1、猜押练一猜押练一 致胜高考必须掌握的致胜高考必须掌握的 2020 个热点个热点 热点练热点练 2020 函数与导数（解答题）函数与导数（解答题） 考向考向 1 1 导数与函数的单调性、极值问题导数与函数的单调性、极值问题 1.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+). f(x)=2x-3a+=. 当 a0 时,f(x)0 恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区 间; 当 a0 时,由 f(x)0 解得 x(a,+), 由 f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增, 所以 f(x)f(e 2)=e4-3ae2+2a20 恒成立,符合题意. 当 a0 时,由(1)知,
2、f(x)在和(a,+)上单调递增,在上单调递 减. (i)若00 时,f(x)的单调增区间为(0,2,单调减区间为2,+); 当 a0,得 x,所以函数 f(x)在上单调递增; 令 f(x)0,解得 0-1 时,h(x)=0, h(x)=,令 h(x)0,解得-10,在 x(0,1)上, 因为 h(x)= a(x 2-2x)+x-ln x, 因为-1- a+-ln=0, 所以 h(x)在区间(0,1),(1,+)上各有一个零点,故 a2 符合题意; 当 a=-1 时,因为函数 h(x)在区间(0,+)上递减,所以函数 h(x)至多一个零点, 不合题意; 当-10, 则 v(x)=4=4, 令
3、v(x)=0,解得 x=. 当 x(0,)时,v(x)0,所以 v(x)在(0,)上单调递增; 当 x(,+)时,v(x)0. 当 x0 时,g(x)=3x 2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10 时,令 h(x)=x 3-3x2+4,则 g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h (x)=3x 2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减;在(2,+)单调递增.所以g(x)h(x) h(2)=0.所以 g(x)=0 在(0,+)没有实根. 综上,对于任意的 k-x 2-4,只需证(x-1)(x2+2)ex-x2+2x-4, 设 g(x)=-x 2+2x-4=-
4、(x-1)2-3, h(x)=(x-1)(x 2+2)ex,则 h (x)=x 2ex(x+2), 令 h(x)0 得 x-2,令 h(x)-x2-4. 2.【解析】设 f(x)=x 3+ax2+bx+c. (1)当 a=b=4 时,方程 x 3+4x2+4x+c=0 有三个不同实根, 等价于函数 f(x)=x 3+4x2+4x+c=0 有三个不同零点, f(x)=3x 2+8x+4,令 f (x)=0 得 x1=-2 或 x2=- , f(x)与 f(x)在区间(-,+)上情况如下: x (-,-2) -2 - f(x) + 0 - 0 + f(x) c c- 所以,当 c0 时且 c-0,
5、f(x)在区间(-,x0)上单调递增; 当 x(x0,+)时,f(x)0,f(x)在区间(x0,+)上单调递增. 所以 f(x)不可能有三个不同零点. 综上所述,若函数 f(x)有三个不同零点,则必有=4a 2-12b0. 故 a 2-3b0 是 f(x)有三个不同零点的必要条件. 当 a=b=4,c=0 时,a 2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x =x(x+2) 2只有两个不同零点, 所以 a 2-3b0 不是 f(x)有三个不同零点的充分条件. 因此 a 2-3b0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 即 a 2-3b0 是方程 x3+ax2+bx+c=0 有三个不同实根的必要而不充分条件.
