1、第一讲 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、定积分的概念二、定积分的性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、定积分的概念二、定积分的性质一、定积分的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（三）可积条件（四）几何意义一、定积分的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（三）可积条件（四）几何意义（一）引例（一）引例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积（一）引例（一）引例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积（一）引例（一）引例abxyo1)分割分割.在在a,b中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点0121.nna xxxxxb 2)取近似取近似.()iiiAfx3)求和求和
2、.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.01lim()niiiAfx 1xix1ixi)(xfy 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1)分割分割.1T2T()v t1it iti iiitvs)(2)取近似取近似.在在T1,T2中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点101212nnTtttttT （一）引例（一）引例1T2Ttvo1)分割分割.在在a,b中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点0121.nna xxxxxb 2)取近似取近似.()iiiAfx3)求和求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.01lim()niii
3、Afx 1tit1iti()vv t1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1)分割分割.1T2T()v t1it iti iiitvs)(2)取近似取近似.在在T1,T2中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点101212nnTtttttT （一）引例（一）引例1)分割分割.在在a,b中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点0121.nna xxxxxb 2)取近似取近似.()iiiAfx3)求和求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.01lim()niiiAfx 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1)分
4、割分割.iiitvs)(2)取近似取近似.在在T1,T2中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点101212nnTtttttT iniitvs1)(3)求和求和.4)取极限取极限.iniitvs10)(lim几几 何何 问问 题题物物 理理 问问 题题不同点：不同点：背景不同背景不同（一）引例（一）引例1)分割分割.在在a,b中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点0121.nna xxxxxb 2)取近似取近似.()iiiAfx3)求和求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.01lim()niiiAfx 1曲边梯形的面积曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程
5、1)分割分割.iiitvs)(2)取近似取近似.在在T1,T2中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点101212nnTtttttT iniitvs1)(3)求和求和.4)取极限取极限.iniitvs10)(lim不同点：不同点：背景不同背景不同相同点：相同点：方法相同方法相同分分 割割取近似取近似求求 和和取极限取极限（一）引例（一）引例1)分割分割.在在a,b中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点0121.nna xxxxxb 2)取近似取近似.()iiiAfx3)求和求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.01lim()niiiAfx 1曲边梯形的面积曲边梯形的面积2
6、.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1)分割分割.iiitvs)(2)取近似取近似.在在T1,T2中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点101212nnTtttttT iniitvs1)(3)求和求和.4)取极限取极限.iniitvs10)(lim不同点：不同点：背景不同背景不同相同点：相同点：方法相同方法相同数学形式相同数学形式相同01lim()niiifx 一、定积分的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（三）可积条件（四）几何意义一、定积分的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（三）可积条件（四）几何意义,210bxxxxan设函数设函数 在在 上有界，上有界，()f x,
7、a b在在 中任意插入若干个分点中任意插入若干个分点,a b把区间把区间 分成分成 个小区间个小区间,a bn01121,nnxxxxxx 各个小区间的长度依次为各个小区间的长度依次为1(),niiiSfx 并作和并作和1122011,nnnxxxxxxxxx上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间,1iixx),(1iiiixx 作函数值作函数值)(if 与小区间长度与小区间长度ix 的乘积的乘积),2,1()(nixfii 记记 ,max21nxxx 且与闭区间且与闭区间,ba的分法及点的分法及点的取法无关的取法无关,i 如果当如果当0 时时,这和的极限总存在这和的极限总存在,那么称这
8、个极限那么称这个极限I为函数为函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分上的定积分(简称积分简称积分),),记作记作 baxxfd)(baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分上限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和积分下限积分下限,a b积分区间积分区间l注注定积分是一个数定积分是一个数!baxxfd)(battfd)(bauufd)(),baAf x x d d21().TTsv tt d d(1)(2)定积分仅与定积分仅与(3)被积函数被积函数积分区间积分区间有关，有关，与与区间分法区间分法i i的取法的取法积分变量积分变量记法记法无关无关一、定积分
9、的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（三）可积条件（四）几何意义一、定积分的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（三）可积条件（四）几何意义 定理定理1 设设f(x)在在 a,b 上连续，则上连续，则f(x)在在 a,b 上可积上可积.定理定理2 设设f(x)在在 a,b 上有界，且只有有限个间断点，上有界，且只有有限个间断点，则则f(x)在在 a,b 上可积上可积.oxy2xy 1利用定义计算定积分利用定义计算定积分120d.xx niu例例1 1 一、定积分的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（三）可积条件（四）几何意义一、定积分的概念一、定积分的概念（一）引例（二）定义（
10、三）可积条件（四）几何意义 baAdxxf)(0()f x abxyo0()f x ab xyo曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值()()baf x dxA abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfbax轴上方图形面积减去轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差轴下方图形面积所得之差在在 上上 既取得正值又取得负值既取得正值又取得负值,a b()()f x利用定积分的几何意义计算下列定积分利用定积分的几何意义计算下列定积分50(1)x x d d22(2)aaaxx d dxyo5xyoaa u例例2 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、定积
11、分的概念二、定积分的性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、定积分的概念二、定积分的性质约定约定 性质性质1 性质性质2性质性质3可加性可加性 abbaxxfxxfd)(d)(0d)(baxxf当当 ba 时时,当当 ba 时时,()()d()d()dbbbaaaf xg xxf xxg xx 设设 ,bca 则则 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(l注注不论不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何,上述等式均成立上述等式均成立如果在区间如果在区间 ,ba上上 ,1)(xf那么那么 abxxbaba dd1 设设 与与 均为常数均为常数,则则 性质性质4 推论推论2 l注注
12、u例例3不等式不等式推论推论1 下列积分哪一个较大？下列积分哪一个较大？21ln dx x 和和221(ln)dxx 如果在区间如果在区间,ba上上 ,0)(xf那么那么 )(0d)(baxxfba 如果在区间如果在区间,ba上上 ),()(xgxf 那么那么 )(d)(d)(baxxgxxfbaba )(d)(d)(baxxfxxfbaba )(0d)(baxxfba 如果在区间如果在区间,ba上上 ,0)(xf那么那么 且且 ,0)(xf性质性质5 u例例4 估计积分估计积分202dxxex 的值的值性质性质6 l注注 (1)(1)几何解释几何解释 oxbay)(xfy(2)(2)实际意义
13、实际意义 ()dbaf xxba )(1lim1niinfnnabfabniin)(lim11f(x)在在 a,b 上的平均值上的平均值 设设M和和m分别是函数分别是函数 )(xf在区间在区间,ba上的最大值上的最大值 及最小值及最小值,则则 )()(d)()(baabMxxfabmba （定积分中值定理）（定积分中值定理）如果函数如果函数f(x)在积分区间在积分区间 a,b 上连续上连续,那么在那么在 a,b 上至少存在一点上至少存在一点,使下式成立使下式成立:)()(d)(baabfxxfba 小结小结2定积分的实质：定积分的实质：1定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限由近似到精确由近似到精确取近似取近似 以直以直(不变不变)代曲（变）代曲（变）特殊和式的极限特殊和式的极限3定积分的性质定积分的性质
