1、 第 1 页 共 17 页 江苏省南通市江苏省南通市 2020 届高三年级二轮复习届高三年级二轮复习第第 1 次模拟次模拟卷卷 数数 学学 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1已知集合 2 2,4,46Aaa，2, Ba，ABB，则实数 a 的取值的集合为_ 2若复数z满足2zi z（i为虚数单位） ，则z _ 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 1500，1200，900，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取 90 人，则应从高二年级抽取的学生人数为_ 4如图所示的程序框图，输出的结果是_ 5己知 (
2、)f x是R上的奇函数，当 0x 时， 2 2 ( )f xx x ，则( 1)f _ 6等比数列 n a中， 123 2aaa， 456 4aaa，则 101112 aaa_ 7若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为 1 S， 2 S，则 1 2 S S 的值是_ 8 如图， 在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点， 直线 2 b y 与椭圆交于,B C两点， 且 0 90BFC，则该椭圆的离心率是_ （第 4 题） （第 8 题） 第 2 页 共 17 页 9已知 2 b 是4a与4的等差中项，则 1 16 2 a
3、b 的最小值为_ 10若命题“xR ，使得不等式 2 10mxmx ”是真命题，则实数 m 的取值范围是_ 11已知圆 22 :1O xy，直线: 20l xy ，动点P为l上一点，圆O存在一点Q，使得QPO30 ，则点 P横坐标的取值范围是_ 12已知, a b是单位向量，且夹角为 60 ， 3c ，则 11 22 acbc rrrr 的取值范围是_ 13已知奇函数 f x满足1 1fxfx ，且当10x 时， 2ax f xee，若 2 3 (ln3)20fe， 则实数a的值为_ 14已知函数 2 2 e 2 x k f xxxkx（k 是常数，e 是自然对数的底数）在区间0 2，内存在两
4、个极值 点，则实数 k 的取值范围是_ 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题 纸的指定区域内） 15 （本小题满分 14 分） 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx （1）求 f x的最小正周期和单调递增区间； （2）若关于x的方程 2f xm在x, 4 2 上有解，求实数m的取值范围 第 3 页 共 17 页 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA 底面ABCD，点E是PD的中点 （1）求证：/ /PB平面EAC； （2）求证：CDAE 17 （本小题满分 1
5、4 分） 某地区现有一个直角梯形水产养殖区 ABCD，ABC=90 ，ABCD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在 点 P 处有一灯塔（如图） ，且点 P 到 BC，CD 的距离都是 1200m，现拟将养殖区 ACD 分成两块，经过灯塔 P 增加 一道分隔网 EF，在 AEF 内试验养殖一种新的水产品， 当 AEF 的面积最小时， 对原有水产品养殖的影响最小设 AE=d （1）若 P 是 EF 的中点，求 d 的值； （2）求对原有水产品养殖的影响最小时的 d 的值，并求 AEF 面积的最小值 第 4 页 共 17 页 18 （本小题满分 16 分） 如图，已知椭圆 22
6、1 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 (2,0)P，且离心率 2 2 e ，圆 2 C以椭圆 1 C的短轴为直 径过点 P 作互相垂直的直线 1 l， 2 l，且直线 1 l交椭圆 C 于另一点 D，直线 2 l交圆 2 C于 A，B 两点 （1）求椭圆 1 C和圆 2 C的标准方程； （2）求ABD面积的最大值 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 1 ( )ln(1)() 22 x f xaxxa xaaR （1）当1a 时，求函数 f x在1x 处的切线方程； （2）当0a 时，证明：函数 f x只有一个零点； （3）若函数 f x的极大值等于0，求实数a的取值范围
7、第 5 页 共 17 页 20 （本小题满分 16 分） 设数列 n a 的通项公式为0 n apnq nNP （，）数列 n b定义如下：对于正整数 m mb，是使得不等 式 n am成立的所有n中的最小值 （1）若 1 2 p ， 1 3 q ，求 3 b； （2）若2p ，1q ，求数列 m b的前2m项和公式； （3）是否存在p和q，使得32 m bmmN ？如果存在，请求出p和q的取值范围；如果不存在，请说 明理由 第 6 页 共 17 页 数学附加题 21 【选做题选做题】 （在（在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20
8、分分请请把答案写在答题纸的指定区域内）把答案写在答题纸的指定区域内） A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 M 2 1 a b ，其中 a，b 均为实数，若点 A（3，1）在矩阵 M 的变换作用下得到点 B（3，5） ，求 矩阵 M 的特征值 B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知点2 2, 2 P ，圆C的方程为2 2cos，求过点P且与圆C相切的直线的极坐标 方程 第 7 页 共 17 页 【必做题必做题】 （第（第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20 分分请请把答案写在答题纸的指定区域内）把答案写在答题纸的
9、指定区域内） 22 （本小题满分 10 分） 某同学在上学路上要经过, ,A B C三个带有红绿灯的路口，已知他在, ,A B C三个路口遇到红灯的概率依次是 1 1 3 3 4 4 ，遇到红灯时停留的时间依次是 40 秒、20 秒、80 秒，且在各个路口是否遇到红灯是相互独立的 （1）求这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件X，求X的概率分布与期望()E X 23 （本小题满分 10 分） 设集合,A B是非空集合M的两个不同子集 （1）若 12 ,Ma a，且A是B的子集，求所有有序集合对,A B的个数； （2）若
10、123 ,., n Ma a aa，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对,A B的个数 第 8 页 共 17 页 参考答案及评分标准 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 13,4 22 330 415 5 1 616 7 51 4 8 6 3 9 1 2 100,4 110,2 12 1 11 , 4 4 131 14 2 1eee， 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题 纸的指定区域内） 15 （本小题满分 14 分） （1） 2 2
11、3cos2 4 f xsinxx 1 cos23cos2 2 xx 1 sin23cos2xx 2sin 21 3 x ，4 分 最小正周期T，6 分 函数的单调递增区间满足：222 232 kxk ， 解得 f x的单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ 8 分 （2）因为, 4 2 x ，所以 2 2 363 x ， ， 第 9 页 共 17 页 所以 1 sin 21 32 x ， 所以 f x的值域为2,311 分 而 2f xm，所以22,3m ，即0,1m14 分 16 （本小题满分 14 分） （1）连接 BD，交 AC 于 O 点，连接 EO，作图如下： 因为底面ABCD为
12、正方形，所以O为 BD 中点， 因为 E、0 分别为 PD、BD 中点，所以 EO/PB， 又EO平面EAC，PB 平面EAC， 所以PB/平面EAC7 分 （2）因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD； 因为PA 平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD； 又PA 平面PAD，AD 平面PAD，且PAADA， 结合可得CD 平面PAD， 又AE 平面 PAD，所以CDAE14 分 17 （本小题满分 14 分） （1）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 则 C（800，1600） ，B（800，0） ，P（400，400） ，D（3200，1600） A
13、C 所在直线方程为 y=2x，AD 所在直线方程为 y= 1 2 x 设 E（2m，m） ，F（n，2n） ，m0，n0 P 是 EF 的中点， 2800 2800 mn mn ，解得 480 160 m n ， 第 10 页 共 17 页 E（960，480） ，2 分 d=|AE|= 22 960480 =480 55 分 （2）EF 经过点 P， kPE=kPF， 即 400 2400 m m = 2400 400 n n ，化简得 80m+240n=mn8 分 由基本不等式得 mn=80m+240n160 3mn，即 mn76800，10 分 当且仅当 m=3n=480 时等号成立11
14、 分 kACkAD=-1， ACAD， S AEF= 1 2 AEAF= 1 5 2 m 5n= 5 2 mn 5 2 76800=192000，12 分 此时 E（960，480） ，d=AE=480 514 分 故对原有水产品养殖的影响最小时，d=480 5 AEF 面积的最小值为 192000 m 2 18 （本小题满分 16 分） （1）由题意得 2 2,2,422 2 c acb a ， 椭圆 1 C的方程为 22 1 42 xy ，圆 2 C的方程为 22 2xy6 分 （2）设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 00 ,D xy， 由题意直线AB的斜率存在且不为0， 设A
15、B的方程为 (2)yk x ，PD的方程 1 (2)yx k ， 第 11 页 共 17 页 则圆心到直线AB的距离为 2 |2 | 1 k d k 8 分 2 |2 | 2 1 k d k ，( 1,0)(0,1)k ， 所以 22 22 22 422 | 22 22 11 kk ABrd kk ，10 分 联立方程 22 22 24 240 1 (2) xy kyky yx k ， 所以 22 22 0 2 24 4 240, 1 2(2) xy k kykyy kyx k ， 2 2 |4 | |1 2 k PDk k ， 所以 22 2 222 1122|4 | 1 |214 2 22
16、122 PBD kkkk SABPDk kkk ，12 分 设 2 2,(2,3)tkt， 则 2 22 (2)(3)6515662 3 4 24 214 264 2 12144123 PBD tt S tttt 当且仅当 15 12t ，即 12 5 t ， 10 5 k 时取等号16 分 19 （本小题满分 16 分） （1）当1a 时， 2 1 ln 22 x f xxx， ln1fxxx ， 10 f ， 10f， 所以 f x在1x 处的切线方程为0y 3 分 （2） ln10fxaxxx ，令 ln1g xaxx， 1 aax gx xx ， 当0a 时， 0gx ， g x在0,
17、上单调递减，又 10g， 第 12 页 共 17 页 所以当0,1x时， 0fx ， f x单调递增， 当1,x时， 0fx ， f x单调递减， 所以 10f xf，所以 f x只有一个零点1x 8 分 （3）当0a 时，由（2）知， f x的极大值为 10f，符合题意；9 分 当0a 时，令 0gx，得xa， 当0,xa时， 0gx ， g x单调递增， 当,xa时， 0gx ， g x单调递减，注意到 10g， （i）当01a时， 10g ag，又 111 110 aaa g eee 所以存在 1 0,xa，使得 1 0g x， 当 1 0,xx时， 0g xfx， f x单调递减， 当
18、 1,1 xx时， 0g xfx， f x单调递增， 当1,x时， 0g xfx ， f x单调递减， 所以 f x的极大值为 10f，符合题意；11 分 （ii）当1a 时， 10g xfxg 恒成立， f x在0,上单调递减，无极值，不合题意； 13 分 （iii）当1a 时， 10g ag，又 2 1 aa g eae， 令 2 1 1 x x xx e ， 2 1 0 x x x e ， x在 1,上单调递减， 第 13 页 共 17 页 所以 2 11x e ，所以 2 10 aa g eae ， 存在 2 ,xa，使得 22 0g xfx， 当0,1x时， 0fx ， f x单调递
19、减， 当 2 1,xx时， 0fx， f x单调递增， 当 2, xx时， 0fx， f x单调递减， 所以 f x的极大值为 2 f x，且 2 10f xf，不合题意 综上可知，a的取值范围是,116 分 20 （本小题满分 16 分） （1）由题意，得 11 23 n an，解 11 3 23 n，得 20 3 n 11 3 23 n成立的所有 n 中的最小整数为 7，即 3 7b 3 分 （2）由题意，得21 n an，对于正整数，由 n am，得 1 2 m n 根据 m b的定义可知：当21mk时， * m bk kN；当 2mk时， * 1 m bkkN 1221321242mm
20、m bbbbbbbbb 1232341mm 2 2 2 13 2 mm m mm m 8 分 （3）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式pn qm 及0p 得 mq n p 10 分 第 14 页 共 17 页 32() m bmmN，根据 m b的定义可知，对于任意的正整数 m 都有3132 mq mm p ， 即对任意的正整数 m 都成立 当310p （或310p ）时，得 31 pq m p （或 2 31 pq m p ） ，这与上述结论矛盾 12 分 当310p ，即 1 3 p 时，得 21 0 33 qq ，解得 21 33 q 14 分 存在 p 和 q，使得32() m
21、bmmN；p 和 q 的取值范围分别是 1 3 p ， 21 33 q 16 分 数学附加题 21 【选做题】 （在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内） A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 由题意得 2 1 a b 3 1 3 5 ，即 63 315 a b ，解得 3 2 a b M 23 21 4 分 令 2160f，解得1 或4 M的特征值为1和410 分 B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，1 分 第 15 页 共 17 页 则
22、点2 2, 2 P 的直角坐标为0,2 2P， 3 分 圆C的方程2 2cos的直角坐标方程为 22 2 2xyx，即 2 2 22xy，5 分 当过点P的直线斜率不存在时，即直线方程为0x 时，满足与圆C相切； 6 分 当过点P且与圆C相切的直线斜率存在时，设斜率为k， 则直线方程为2 2ykx，即2 20kxy， 因为直线与圆C相切，所以 2 22 2 2 1 k k ，解得 3 4 k ， 所以此时所求的直线方程为348 20xy，8 分 所以所求直线的极坐标方程为 2 R 和3 cos4 sin8 2010 分 【必做题】 （第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写
23、在答题纸的指定区域内） 22 （本小题满分 10 分） （1）设这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件A， 1133 11 3448 P A 答：这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率为 3 8 2 分 （2）X的所有可能取值为 0，40，20，80，60，100，120，140 X的分布列是： 1131 0111 3448 P X ； 1131 4011 34416 P X ； 1131 2011 34424 P X ； 1133 8011 3448 P X ； 第 16 页 共 17 页 1131 601 34448 P X ； 1131 1001 3448 P X
24、 ； 1133 1201 34416 P X ； 1131 140 34416 P8 分 所以 1131131235 40208060100120140= 1624848816163 E X 10 分 23 （本小题满分 10 分） （1）若集合 B 含有 2 个元素，即 12 ,Ba a， 则 A， 12 ,aa，则(A，B)的个数为 3； 若集合 B 含有 1 个元素，则 B 有 1 2 C种，不妨设 1 Ba，则 A， 此时(A，B)的个数为 1 2 C 12 综上，(A，B)的个数为 54 分 （2）集合 M 有2n子集，又集合 A，B 是非空集合 M 的两个不同子集， 则不同的有序集
25、合对(A，B)的个数为221 nn ， 若 A 的元素个数与 B 的元素个数一样多， 则不同的有序集合对(A，B)的个数为 001122 111.1 nn nnnnnnnn CCCCCCCC 2222 012012 nn nnnnnnnn CCCCCCCC， 7 分 又 11 nn xx的展开式中 n x的系数为 2222 012 . n nnnn CCCC， 且 2 111 nnn xxx的展开式中 n x的系数为 2 n n C， 2222 012 2 . nn nnnnn CCCCC， 第 17 页 共 17 页 012 .2 nn nnnn CCCC， 当 A 的元素个数与 B 的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为 2 2 nn n C， 有序集合对(A，B)的个数为 2 2 2 2212 2 22 nnnn nn n n C C 10 分
