1、上页下页铃结束返回首页第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家 Newton一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 2.1 导数概念上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页ttfttftsv)()(00 一、引例 设物体作直线运动所经过的路程为sf(t)以t0为起始时刻 物体在t时间内的平均速度为 此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好 因此当t0时 极限1.直线运动的速度ttfttftsvt
2、tt)()(limlimlim00000就是物体在t0时刻的瞬时速度 下页上页下页铃结束返回首页 求曲线yf(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0 x y0y)作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成 2.切线问题 当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率 动画演示xyxx00limtanlimtanjxxfxxfx)()(lim000首页上页下页铃结束返回首页两个问题的共性共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限
3、是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题上页下页铃结束返回首页xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 二、导数的定义存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数 记为f(x0)即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 下页 设函数yf(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导 上页下页铃结束返回首页导数的其它符号下页导数的其它定义式hxfhxfxfh)()(lim)
4、(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0|xxy 0 xxdxdy或0)(xxdxxdf 导数的定义式:xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 上页下页铃结束返回首页 例1 求函数yx2在点x2处的导数 解 hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxxfxffxx22002)2(lim)2()2(lim)2(4)4(lim0 xx4)2(lim22lim2)2()(lim)2(22222xxxxfxffxxx或xxxfxffxx22002)2(lim)2()2(lim)2(4)2(lim22lim2)2(
5、)(lim)2(22222xxxxfxffxxx4)2(lim22lim2)2()(lim)2(22222xxxxfxffxxx下页xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 导数的定义式:上页下页铃结束返回首页hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 导数的定义式:导函数的定义 如果函数yf(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数yf(x)的导函数 简称导数 记作y)(xf dxdy 或dxxdf)(提问:导函数的定义式如何写?下页上页下页铃
6、结束返回首页hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00 例2 求函数f(x)C 的导数(C为常数)解 即 (C)0 解 f(x)hxfhxfh)()(lim00lim0hCChhxfhxfh)()(lim00lim0hCCh 下页2.求导数举例 解 例 2 求xxf1)(的导数 例3 2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00上页下页铃结束返回首页解 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim
7、)(解 例 3 求xxf)(的导数 例4 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 下页2.求导数举例 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)(1)(xx上页下页铃结束返回首页 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)(1)(xxxx21)(1)(xx 2.求导数举例 解 f(a)axafxfax)()(limaxaxnnaxlim 例
8、5 求函数f(x)x n(n为正整数)在xa处的导数 更一般地 有 (x)x1(其中为常数)把以上结果中的a换成x得f(x)nxn1 即(xn)nxn1 解 nan1axafxfax)()(limaxaxnnaxlim(xn1axn2 an1)axlim下页上页下页铃结束返回首页 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)(1)(xxxx21)(1)(xx 2.求导数举例 例6 求函数f(x)sin x的导数 解 解 f(x)hxfhxfh)()(lim0hxhxhsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0hhxhhxhhhxhcos
9、22sin)2cos(lim0hxfhxfh)()(lim0hxhxhsin)sin(lim0 xhhhxhcos22sin)2cos(lim0 下页上页下页铃结束返回首页 (sin x)cos x 同理可得(cos x)sin x (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)(1)(xxxx21)(1)(xx 2.求导数举例 例7 求函数f(x)ax(a0 a 1)的导数 解 解 f(x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0limhxfhxfh)()(lim0haaxhxh0lim haahhx1lim0tah1令)1(loglim0tt
10、aatxhaahhx1lim0tah1令)1(loglim0ttaatxhaahhx1lim0tah1令)1(loglim0ttaatx aaeaxaxlnlog1 下页上页下页铃结束返回首页 (sin x)cos x(cos x)sin x (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)(1)(xxxx21)(1)(xx (ax)axln a 特别地有(ex)ex 2.求导数举例 例8 求对数函数ylog ax的导数 解 解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1(log1lim0 xhhahhxhxxfaahlog)(loglim)(0)
11、1(log1lim0 xhhah hxahxhx)1(loglim10axexaln1log1hxahxhx)1(loglim10axexaln1log1 下页上页下页铃结束返回首页 (sin x)cos x(cos x)sin x (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)(1)(xxxx21)(1)(xx (ax)axln a axxaln1)(log xx1)(ln2.求导数举例 以上得到的是部分基本初等函数的导数公式 下页axxaln1)(log xx1)(ln 特别地有特别地有(ex)ex 上页下页铃结束返回首页3.单侧导数导数与单侧导数
12、的关系 函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 函数在区间上的可导性 f(x)在0 x处的左导数 f(x)在0 x处的右导数处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 Axf)(0Axfxf)()(00 下页上页下页铃结束返回首页 例9 求函数f(x)|x|在x0处的导数 导数与单侧导数的关系Axf)(0Axfxf)()(00 f(x)在0 x处的左导数 f(x)在0 x处的右导数处的左导数hxfhxfx
13、fh)()(lim)(00 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh 因为f(0)f(0)解 1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh 解 所以函数f(x)|x|在x0处不可导1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh 1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh 3.单侧导数首页上页下页铃结束返回首页三、导数的几何意义 导数 f(x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0 f(x0)处的切线的斜率 即f(x0)tan 其中是切线的倾角)()(1000 xxxfyy 切线方程为
14、yy0f(x0)(xx0)法线方程为下页上页下页铃结束返回首页解 21xy 解 所求法线方程为 并写出在该点处的切线方程和法线方程 例10 例 8 求等边双曲线xy1在点)2 ,21(处的切线的斜率 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121xxk 所求切线方程为)21(42xy 即4xy40)21(412xy 即2x8y150 4)1(2121xxk 41112kk 下页上页下页铃结束返回首页首页例 9 求曲线xxy的通过点(0 4)的切线方程 例11 设切点的横坐标为x0 解 0212302323)()(0 xxxxfxx于是所求切线的方程可设为 )(230000 xxxxxy 已知点(
15、0 4)在切线上 所以 )0(2340000 xxxx 解之得x04)4(42344xy 即 3xy40 于是所求切线的方程为则切线的斜率为 0212302323)()(0 xxxxfxx0212302323)()(0 xxxxfxx )4(42344xy 即 3xy40 上页下页铃结束返回首页四、函数的可导性与连续性的关系结论 如果函数yf(x)在点x0处可导 则它在点x0处连续 这是因为应注意的问题:这个结论的逆命题不成立 即函数yf(x)在点x0处连续 但在点x0处不一定可导 00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000
16、 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx 下页上页下页铃结束返回首页连续但不可导的函数例 7 函数3)(xxf在区间(,)内连续 但在点x0处不可导 例12 hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30 例13 函数y|x|在区间()内连续 但在点x0处不可导 这是因为函数在点x0处导数为无穷大 结束上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意
17、义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.)(C)(x)(sin x)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf 区别:)(xf 是函数,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系?)()(00 xfxf？与导函数上页下页铃结束返回首页2.设)(0 xf 存在,则._)()(lim000
18、hxfhxfh3.已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 4.若),(x时,恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导,且0)0(f0k上页下页铃结束返回首页5.设0,0,sin)(xxaxxxf,问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在,并求出.)(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0(f此时)(xf 在),(都存在,)(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x=0 连续.上页下页铃结束返回首页作业作业 P86 6(3),13,17
