1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1一、一元复合函数求导的链式法则一、一元复合函数求导的链式法则 二、二、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 三、三、小结小结 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页2定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)一、一元复合函数的求导法则一、一元复合函数的求导法则上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页3例例210(1).yx求求函函数数的的导导数数解解292d10(1)
2、(1)dyxxx xx2)1(1092 .)1(2092 xx上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页4二、二、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则这个复合过程，这个复合过程，zuvt1.下面先讨论中间变量是一元函数的情况下面先讨论中间变量是一元函数的情况(,)()():zf u vutvtt 设设函函数数通通过过中中间间变变量量及及成成为为 的的复复合合函函数数(,),(),(),f u vtt下下面面定定理理给给出出直直接接由由的的偏偏导导数数的的导导数数d.dzt得得到到求求导导公公式式可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：(),()zftt 上一页上一页下一页下一
3、页返回首页返回首页5ddd.dddzzuzvtutvt 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页6这个复合过程，这个复合过程，zuvxy(,)(,)(,),zf u vux yvx yx y 设设函函数数通通过过中中间间变变量量及及成成为为的的复复合合函函数数(,),(,),(,),f u vx yx y下下面面定定理理给给出出直直接接由由的的偏偏导导数数,.zzxy求求的的求求导导公公式式可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：2.下面讨论中间变量是多元函数的情况下面讨论中间变量是多元函数的情况(,),(,)zfx yx y 上一
4、页上一页下一页下一页返回首页返回首页7,zzuzvxu xv x .zzuzvyu yvy 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页8uvxzy xz yz链式法则如图示链式法则如图示上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页9类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu ),(yxv ),(yxww ),(),(),(yxwyxyxfz xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 都在点都在点(x,y)具有对具有对x和和y的偏导数，复合函数的偏导数，复合函数在点在点(x,y)的两个偏导数存在，并且有的两个偏导数存在，并且有zwvuyx上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页10
5、若若(,),zf u v x(,),(,).uu x yvv x y其中其中zvuyx.zzuzvzxu xv xx 则复合函数则复合函数(,),(,),zf u x y v x yx 对对x的偏导数的偏导数式中左边的式中左边的zx 与右边的与右边的zx 一样吗一样吗?上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页11特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv ,yw 其中其中,1 xv,0 xw,0 yv.1 yw两者的区别两者的区别区别类似区别类似上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页12解解 xz1cossin v
6、eyveuu),cossin(vvyeu yz1cossin vexveuu).cossin(vvxeu zvuyx上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页13解解ddddddzzuzvztutvttttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet zvut上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页14解解令令,zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 12,w ff zvuyx上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页15 zxw2)(21
7、fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页16例例4 设设解解 设设 22,.zzzfxyxy，求求 ,zf u 因因此此22,uxyzuyxddzzuxu x 2fux 222xfxy，ddzzuyu y 222.yfxy 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页17例例5 设设解解232,sin,.xyzuuuezxyxy求求uffzxx
8、zx ，uffzyyzy 23,xyzfex 233,xyzfez 232,xyzfey 2 sin,zxyx 2cos,zxyy 2316 sin,xyzuexyx 23223cos.xyzuexyy zuyxyx(,)uf x y z令上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页18无论无论z是自变量是自变量u、v 的函数或中间变量的函数或中间变量u、v 的的函数，它的全微分形式是一样的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质：dddzzzuvuvdddzzzxyxy上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页19dzuzvxuxvxdddzzzxyxydzuzvyuyvyddzuuxyuxyddzvvxyvxydzuu d.zvv 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页201、链式法则（分三种情况）、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页21 z设设,cossin2yxvu、xyu ,xyv xz 求求yz 及及练习练习22222(,),.zzzzf xy yxyx y 设求1、2、
