轴对称，得到sin 2 3 yx 的图象 3 C，再将图象 3 C沿 x 轴方向向左平移 12 个 单位，得到的sin 2sin 2cos2 1232 yxxx 图象，故选项 D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化 能力，以及逻辑推理能力，属于基础题 11.已知集合 =,Mx y yf x,若对于 11
16、 ,x yM, 22 ,xyM,使得 1212 0x xy y成立,则 称集合 M是“互垂点集”.给出下列四个集 合: 2 1 ,1Mx y yx; 2 ,1Mx y yx; 3 , x Mx y ye; 4 ,sin1Mx y yx.其中是“互垂点集”集合的为( ) A. 1 M B. 2 M C. 3 M D. 4 M 【答案】BD 【分析】 根据题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点 11 ,P x y，在图象上存在另一个点 P ，使得 OP OP ，结合函数图象即可判断 【详解】由题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点 11 ,P x y，在图象上存在另一个点 P ，使得 OP
17、 OP 在 2 1yx的图象上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点 P ， 所以 1 M不是“互垂点集”集合； 对1yx的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以在 2 M中的任意点 11 ,P x y，在 2 M中存在另一个 P ，使得OP OP ， 所以 2 M是“互垂点集”集合； 在 x ye的图象上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点 P ， 所以 3 M不是“互垂点集”集合； 对sin1yx的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以 4 M是“互垂点集”集合， 故选：BD 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的
18、理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和 数学抽象能力，属于较难题 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇 怪的函数” 1, 0, R xQ yf x xC Q 其中 R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数 f x有如下四个命题, 正确的为( ) A. 函数 f x是偶函数 B. 1 x, 2R xC Q, 1212 f xxf xf x恒成立 C. 任取一个不为零的有理数 T, ()( ) fx Tfx+=对任意的xR恒成立 D. 不存在三个点 11 ,A xf x, 22 ,B xf x, 33 C xf
19、x，,使得ABC为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】 根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可 【详解】 对于 A， 若x Q ， 则xQ ， 满足 ( )()f xfx ； 若 R x C Q， 则 R x C Q ， 满足( )()f xfx； 故函数 ( )f x为偶函数，选项 A 正确； 对于 B，取 12 , RR xC Q xC Q ，则 12 01f xxf， 12 0f xf x，故选项 B 错 误； 对于 C，若x Q ，则xTQ，满足 f xf xT；若 R xC Q，则 R xTC Q，满足 f xf xT，故选项 C正确； 对于 D，要为等腰直角三角形，只可能如下四
20、种情况： 直角顶点A在1y 上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的横坐标仍然为 无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为 1矛盾，故不成立； 直角顶点A在1y 上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数， 这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立； 直角顶点A在x轴上，斜边在1y 上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为 有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为 0 矛盾，故不成立； 直角顶点A在x轴上，斜边不在1y 上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数， 这与点B的纵坐标
21、为 1 矛盾，故不成立 综上，不存在三个点 11 ,A xf x， 22 ,B xf x， 33 C xf x，使得ABC为等腰直角三角形，故 选项 D正确 故选：ACD 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数 形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题 第第卷卷( (非选择非选择题题 共共 90 分分) ) 三三 填空题填空题: :本题共本题共 4 小题小题, ,每小题每小题 5 分分, ,共共 20分分. . 13.已知直线 20xya 与圆 22 :2O xy相交于A，B两点（O为坐标原点） ，且AOB为等腰直角 三角形，则实数a的值为
22、_ 【答案】5 【分析】 根据等腰直角三角形边长可求得弦长2AB ，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d，根据垂径定 理构造方程可求得结果. 【详解】AOB为等腰直角三角形 OAOB，又 2OAOBr 2AB 又圆O的圆心到直线距离 5 514 a da 2 22 22 22 5 a ABrd ，解得：5a 故答案为5 【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应 用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为 22 2 rd ，属于常考题型. 14.已知直线2yx与曲线 ln()yxa相切，则a= 【答案】3 【分析】 设切点为（x0，y0） ，求
23、出函数 yln（x+a）的导数为 y 1 xa ，得 k切 0 1 xa 1，并且 y0x0+2，y0 ln（x0+a） ，进而求出a 【详解】设切点为（x0，y0） ，由题意可得：曲线的方程为 yln（x+a） ，所以 y 1 xa 所以 k切 0 1 xa 1，并且 y0x0+2，y0ln（x0+a） ，解得：y00，x02，a3 故答案为 3 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属 于基础题. 15.2019年 7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良 渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,
24、实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利 用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间(单位:年)的衰变规律满足 5730 0 2 T NN ( 0 N表示碳 14原有的质量),则经过 5730年后,碳 14的质量变为原来的_;经过测定,良 渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 3 7 至 1 2 ,据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730年到 _年之间.(参考数据:lg20.3,lg70.84,lg3 0.48) 【答案】 (1). 1 2 (2). 6876 【分析】 把5730T 代入5730 0 2 T NN ，即可求出；再令 3
25、 57307 2 T ，两边同时取以 2 为底的对数，即可求出T的范 围 【详解】5730 0 2 T NN ，当5730T 时， 1 00 1 2 2 NNN ， 经过 5730年后，碳 14的质量变为原来的 1 2 ， 由题意可知： 3 57307 2 T ， 两边同时取以 2 为底的对数得： 5730 22 3 log 2log 7 T ， 3 lg lg3lg7 7 1.2 5730lg2lg2 T ， 6876T， 推测良渚古城存在的时期距今约在 5730年到 6876 年之间 故答案为： 1 2 ；6876 【点睛】本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于
26、基础题 16.已知ABC的顶点A平面,点 B,C在平面异侧,且 2AB ,3AC ,若AB,AC与所成的 角分别为 3 , 6 ,则线段BC长度的取值范围为_. 【答案】7, 13 【分析】 由题意画出图形，分别过,B C作底面的垂线，垂足分别为 1 B， 1 C， 根据 2 22 111111 27 4 BCBBBCCCBC可知，线段BC长度的最大值或最小值取决于 11 BC的长度， 而 111111 ABACBCABAC，即可分别求出BC的最小值与最大值 【详解】如图所示： 分别过,B C作底面的垂线，垂足分别为 1 B， 1 C 由已知可得， 1 3BB ， 1 3 2 CC ， 1 1
27、AB ， 1 3 2 AC 1111 BCBBBCCC， 2 222222 11111111111111 327 233 44 BCBBBCCCBBBCCCBB CCBCBC而 111111 ABACBCABAC， 当AB，AC所在平面与垂直，且,B C在底面上的射影 1 B， 1 C，在A点同侧时，BC长度最小，此 时 1111 31 1 22 BCABAC ，BC最小为 2 127 7 24 ； 当AB，AC所在平面与垂直，且,B C在底面上的射影 1 B， 1 C，在A点异侧时，BC长度最大，此时 1111 35 1 22 BCABAC ，BC最大为 2 527 13 24 线段BC长度
28、的取值范围为7, 13 故答案为：7, 13 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想 象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题 四四 解答题解答题: :本题共本题共 6 小题小题, ,共共 70 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或证明过程或演算步骤演算步骤. . 17.已知 2cos sin3cos3f xxxx. (1)求函数 f x的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数 f x在区间,0 2 的取值范围. 【答案】(1), 3 2,2 22 kk ,kZ;(2)2, 3 . 【分析】 (1)利用二倍角公
29、式和辅助角公式对 f x的解析式进行三角恒等变换，得到 2sin 2 3 fxx ，再根 据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间； (2)令 4 2, 333 tx ，由sinyt在 4 , 33 上的单调性，即可求出22sin3t ，从而 求出 f x在区间,0 2 的取值范围 【详解】(1)由题意，化简得 2 2cos sin3 2cos1f xxxx sin23cos2xx 2sin 2 3 x 所以函数 f x的最小正周期 sinyx 的减区间为 3 2,2 22 kk ，kZ 由 3 222 232 kxk ，得 511 1212 kxk 所以函数 f x的单调递减区间为
30、511 , 1212 kk ，kZ (2)因为 ,0 2 x ，所以 4 2, 333 tx ，即有22sin3t 所以，函数 f x在区间,0 2 上的取值范围是2, 3 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，周期公式的应用，整体代换法求 正弦型函数的单调区间，以及换元法求三角函数在闭区间上的值域，意在考查学生的转化能力和数学运算 能力，属于基础题 18.在ABC,a,b,c 分别为内角 A,B,C的对边,且 222 8sin3abCbca,若 10a ,5c . (1)求cos A; (2)求ABC的面积 S. 【答案】(1) 4 5 ;(2)15 2 或 9 2
31、 . 【分析】 (1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角， 可得4sin3cosAA， 再结合平方关系即可求出cos A； (2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得， 222 2cosabcbcA，即可求出边b，再根据三 角形面积公式 1 sin 2 SbcA即可求出 【详解】(1)由题意得 222 3 8sin 22 bca abC bcbc 由余弦定理得: 4 sin 3cos aC A c 由正弦定理得4sin3cosAA 所以 3 tan 4 A ， ABC中， 4 cos 5 A (2)由余弦定理 222 2cosabcbcA得 2 8150bb 解得3b 或5b 3
32、tan 4 A ， 3 sin 5 A 由 1 sin 2 SbcA得 15 2 S 或 9 2 S 【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的 数学运算能力，属于基础题 19.设数列 n a的前 n 项和为 n S,已知 1 1a , 1 21 nn SS ,n N. (1)证明:1 n S 为等比数列,求出 n a的通项公式; (2)若 n n n b a ,求 n b的前n项和 n T,并判断是否存在正整数n使得 1 250 n n Tn 成立?若存在求出所有 n 值;若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析, 1 2n n a -
33、=;(2)不存在,理由见解析. 【分析】 (1)根据等比数列的定义即可证明1 n S 为等比数列，再根据 n S和 n a的关系 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn ，即可 求出 n a的通项公式； (2)根据 1 2 n n n nn b a ，可采取错位相减法求出 n b的前 n项和 n T，然后代入 1 250 n n Tn 得， 2260 n n ， 构造函数( )226 x f xx(1x )， 利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在 【详解】(1) 1 21 nn SS 1 121 nn SS ， * nN 因为 11 1aS，所以可推出10 n S 故 1 1
34、 2 1 n n S S ，即1 n S 为等比数列 1 12S ，公比2 12n n S ，即21 n n S ， 1 1 21 n n S ，当2n时， 1 1 2n nnn aSS ， 1 1a 也满足此式， 1 2n n a - =； (2) 因为 1 2 n n n nn b a ， 011 12 222 n n n T 12 112 2222 n n n T ，两式相减得: 011 11112 2 222222 n nnn nn T 即 1 2 4 2 n n n T ，代入 1 250 n n Tn ，得2 260 n n 令( )226 x f xx(1x )， 2 ln2 1
35、0 x fx 在1,x成立， 226 x f xx，1,x为增函数， 而 540ff ，所以不存在正整数 n使得 1 250 n n Tn 成立 【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存 在性定理等的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题 20.九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 1000多年,在九章算术中,将底面 为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四 棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵 111 AB
36、CABC中,AB AC. (1)求证:四棱锥 11 BA ACC为阳马; (2)若 1 2C CBC,当鳖膈 1 CABC体积最大时,求锐二面角 11 CABC的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 15 5 . 【分析】 (1)按照题目定义， 只要证明AB 面 11 ACC A即可， 而由 1 A AAB，AB AC即可证出AB 面 11 ACC A； (2)先根据基本不等式求出当 2ABAC 时，鳖膈 1 CABC体积最大，然后建立如图所示的空间直角 坐标系，根据向量法即可求出锐二面角 11 CABC的余弦值 【详解】(1) 1 A A 底面ABC，AB面ABC 1 A AAB 又A
37、BAC， 1 A AACAI AB 面 11 ACC A， 又四边形 11 ACC A为矩形 四棱锥 11 BA ACC 为阳马 (2)ABAC，2BC ， 22 4ABAC 又 1 A A 底面ABC， 1 1 11 32 CABC VCCAB AC 22 112 3323 ABAC AB AC 当且仅当 2ABAC 时， 1 1 3 CABC VAB AC 取最大值 ABAC， 1 A A 底面ABC 以 A为原点，建立如图所示空间直角坐标系 2,0,0B， 0, 2,0C， 1 0,0,2A 1 2,0, 2AB uuu r ，2, 2,0BC ， 11 0, 2,0AC uuuu r
38、设面 1 ABC的一个法向量 1111 ,nx y z 由 11 1 0 0 nAB n BC 得 1 2 2,1n u r 同理得 2 2,0,1n u u r 12 12 12 15 cos, 5 | | n n n n nn u r u u r u r u u r u ru u r 二面角 11 CABC的余弦值为 15 5 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值， 意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题 21.给定椭圆 C: 22 22 1 xy ab (0ab),称圆心在原点 O,半径为 22 ab 的圆是椭圆 C 的
39、“卫星圆”.若 椭圆 C的离心率 2 2 ,点2, 2在 C上. (1)求椭圆 C的方程和其“卫星圆”方程; (2)点 P是椭圆 C的“卫星圆”上的一个动点,过点 P作直线 1 l, 2 l使得 1 l 2 l,与椭圆 C都只有一个交点,且 1 l, 2 l分别交其“卫星圆”于点 M,N,证明:弦长MN为定值. 【答案】(1) 22 1 84 xy , 22 12xy;(2)证明见解析. 【分析】 (1)根据题意列出 22 2 2 42 1 c a ab 再结合 222 abc即可解出2 2a ，2b， 从而得到椭圆 C的方程和其 “卫星圆”方程； (2) 根据 1 l 2 l分类讨论，当有一
40、条直线斜率不存在时(不妨假设 1 l无斜率)，可知其方程为 2 2x 或 2 2x ，这样可求出4 3MN ；当两条直线的斜率都存在时，设经过点 00 ,P xy与椭圆只有一个 公共点的直线为 00 yt xxy，与椭圆方程联立，由0 可得 2 2 0 0 12 22 00 328 12 328 1 648648 x y t t xx ，所以线段MN应为“卫星圆”的直径，即4 3MN ，故得 证 【详解】(1)由条件可得: 22 2 2 42 1 c a ab 解得 2 2a ，2b 所以椭圆的方程为 22 1 84 xy ， 卫星圆的方程为 22 12xy (2)当 1 l， 2 l中有一条
41、无斜率时，不妨设 1 l无斜率， 因为 1 l与椭圆只有一个公共点，则其方程为 2 2x 或 2 2x ， 当 1 l方程为 2 2x 时，此时 1 l与“卫星圆”交于点 2 2,2和 2 2, 2， 此时经过点2 2,22 2, 2且与椭圆只有一个公共点的直线是 2y 或2y ，即 2 l为2y 或2y ， 12 ll 线段MN应为“卫星圆”的直径， 4 3MN 当 1 l， 2 l都有斜率时，设点 00 ,P xy，其中 22 00 12xy， 设经过点 00 ,P xy与椭圆只有一个公共点的直线为 00 yt xxy， 则， 00 22 1 84 ytxytx xy 消去 y 得到 2
42、22 0000 124280txt ytxxytx， 222 0000 648163280xtx y ty 2 2 0 0 12 22 00 328 12 328 1 648648 x y t t xx 所以 12 1t t ，满足条件的两直线 1 l， 2 l垂直 线段MN应为“卫星圆”的直径，4 3MN 综合知：因为 1 l， 2 l经过点 00 ,P xy，又分别交“卫星圆”于点MN，且 1 l， 2 l垂直，所以线段MN 是“卫星圆” 22 00 12xy的直径，=4 3MN为定值 【点睛】本题主要考查椭圆简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的 应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题 22.已知函数 ln
