1、第五章不定积分第五章不定积分1.不定积分的概念不定积分的概念1.原函数与不定积分原函数与不定积分的一个原函数。为那么称均有点使得在该区间内任意一函数函数，如果存在是定义在某个区间内的已知定义)()()()()()(.1xfxFxfxFxxFxf。一个原函数，那么为的如果记作：的不定积分，的全体原函数称为函数定义cxFdxxfxfxFdxxfxfxf)()()()(,)()()(.2)1(11)11ucxudxxuu(*)ln1)2cxdxxcedxexx)3caadxaxxln)4cxxdxcossin)5cxxdxsincos)6cxxdxtansec)72cxxdxcotcsc)82dxx
2、fdxxfdxfdxxf)()(,)()()1cxfxdfcxfdxxf)()(,)()()22.不定积分的简单性质和基本积分表不定积分的简单性质和基本积分表性质性质基本积分表基本积分表dxxgdxxfdxxgxf)()()()()3dxxfkdxxkf)()()4cxxdxxsectansec)9cxxdxxcsccotcsc)10cxdxxarcsin11)112(*)arcsin1)1222caxdxxacxdxxarctan11)132(*)arctan11)1422caxadxxa(*)ln211)1522caxaxadxaxcchxshxdx)16cshxchxdx)17xxxxx
3、xxx1)1(1)(ln()(ln01ln0时，当，时当dxxx1.124例其余(*)待后再推导dxx2sin.32例xdx2tan.2例2.换元积分法换元积分法xdx2cos2.3 求例1.第一类换元积分法第一类换元积分法dxxex22.3 求例dxx)21cos(.2 求例dxax221.4 求例，又称为“凑微分法”称为第一类换元积分法，的变量代换的积分方法这种令则如果定理uxcxFdxxxfcuFduuf)()()()()()(.1dxxa221.5 求例dxxa221.6 求例xdxtan.7 求例xdxcot.8 求例xdxsec.9 求例xdxcsc.10 求例dxxxcos.11
4、 求例dxx3)53(.12求例2.第二类换元积分法第二类换元积分法积分法。换元的积分方法称为第二类利用变量代换)(tx的反函数。为其中，那么如果，单调且连续可导，设定理)()()()()()()(0)()(.211txxtcxdxxfctdtttfttxdxax221.14 求例dxax221.13 求例dxxa22.15 求例dxxx11.162求例dxxx)4(1.176求例dxex11.18 求例 dxex2.19 求例dxxaxx2.21 求例dxxx31.20 求例dxxx322)1(.22 求例3.分部积分法分部积分法两边积分得所以由于vuuvvuuvvuuv)()(dxxuxv
5、xvxudxxvxu)()()()()()(分部积分公式也可写成利用分部积分公式计算函数积分的方法称为分部积分法。(*)vduuvudv公式(*)称为分部积分公式(*)较简单时可用较困难而积分当积分vduudvxdxln.1 求例xdxxcos.4 求例dxexx2.5 求例xdxarcsin.2 求例xdxarctan.3 求例xdxxarctan.7 求例dxx2)(arcsin.8 求例xdxexcos.9求例xdxx ln.63求例一般公式cbxbbxabaebxdxeaxaxsincoscos22cbxbbxabaebxdxeaxaxcossinsin22xdx3sec.10 求例d
6、xax22.11 求例)(sin.13为正整数求例nxdxInndxax22.12 求例)()(1.1422为正整数求例ndxaxJnn4.有理函数的积分有理函数的积分本节将说明任何有理函数的积分必是初等函数在微分学中任意初等函数的导数仍是初等函数。但在积分学中则不同。均不是初等函数。、等，、如一些简单的初等函数，dxedxxxexxxx22sinsin1.有理函数有理函数为真分式。为多项式，其中而)()()()()()()(xPxQxMxPxQxMxR的函数称为有理函数。形如：nnnnmmmmbxbxbxbaxaxaxaxPxNxR 11101110)()()(的积分。主要是求真分式所以有理
7、函数的积分，)()(xPxQ2.部分分式部分分式jiljjllkikkqxpxqxpxqxpxaxaxaxbxP)()()()()()()(22221122102121 且其中jkqpkk,2,1042 nlllkkkji )(22121为待定系数。其中kAAA,21 kkkaxAaxAaxAaxxQ)()()()(221 分分式为真分式时，可如下部当kaxxQ)()()1在复数域内，如果 P(x)为 n 次多项式，则均为待定系数。、其中),2,1(kiBAii 可如下部分分式为真分式时当 )04()()()222qpqpxxxQkkkkkqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxAqpxxxQ
8、)()()()(222222112 化为部分分式。将真分式例33)1(1.1xxx化为部分分式。将真分式例2223)2(2.2xxx化为部分分式。将真分式例222)1(1.3xx3.有理函数的积分有理函数的积分dxaxA)1dxaxAk)()2dxqpxxBAx2)3dxqpxxBAxk)()42caxAdxaxAln这四种类型的积分分别为：任何有理函数的积分都可化为整式和真分式的积分，而真分式的积分通过部分分式后可化为下列四种类型的积分：caxkAdxaxAkk1)(1)1()()4()2()2()2()(22222pqpxpxdApBqpxxqpxxdAdxqpxxApBpxAdxqpxx
9、BAx22)2()2(2qpxxdxApBdxqpxxpxA22)2(22cpqpxpqApBqpxxA42arctan41)2(ln2222kkauduApBqpxxkA)()2()(1(122212dxqpxxBAxk)(2kkpqpxpxdApBqpxxqpxxdA)4()2()2()2()()(22222求得。式后一项积分可由递推公nnauduJ)(22dxxxxxxxI3234123.4 求例dxxxx2243.52求例dxxxdxxxdxxxdxx1111,1,11.63333求例dxxx527)1(.8 利用多种解法计算例dxxxdxxxdxxxdxx1111,1,11.7424
10、2424求例4.可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分22122sec2tan22cos2sin2sinttxxxxx则1)三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式是指三角函数经过有限次四则运算所构成的函数，可简记为 R(sin x,cos x)dxxxR)cos,(sin下面来讨论tx2tan：作万能置换令2222112sin2coscosttxxx212tdtdxdttRtdtttttRdxxxR)(12)11,12()cos,(sin12222因此三角函数有理式的积分是初等函数的有理函数。为其中ttR)(1dxxsin451.1 求例dxxxxcos1sinsin1.2
11、求例dxxxsin1sin1.3 求例dxxbxacossin1.4 求例dxbaxxRn),()1(dttandxabtxtbaxnnn1,则令dttRdttantabtRdxbaxxRnnn)(),(),(11故2)简单无理函数的积分简单无理函数的积分dxdcxbaxxRn),()2(nnnctabdtxtdcxbax则令,dttctabcadndxnn12dttRdxdcxbaxxRn)(),(1故dxxxx11.5 求例123.62xxxdx求例 第五章重点练习题第五章重点练习题dxxx31.1dxxx22)11(.2dxxxcossin1.33计算下列不定积分dxxxsincos1.4dxex11.5)1(.64xxdxdxxarctan.7dxxx2sin2tan1.8dxxxxcos1sin.11dxxxx431.92dxxxx2412.10dxexxxcos1sin1.12dxeexxarctan.14dxxx2arcsin.15dxxxx221arcsin.13
