1、猜押练一猜押练一 致胜高考必须掌握的致胜高考必须掌握的 2020 个热点个热点 热点练热点练 11 11 立体几何（小题）立体几何（小题） 考向考向 1 1 空间几何体空间几何体 1.A 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体 ABCD- A1B1C1D1中, 平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的,所以平面AB1D1与正方体的每条棱 所在的直线所成角都是相等的, 同理平面 C1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,要求截 面面积最大,则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的,且过棱的中点的正 六边形,且边长为,所以其面积为 S
2、=6=. 2.A 在正ABC 中,D 为 BC 中点,则有 AD=AB=, = 2=.又因为平面 BB1C1C平面 ABC,ADBC,AD 平面 ABC, 所以 AD平面 BB1C1C,即 AD 为三棱锥 A-B1DC1底面上的高.所以= AD= =1. 3.【解析】由三视图知,该几何体是上部为圆锥,中部为圆柱体,下部为圆锥体的 组合体,根据图中数据,计算该陀螺的表面积为 S= 42+14+4 2 -2 2+ 8 =. 答案:(8+4+16) 4.【解析】因为长方体 ABCD-A1B1C1D1的体积为 120, 所以 ABBCCC1=120, 因为 E 为 CC1的中点,所以 CE= CC1,
3、 由长方体的性质知 CC1底面 ABCD, 所以 CE 是三棱锥 E-BCD 的底面 BCD 上的高, 所以三棱锥 E-BCD 的体积 V= CDBCCE= ABBC CC1=120=10. 答案:10 考向考向 2 2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 1.C 结合三视图,还原直观图,得到: 图中 O-ABC 即为原图,A 选项错误,如 AB 和 OC 不垂直;B 选项四个面都是直角三 角形,错误;C 选项棱和面互相垂直的有 AO 与平面 OCB,BC 和平面 ABO,故正确;D 选项面面垂直的有 2 对,故错误. 2.C 如图所示,补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,则所求角为
4、BC1D, 因为 BC1=, BD=,C1D=AB1=, 所以 cosBC1D=. 3.D 取 BC 的中点 H,连接 EH,AH,EHA=90,设 AB=2, 则 BH=HE=1,AH=,所以 AE=, 连接 ED,ED=,因为 BCAD, 所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为EAD,在EAD 中 cosEAD=. 4.【解析】由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由 ACa,AC b,又 AC圆锥底面,如图所示,可设 DB=a,连接 DE,则 DEBD,可设 DE=b,连接 AD,在等腰ABD 中,设 AC=1,则 AB=AD=. 当直线 AB 与 a 成 60
5、角时,ABD=60,故 BD=, 又在 RtBDE 中,BE=2,所以 DE=, 过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,所以ABF 为等边三角形,所以ABF=60,即 AB 与 b 成 60角,正确,错误. 由最小角定理可知正确;很明显,可以满足平面 ABC直线 a,直线 AB 与 a 所成 的最大角为 90,错误. 正确的说法为. 答案: 5.【解析】过 B 作 BFAC,交 AC 于 F,连接 EF,根据 BEAC,可得 AC平面 BEF, 故 ACEF,由于 PAAC,所以 EFPA.由于 AD=CD,所以DAC=BAC= .在直角三 角形 ABF 中,
6、AB=1,BAF= ,所以 AF=AB=,而 AC=2,故 AFFC=13.根据 前面证得 EFPA,可得 PEEC=AFFC=13. 答案: 6.【解析】如图,连接 DN,取 DN 中点 P,连接 PM,PC,则可知PMC 即为异面直线 AN,CM 所成角(或其补角), 易得 PM= AN=,PC=,CM=2, 所以 cosPMC= ,即异面直线 AN,CM 所成角的余弦值为 . 答案: 考向考向 3 3 球与几何体的切接问题球与几何体的切接问题 1.B 设等边三角形 ABC 的边长为 x,则 x 2sin 60=9 ,得 x=6. 设ABC 的外接圆半径为 r,则 2r=,解得 r=2,所
7、以球心到ABC 所在平 面的距离 d=2,则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1=d+4=6,所以三棱 锥 D-ABC 体积的最大值 Vmax= SABC6= 96=18. 2.A 根据几何体的三视图转换为几何体为:下底面为腰长为的等腰直角三角 形,高为 2 的直三棱柱,故外接球的半径 R 满足(2R) 2=( ) 2+( ) 2+22, 解得:R=,所以:V= () 3= . 3.C 因为底面ABC 中,AB=AC=2,BC=6, 所以 cosBAC=- ,所以 sinBAC=, 所以ABC 的外接圆半径 r= =2,PA面 ABC,所以三棱锥外接球的半径 R 2=r2+ =(2) 2+
8、22=16, 所以三棱锥 P-ABC 外接球的表面积 S=4R 2=64. 4.A 如图,设正三棱柱底面边长为 a, 所以 O2C2=a,因为 OC2=2,所以 O2O=.所以 A1A2=O1O2=2OO2=2, 所以三棱锥侧面积为 S=3a2=6 =12. 当且仅当 a 2=12-a2,a= 时取“=”号. 5.【解析】如图,CB=5,BE=4,可得 CE=3,取 CB 中点 D, 作 DOCB 交 CE 延长线于 O,则 O 为ABC 的外心,也即圆锥外接球的球心, 设 OE=x,则 OC=3+x,OB=,所以(3+x) 2=x2+16,得 x= , 所以外接球半径 R=3+ =,所以圆锥外接球的表面积 S=4=. 答案: 6. 【解析】 由题意可知三棱锥的四个面全等,且每一个面的面积均为 64=12. 设三棱锥的内切球的半径为 r,则三棱锥的体积 V= SABCr4=16r, 取 CD 的中点 O,连接 AO,BO,则 CD平面 AOB, 所以 AO=BO=4,SAOB= 6=3, 所以 VA-BCD=2VC-AOB=2 33=6, 所以 16r=6,解得 r=.所以内切球的表面积为 S=4r 2= . 答案:
