1、22.1.1 二次函数二次函数22.1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质第第22章章 二次函数二次函数1、函数的定义是什么？我们学习过哪些函数？、函数的定义是什么？我们学习过哪些函数？它们的解析式如何表示？它们的解析式如何表示？一、知识回顾一、知识回顾函数的定义：在变化过程中，有两个变量函数的定义：在变化过程中，有两个变量x和和y，当当x每确定一个值时，每确定一个值时，y都有唯一一个值与其对应，都有唯一一个值与其对应，我们称我们称x为自变量，为自变量，y为为x的函数的函数2、一次函数有哪些主要特征？、一次函数有哪些主要特征？一次函数：一次函数：y=kx+b(k0)b=0正比例函数：正比
2、例函数：y=kx (k0)含未知数的代数式为整式；含未知数的代数式为整式；自变量自变量 x的系数的系数k0自变量自变量 x的次数是的次数是1(1)y=2x+1(3)y=-4x(4)y=ax+1(2)其中，其中，y是是x的一次函数有的一次函数有_下列关系式：下列关系式：y=kx+b（k0）(1)、(3)一次函数的一般形式是一次函数的一般形式是_xy5变量之间的关系变量之间的关系函数函数一次函数一次函数概念概念图象和性质图象和性质与相应方程的联系与相应方程的联系实际问题实际问题篮球和水珠篮球和水珠在空中走过一条曲线在空中走过一条曲线.在这条曲线的各在这条曲线的各个位置上，个位置上，篮球（水珠）篮球
3、（水珠）的竖直高度的竖直高度y与与它它距离距离投投出位置（出位置（喷头喷头）的水平距离的水平距离x之间有什么关系？之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用上面问题中变量之间的关系可以用二次二次函数来表示函数来表示.这就是我们今天要学习的内容这就是我们今天要学习的内容.一次投篮过程一次投篮过程广场喷水池喷出的水珠广场喷水池喷出的水珠 正方体的表面积正方体的表面积y与棱长与棱长x的关系式的关系式为为 ，y是是x的函数吗？的函数吗？知识点1y=6x2是是 显然，对于显然，对于x的每一个值，的每一个值，y都有一个对应都有一个对应值，即值，即y是是x的的函数函数，它们的函数关系式为，它们的函数关系
4、式为.y=6x2我们再来看几个问题。我们再来看几个问题。问题问题1 n个球队参加比赛，个球队参加比赛，每两队之间进行每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数一场比赛。比赛的场次数m与球队数与球队数n有什有什么关系？么关系？112mn n（）211-22mnn m是是n的函数吗？的函数吗？即，即，显然，对于显然，对于n的每一个值，的每一个值，m都有一个对都有一个对应值，即应值，即m是是n n的的函数函数问题问题2 某种产品现在的年产量是某种产品现在的年产量是 20 t20 t，计划，计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加增加 x x 倍，那么两年后这
5、种产品的产量倍，那么两年后这种产品的产量 y y 将将随计划所定的随计划所定的x x 的值而确定，的值而确定，y y 与与 x x 之间的关之间的关系应怎样表示？系应怎样表示？分析：分析：这种产品的原产量是这种产品的原产量是20t20t，一，一年后的产量是年后的产量是_t_t，再经过，再经过一年后的产量是一年后的产量是_t t，即两年后的产量，即两年后的产量为为_._.20(1+x)20(1+x)()(1+x)y=20(1+(1+x)2即：即：式表示了两年后的产量式表示了两年后的产量 y y 与计划增产的与计划增产的倍数倍数 x x 之间的关系，对于之间的关系，对于 x x 的每一个值，的每一
6、个值，y y 都都有唯一的值与之对应，即有唯一的值与之对应，即 y y 是是 x x 的函数的函数 上述三个函数都是用自变量的二次式表示的。上述三个函数都是用自变量的二次式表示的。一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c（a，b，c为常数，为常数，a0）的函数，叫做的函数，叫做二次函数二次函数。其中。其中x是自变量，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。常数项。二次项二次项一次项一次项常数项常数项 函数函数y=6x2,y=20 x2+40 x+20,有什么共同点有什么共同点?21122mnn（1）a,b,c 为常数，且
7、为常数，且a 0，但，但b、c可以取可以取0（2）各项均为整式）各项均为整式.（3）自变量的最高次数是）自变量的最高次数是2，取值范围是全体实数，取值范围是全体实数.注意：注意：2222224222221 211111()()=()yxyxxxyxxyxxxxy x xyx=下列函数中是二次函数的有下列函数中是二次函数的有 。a=0最高次数是最高次数是4总结：判断一个函数是否是二次函数步骤总结：判断一个函数是否是二次函数步骤（1）、）、整理整理并并判断右边含自变量的代数式是否是判断右边含自变量的代数式是否是整式整式；（3）、判断）、判断二次项系数二次项系数是否是否不等于不等于.（2 2）、）、
8、判断判断自变量自变量的的最高次数最高次数是否是是否是；函数解析式函数解析式二次项系数二次项系数a一次项系数一次项系数b常数项常数项 c00242158112130练习练习1、填表：、填表：二次函数二次函数 ya x +b x+c 中：中：a0 0，但，但 b、c可以为可以为0 0.112582xxyxxy132122422xxy2xy 2111()ayaxa是是二二次次函函数数，求求常常数数 的的值值。解：依题意，得解：依题意，得1210aa解得解得a=-1.思考：当思考：当a为何值时，该函数是正比例函数？为何值时，该函数是正比例函数？解：依题意，得解：依题意，得0111aa解得解得a=0练习
9、：若若 （1）m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？（2）m取什么值时，此函数是一次函数？取什么值时，此函数是一次函数？3)1(122 mmxmy解：解：(1)依题意，得依题意，得012122mmm解得解得m=-3.(2)依题意，得依题意，得011122mmm31m 一辆汽车的行驶距离一辆汽车的行驶距离s(s(单位：单位：m)m)关于行驶时关于行驶时间间t t（单位：（单位：s s）的函数解析式是）的函数解析式是 ，经过经过12s12s汽车行驶了多远？行驶汽车行驶了多远？行驶380m380m需要多少时需要多少时间？间？2219tts例例2 用总长为用总长为 60 m 6
10、0 m 的篱笆围成矩形场的篱笆围成矩形场地，场地面积地，场地面积 S S(m(m)与矩形一边长与矩形一边长a a(m)(m)之间的关系是什么？是哪种函数关系？之间的关系是什么？是哪种函数关系？并求出自变量的取值范围？并求出自变量的取值范围？解：解：S=a(-a)=a(30(30 a)=a+3030 a 自变量的取值范围：自变量的取值范围：0a30是二次函数关系式。是二次函数关系式。自变量的取自变量的取值范围应符值范围应符合实际意义合实际意义知识点2根据实际问题建立二次函数模型的一般步根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：骤：仔细仔细审题审题，分析数量之间的关系，将文，分析数量之间的关系，将文
11、字语言转化为符号语言；字语言转化为符号语言；根据实际问题中的等量关系，根据实际问题中的等量关系，列列二次函二次函数关系式，并数关系式，并化化成成一般形式一般形式；联系实际，确联系实际，确定自变量定自变量的的取值范围取值范围。1.1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S S 与半径与半径 r r之间的关系式之间的关系式.rr 2.2.矩形绿地的长、宽各增加矩形绿地的长、宽各增加 x x m m，写出扩充后，写出扩充后的绿地的面积的绿地的面积 y y 与与 x x的关系式的关系式.20 m20 mx m m30 m30 mx m m（r0）（x0）提
12、高练习提高练习如图，在如图，在ABC中，中，B=90，AB=12，BC=24，动点动点P从点从点A开始沿边开始沿边AB向终点向终点B以每秒以每秒2个单位长个单位长度的速度移动，动点度的速度移动，动点Q从点从点B开始沿边开始沿边BC以每秒以每秒4个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点C移动，如果点移动，如果点P、Q分别分别从点从点A、B同时出发，写出同时出发，写出PBQ的面积的面积S与出发时与出发时间间t（s）的函数关系式及）的函数关系式及t的取值范围的取值范围.解：依题意，得解：依题意，得AP=2t,BQ=4t.AB=12,PB=12-2t,t的取值范围为的取值范围为0t6.211S=PB BQ=(12-2t)4t-4t+24t.22
