1、同济版高等数学高等教育大学教学课件二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(x
2、f的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为依次类推,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(233xa例例1.思考思考:设,)(为任意常数xy?)(nynnxnx)1()2)(1()()(问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 nx)1(,3xaeay 例例2.设求解解:特别有:解解:!)1(n规定 0!=1思考思考:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3.设,)1(lnxy求.)(ny
3、,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,)1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1(!)1(2)1(1x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设,sin xy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数,),(ba.)(nybxbexacos)coss
4、in(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay)sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(fxxx206lim0)0(fxxx2012lim0)(xf但是,12)0(f,24)0(f
5、)0(f 不存在._n2又0 x,24x0 x,12x阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C为常数)()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立.机
6、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.,22xexy 求.)20(y解解:设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 0!2)1()1(nynn)(nyn例例8.设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1(2xx22令,0 x得)0()1()0()1()1(nnynny),2,1(n由,0)0(y得,0)0(y,0)
7、0()4(y,)0()12(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由,1)0(y得)0(!)2()1()0()12(ymymm机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习xy1211)()1(!)1(2nnnxnyxxxy11123,)1(
8、!1)(nxnynn1.如何求下列函数的 n 阶导数?xxy11)1(xxy1)2(3解解:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2312xxy1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1xBxAxx提示提示:令)2(xA原式2x)1(xB原式1x11机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22co
9、ssin3解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)(!nxfn2.(填空题)(1)设,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf)(xf16cos)1(2xxn)()(xfn16cos)1(2xxn提示提示:各项均含因子(x 2)nx)2(!n22!n(2)已知)(xf任意阶可导,且2n时)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当)(xf)()(2xfxf3)(!2xf )(xf)()(3!22xfxf4)(!3xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.试从 yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y
10、13)(yy 同样可求33ddyx(见 P101 题4)作业作业P101 1(9),(12);3;4(2);8(2),(3);9(2),(3)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 解解:设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导.y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf备用题备用题x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin()(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin)(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 谢谢欣赏!
