1、2010年高考数学试题年高考数学试题 函数与导数函数与导数|0 x x|1x x|10 x x|01xx(1)yx xx选择题：1.（全国一1）函数的 定义域为（）AB.CDCstOAstOstOstOBCD2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程S看作时间t的函数，其图像可能是（）A21xe2xe21xe22xe(1)yf xln1yxyx()f x 3.（全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ABCDB11xyx(3 2)，10axy a121224.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则A 2CDBDBC()f
2、x(0)，(1)0f()()0f xfxx(10)(1)，(1)(01)，(1)(1)，(10)(01)，5.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）DA.D1()f xxxyxyxy 6.（全国二3）函数的图像关于（）B 直线D 直线对称A轴对称 对称C 坐标原点对称 C13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，8.（全国二4）若，则（）B BcabcabC C bacbacD Dbcabca A.ab0时是单调函数，则满足的所有x之和为（）BCDA.C 1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f 1(x)x2（x0），则f(4)填空题填空题：22.（上海卷8）设函数f(x
3、)是定义在R上的奇函数，若当x(0,+)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是(1,0)(1,+)3.（上海卷11）方程x2+x10的解可视为函数yx2+x的图像与函数y-1的图像交点的横坐标，若x4+ax40的各个实根x1，x2，xk(k4)所对应的点(xi,0)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是(,6)(6,+);axye(01)，210 xy a 4.（全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 20(1)(1)limxfxfx 2BCAyx1O34561234()f xABCABC，(0 4)(2 0)(6 4)，(0)f f5.（北京卷12）如
4、图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 2 2；（用数字作答）2 12xx2()cosf xxx 2 2，12xx，12xx2212xx12()()f xf x6.（北京卷13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：其中能使恒成立的条件序号是(12)，(3402)，11x 11y 2k11121 5551255kkkkkkxxTTkkyyTT，()T a(2.6)2T(0.2)0T()kkkP xy，7.（北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数a的整数部分，例如按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵
5、树种植点的坐标应为 3,)221()log(1)xf xx8.（安徽卷1313）函数的定义域为 12yxbln0yx x9.（江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b ln21 331fxaxx1,1x f x10.（江苏卷14）对于总有0 成立，则a=_4()yf x1()yfx()yxf x1()yfxx11.（湖南卷13）设函数存在反函数且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 _.(-1,2)3,a,01,33()(1).1axf xaa()f x12.（湖南卷14）已知函数（1）若a0,则的定义域是 ;()f x0,1(2)若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .1249
6、a 23log a 13.（重庆卷13)已知(a0)，则4 414.（浙江卷15）已知t为常数，函数txxy22在区间0，3上的最大值为2，则t=_。1 11ln1.xxyxx，100 xxxyex，15.（辽宁卷13）函数的反函数是_32()1f xxaxxaR()f x()f x2133，1.（全国一19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）（）讨论函数的单调区间；在区间内是减函数，求a的取值范围已知函数（）设函数，32()1f xxaxx2()321fxxax23a()0fx()f xR解：（1）求导：当时，在上递增()f x233aa，223333
7、aaaa ，233aa，即在递增，递减，递增23a()0fx233aax 求得两根为当时，2232333133aaaa23a74a（2），且解得：sin()2cosxf xx()f x0 x()f xax2.（全国二22）（本小题满分12分）（）求的单调区间；，都有，求a的取值范围 设函数（）如果对任何22(2cos)cossin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)xxxxxfxxx222 2 33kxkk Z1cos2x ()0fx解:（）当时，即242 2 33kxkk Z1cos2x ()0fx当时，即()f x222 2 33kk，k Z()f x242 2 33kk，k
8、Z因此在每一个区间是增函数，在每一个区间是减函数()()g xaxf x22cos1()(2cos)xg xax2232cos(2cos)axx211132cos33ax（）令，则13a()0g x故当时，(0)0g0 x()(0)0g xg()f xax又，所以当时，即()cos3h xxa0 arccos3xa，()0h x()h x0 arccos3a，103a()sin3h xxax当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当(0 arccos3)xa，时，()(0)0h xh于是，当(0 arccos3)xa，时，sinsin()2cos3xxf xaxx当0a时，有10222fa因此，
9、a的取值范围是13，即sin3xax22()(1)xbf xx()fx()f x3.（北京卷18）（本小题共13分），求导函数并确定的单调区间已知函数242(1)(2)2(1)()(1)xxbxfxx3222(1)xbx32(1)(1)xbx 解：x(1)，(11)b，1b(1)b，()fx(1)b，1b(11)b，(1)，()fxx()0fx1xb11b 2b()fx令，得当即时，的变化情况如下表：011b 2b()fx当，即时，的变化情况如下表：02b(1)b，(11)b，(1)，2b()f x(1)，所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在()f x(11)b
10、，(1)b，11b 2b 2()1f xx 上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，()f x(1)，(1)，所以函数在上单调递减，上单调递减在4.（四川卷22）（本小题满分14分）2101afxxx 36 1004af16a【解】：（）因为所以因此 f xyb yf x（）求函数（）若直线与函数的图象有3个交点，求b3x 2ln 110f xaxxx是函数的一个极值点。已知（）求a的单调区间；的取值范围。f x 216ln 110,1,f xxxx x 22431xxfxx（）由（）知，1,3 1,13,x 0fx 1,3x 0fx f x 1,1,3,当时，当时，所以的单调增区间是
11、的单调减区间是 f x1,11,33,1x 3x 0fx（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，f x 116ln29f 332ln221f 2161610 1616ln291ff 213211213f ef 所以的极大值为极小值为因此 f x 1,1,1,3,3,yb yfx 31fbf32ln221,16ln29所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，因此，b的取值范围为当且仅当432()2f xxaxxbxRRba,103a ()f x()f x0 x 2,2a 1fx 1,15.（天津卷21）（本小题满分14分），其中（）当时，讨论函数（）若函数仅在处有
12、极值，（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求 b 的取值范围已知函数的单调性；求a 的取值范围；103a 2()(4104)2(21)(2)f xx xxx xx()0fx10 x 212x 32x（）解：当时，令，解得()fx()f x当x变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值x(,0)1(0,)2121(,2)2(2,)()fx()f x，()f x1(0,)2(2,)(,0)1(,2)2所以在内是增函数，内是减函数在29640a 3838a(0)fb成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的a的取值范围是2()(434)fxxxax0 x 24340 xax(
13、)f x0 x 24403xax（）解：显然不是方程为使仅在处有极值，必须的根8 8,3 3 0 x 2,2a 29640a 24340 xax()0fx（）解：由条件，可知，从而恒成立当时，0 x()0fx()f x 1,1(1)f(1)f 当在上的最大值是与两者中的较大者因此函数时，2,2a()1f x 1,1111)1(ff22baba 2,2a 4b (,4 不等式在上恒成立，当且仅当，即在所以，因此满足条件的b的取值范围是上恒成立为使任意的1()(01)lnf xxxxx且()f x12axx(0,1)x6.（安徽卷20）（本小题满分（本小题满分12分）分）（）求函数（）已知对任意成
14、立，求实数a的取值范围。设函数的单调区间；22ln1(),lnxfxxx()0,fx 1xe解解:(1)若 则 x1(0,)e1e1(,1)e(1,)()fx()f x极大值+0-单调增单调减单调减 列表如下(0,1)x12axx1ln2lnaxx01,x1ln2lnaxx (2)在 两边取对数,得 由于所以1()()f xfee(0,1)xln2ae ln2ae 时,成立,当且仅当,即(1)的结果可知,当为使(1)式对所有7.（山东卷21）（本小题满分12分）其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.已知函
15、数1()ln(1),(1)nf xaxx当a0时，f(x)无极值.21()ln(1),(1)f xaxx232(1)().(1)axf xx 所以 （）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1，当n=2时，1，121xa 221xa 123()()(1)a xxxxx（1）当a0时，由f(x)=0得1，此时 f（x）=22(1)(1ln).2afaa极小值为21xa.当x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0,f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，()1 ln(1)h
16、xxx 所以 当x2，+时，单调递增，又h(2)=10所以当x2时，恒有h(x)0,即ln（x-1）x-1命题成立.综上所述，结论成立.1()ln(1).(1)nf xxx1()1ln(1),(1)ng xxxx 1112(1)11(1)nnnxnxxxx（）证法一：因为a=1,所以当n为偶数时，令则 g（x）=1+0（x2）.1()1ln(1)(1)ng xxxx 所以当x2,+时，g(x)单调递增，又 g(2)=0 因此g(2)=0恒成立，所以f(x)x-1成立.()f x1(1)nx当n为奇数时，要证x-1,由于0，1211xxx所以只需证ln(x-1)x-1,令 h(x)=x-1-ln
17、(x-1),则 h（x）=1-0（x2）,1()ln(1).(1)nf xxx证法二：当a=1时，故只需证明1+ln(x-1)x-1.令1(1)nx当x2，时，对任意的正整数n，恒有1()1(1 ln(1)2 ln(1),2,h xxxxxx 12()1,11xh xxx 则()h x2,当x2时，0，故h(x)在上单调递增，即f（x）x-1.因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1)x-1成立.故当x2时，有1ln(1)(1)nxxx-1.CBPOAD8.（江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB=10km，为
18、了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界）且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将y表示成 的函数关系式设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短10coscosAQOA10cosOB（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad)，则故1010tan又OP101010 10tancoscosyOAOBOP，所以20 10sin10cosy04，所求函数关系式为2221
19、01020200 xxx若OP=x(km),则OQ10 x，所以OA=OB=2220200 010yxxxx所求函数关系式为 2210coscos20 10sin10 2sin1coscossiny6（）选择函数模型，y 1204令0 得sin，因为6，所以=0,60y 当时，y是的减函数；所以当min10 10 3y=时，10 33这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。,6 4 0y 时，当y是 的增函数，112212,fxfxfxf xfxfxfx且 f afb,a bab12,p p,a b（）设为两实数，且2ba fx,a b求证：在区间上的单调增区间的长度和为 1
20、13xpfx 222 3 x pfx12,xR p p9.（江苏卷20）若为常数，1f xfx12,p p（）求对所有实数成立的充要条件（用表示）,m nnm（闭区间的长度定义为）12fxfx1232 3xpxp 123log 233xpxp 12pp32log 1fxfx（）恒成立1232xpxplog（*）1fxfx综上所述，对所有实数成立的充要条件是：121212xpxpxpxppp因为12pp32log所以，故只需（*）恒成立1,a p1,p b2ba因为减区间为，增区间为所以单调增区间的长度和为12pp32log1xp f afb,a b1xp（）1如果，则的图象关于直线对称因为，所
21、以区间关于直线 对称 2323log 222log 223,3,x ppxxp bfxxa p 111113,3,x ppxxp bfxxa p12pp32log（1）当时.12pp32log2如果，1,xp b 213log 2102331,ppfxfx当，120,0fxfx 12fxfx因为，所以2,xa p 123log 2102331,ppfxfx当 120,0fxfx 12fxfx因为，所以 1fxfx13x p故=2fxfx23log 23px 故=f afb231log 233pab p 123log 2,bppa 123log 2a bpp 因为，所以所以即123log 22p
22、px21,xp p 12fxfx231log 233x ppx当时，令，则所以时，1231log 2,2ppxp 12fxfx 1f xfx13px1232log 2,2ppxp 12fxfx 2f xfx23log 23x p当时，所以=所以=12312log 22ppbpp123log 2222ppa bb abb f x,a b在区间上的单调增区间的长度和=2323log 222log 223,3,x ppxxp bfxxa p 21pp32log 111113,3,x ppxxp bfxxa p（2）当时.，2,xp b 213log 2102331,ppfxfx当，120,0fxfx
23、 12fxfx因为，所以 2fxfx23log 23x p故=，1,xa p 123log 2102331,ppfxfx 120,0fxfx 12fxfx当因为，所以 1f xfx13px故=f afb231log 233b ppa123log 2abpp因为，所以所以12,xp p 12fxfx231log 233pxx p 123log 22ppx当时，令，则，所以1231log 2,2ppxp 12fxfx 2fxfx23log 23px 1231log 2,2ppxp 12fxfx 1fxfx13x p时，所以=，所以=f x,a b12321log 22ppbpp123log 222
24、2ppabbabb在区间上的单调增区间的长度和=f x,a b2ba综上得在区间上的单调增区间的长度和为a，11811axf xaxxa0 x,18a f x 2 12fx当时，求的单调区间；对任意正数a，证明：10.（江西卷22）（本小题满分14分）已知函数8a 1131xf xx 3121xfxxx解：当时，求得(0,1x 0fx1,)x 0fx时，时，于是当而当()f x(0,11,)即中单调递增，而在中单调递减在0a 0 x 111()1181f xxaax8bax8abx 111111f xxab（2）.对任意给定的由若令，则 ，而 1fx 32()()(1)(1)(1)abxaba
25、xbxxab9()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab1()()1(1)(1)(1)abxabaxbxabxxab，1111xx1111aa1111bb422 224 28abxabxabx6abx（一）、先证；因为，又由 得 111111111111f xxabxab所以 2f x,x a bxab02b（二）、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则5xa7ab5a（）、当，则，所以111 b1121111 5xa因为 1112111f xxab此时181ababx7a b 8xab（）、当，由得,222111114(1)2(1)bbbbbbb，因为 112(1)1bbb 所以 11
26、2(1)1aaa ，同理得 1222 118ababf xabab于是112(1)1aaa ，同理得 1222 118ababf xabab于是，211(1)(1)abababab因为(1)(1)8abababab 只要证 ，即 8(1)(1)abab7ab，也即()2f x 据，此为显然因此得证故由得 a,x 12f x综上所述，对任何正数，皆有2118abababab今证明 ,2.7e（）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）同一年内哪几个月份是枯水期？124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.xttetV tttt 1iti 1,2,12i 水库的蓄水量随时间
27、而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（11.（湖北卷20）.(本小题满分12分)）,21xx已知函数f(x)=ln2(1+x)-1(1)n aenN*n（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.12.（湖南卷21）（本小题满分13分）()f x(I)求函数的单调区间;22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)xxxxxxxfxxxx()f x(1,)解:（）函数的定义域是()2ln(1)2.g xxx2()2(1)ln(1)2,g xxxxx设则()2ln(1)2,h xxx22()2.11xh xxx令则()h x10 x()0,h x当时，在（-1，0）上为增函数，()0,h x()h x(0,)当x0时，在上为减函数()0(0)g xx所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以(1,)10 x()(0)0,g xg()(0)0.g xg，函数g(x)在于是当时，当x0时，上为减函数10 x()0,fx()f x()0,fx()f x(0,)所以，当时，当x0时，在上为减函数.在（-1，0）上为增函数.()f x(0,)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为
