1、一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数2.4 由方程所确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页三、相关变化率上页下页铃结束返回首页一、隐函数的导数显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程xy310确定的隐函数为 31 xy 下页上页下页铃结束返回首页提示:例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数 (ey)(xy)(e)(0)即 eyyyxy0 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出 一、
2、隐函数的导数方程中每一项对x求导得 解 从而 yexyy(xe y0)(xy)yxy (ey)e yy 下页上页下页铃结束返回首页 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0 因为当x0时 从原方程得y0 所以 5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得 解法一 由此得 2521146yxy 21|25211|0460 xxyxy 下页上页下页铃结束返回首页 5y4y2y121x60 根据原方程 当x0时 y0 将其代入上述方程得 2y10 从而 y|x005把方程两边分别对x求导数得 解法二 下页 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf
3、(x)在x0处的导数y|x0 上页下页铃结束返回首页 解 例3 例例 3 求椭圆191622yx在)323 ,2(处的切线方程 把椭圆方程的两边分别对x求导 得 所求的切线方程为 从而 yxy169 当 x2 时 43|2xyk )2(43323xy 即)2(43323xy 即03843 yx 当 x2 时 323y 代入上式得所求切线的斜率 323y 代入上式得所求切线的斜率 下页0928yyx 上页下页铃结束返回首页 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例4 例例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 方程两边对x求导 得 0cos211dxdyydxdy 于是 ydxdyc
4、os22 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 下页上页下页铃结束返回首页y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数 设yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得对数求导法)(ln1xfyy 下页上页下页铃结束返回首页 例5 求yx sin x(x0)的导数 xxxxyy1
5、sinlncos1 于是 )1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x )sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx)sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx 下页上页下页铃结束返回首页上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例6 例例 6 求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数 先
6、在两边取对数 得 ln y21ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)41312111(211xxxxyy 于是 )41312111(2xxxxyy 解 首页上页下页铃结束返回首页二、由参数方程所确定的函数的导数 设xj(t)具有反函数tj1(x)且tj1(x)与yy(t)构成复合函数yyj1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdyjy即 )()(ttdxdyjy或dtdxdtdydxdy )()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdyjy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdyjy 设 y 与 x 的函数关系
7、是由参数方程)()(tytxyj确定的 下页上页下页铃结束返回首页若 xj(t)和 yy(t)都可导 则)()(ttdxdyjy 例7 例例 7 求椭圆tbytaxsincos在相应于4 t点处的切线方程 解解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(所求切线的斜率为abdxdyt4 切点的坐标为224 cos0aax 切线方程为)22(22axabby 即 bxay2ab 0 224 cos0aax 224sin0bby 下页
8、上页下页铃结束返回首页 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 x(t)v1 y(t)v2gt 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 22121gttvytvx 速度的水平分量与铅直分量分别为 先求速度的大小 解 22)()(tytxv2221)(gtvv 12)()(tanvgtvtxtydxdya 下页上页下页铃结束返回首页抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtyatan12vt gv 在刚射出(即 t=0)时,倾角为12arctanvva
9、达到最高点的时刻,2gvt 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt ga上页下页铃结束返回首页提示讨论 已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?由 xj(t)()(ttdxdyjy dxdtttdtddxdydxddxyd)()()(22jy)(1)()()()()(2ttttttjjjyjy )()()()()(3tttttjjyjy dxdtttdtddxdydxddxyd)()()(22jy下页上页下页铃结束返回首页的函数yf(x)的二阶导数 例9 例例 9计算由摆线的参数方程)cos1()sin(tayttax所
10、确定 解解)()(txtydxdy)cos1(sin)sin()cos1(tatattata 解 2cotcos1sintttdxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22(t2n n为整数)22)cos1(1)cos1(12sin21tatat)()(txtydxdy)cos1(sin)sin()cos1(tatattata)()(txtydxdy)cos1(sin)sin()cos1(tatattata 2cotcos1sinttt(t2n n 为整数)dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(2222)cos1(1)cos1(12sin21tatat结束上页下页铃
11、结束返回首页三、相关变化率)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率上页下页铃结束返回首页 例10 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时 观察员视线的仰角增加率是多少？500ha解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为a,则atan500h两边对 t 求导a2sectddathdd5001已知,minm140ddth h=500m 时,1tanaaa22tan1sec,2se
12、c2atdda14050012114.0)minrad/(上页下页铃结束返回首页思考题思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:atanx500对 t 求导a2sectddatxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtax500a,m500 x求上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法4.相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式求高阶
13、导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y2.设)(xyy 由方程eyxey确定,)0(y 求.)0(y,求01sin232ytettxy.dd0txy3.设求其反函数的导数.,xexy4.设上页下页铃结束返回首页1.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx上页下页铃结束返回首页2.设)(xyy 由方
14、程eyxey确定,)0(y解解:方程两边对 x 求导,得0yxyyey再求导,得2yey yxey)(02 y当0 x时,1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求.)0(y 上页下页铃结束返回首页,求01sin232ytettxy.dd0txy解解：txdddtdyeytydd0ddtxy3.设方程组两边同时对 t 求导,得26 ttsinteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1(costyyttete2e0t0dtdyy上页下页铃结束返回首页求其反函数的导数.,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe11方法方法21dydxedydxxyxddxe114.设xe11y等式两边同时对 求导y上页下页铃结束返回首页作业作业P112 2;3(4);4(4);8(1)
