1、 二次函数 二次函数y=ax2的图象和性质九年级-上册学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax的图象，概括出图象的特点.3.掌握形如y=ax的二次函数图象的性质，并会应用.导入新课导入新课情境引入二次函数y=ax2的图象x-3-2-10123y=x2 2例1 画出二次函数y=x2的图象.94101941.列表：在y=x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：例题学习24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2 的图象-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图
2、象如下：xy 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.练一练：画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx-3-2-10123y=-x2-9-4-10-1-4-9 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.yx2是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点y说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.oxyy=-x2 1.y-x2是一条抛物线;2.图象
3、开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点在几何画板中观看a的大小变化，抛物线的变化情况a0a01.顶点都在原点;3.当a0时，开口向上；当a0时，开口向下二次函数y=ax2 的图象性质：知识要点2.图像关于y轴对称;观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)2yx2yax对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而增大；当x0
4、时，y随x取值的增大而减小.知识要点(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2yx 2yax 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而减小；当x0时，a越大，开口越小.练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象221,22yx yxx 4 3 2101234x 21.510.500.511.52 -8 -4.5-2 -0.50 -8 -4.5 -2-0.5-8-4.52 0.5084.520.522yx 212yx22246448212yx 22yx 2yx 当a0a0 m2+m=2 解得解得:m1=2,m2=1 由得由
5、得:m1 m=1 此时此时,二次函数为二次函数为:y=2x2.典例精析例例2：已知二次函数y=x2（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？典例精析（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于
6、y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？当x=2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=x2=4，所以B点在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=x2=4，所以D点在二次函数y=x2的图象上已知 是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k=.24(2)kkykx分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，24(2)kkykx24220kkk解得 k=22练一练
7、二次函数yax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解方法总结当堂练习当堂练习 1.函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 .2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 .向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO
8、 3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .xyk14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：23xy 23xy231xy 231xy开口方向 对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O 5.若抛物线y=ax2（a 0），），过点（-1，2）.（1）则a的值是 ；（2）对称轴是 ，开口 .（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值.抛物线在x轴的 方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x2 6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围解：二次函数y=x2，当x=
9、0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m07.已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积解：由题意得 解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.SACO CO48，SBOC 412，SABOSACOSBOC10.234,yxyx4,1,16,1,xxyy 或1212课堂小结课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描 点 法以对称轴为中心 对 称 取 点图象抛 物 线轴 对 称 图 形性质重点关注4 个 方 面开口方向及大小对称轴顶 点 坐 标增减性
