1、南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷 命题人:高三数学备课组 班级_ 学号_ 姓名_ 得分_ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集为，集合，集合，则 （ B ） A B C D2已知（是虚数单位）的共轭复数为，则的虚部为 （ B ） A B C D3函数的图象大致为（ A ） A B C D4已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ C ）A128 B127 C126 D1255给出下列命题： 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 如果两条平行直线中的一条垂直于直线m，那
2、么另一条直线也与直线m垂直； 如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直以上命题中真命题的序号是 （ D ）A B C D6已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为若，则 （ D ）A2 B4 C6 D87如图，在正三棱台中，则正三棱台的外接球体积为 （B） A B C D8已知正实数满足，则的最大值为 （ D ） A B1 C2 D9二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合
3、题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分9设都是实数，下列说法正确的是 （ BC ）A是的充要条件 B是的充分不必要条件 C中，角对应边分别是，则是的充要条件 D是的必要不充分条件10已知是定义在上的奇函数，满足，当时，则下列结论正确的有 （ ABD ）A函数的图象关于直线对称 B函数是周期函数 C函数在上单调递增 D函数有最小值11已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点则下列结论正确的有 （ ACD ）A椭圆的离心率为 B椭圆的长轴长为2 C若点是线段的中点，则的斜率为 D的面积的最大值为12已知函数，则下列结论正确的有 （ BCD ）A
4、当时，有2个零点 B当时，恒成立 C当时，是的极值点D若，是关于的方程的2个不等实数根，则三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上13已知向量，若，则_14已知函数的定义域为，当时，且函数关于点对称，则满足的的取值范围是_15对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是_ 16已知，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为1的直线与双曲线的右支交于，两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为_ 四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知等差数列与正项等比数列，满足，（1）求数列和的通项公式；（2）在，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解若_，求数列的前项和（注：若多选，以选评分）解：设等差数列公差为，等比数列公比为，（1）由，将代入可解得，（舍），所以，数列的通项公式为，2分的通项公式为 4分 （2）选， 利用累加法，可得数列的前项和为 10分选，两式相减，得，数列的前项和为 10分选，利用累加法，可得数列的前项和为 10分18(本小题满分12分)点为边上一点，满足，记，（1）当，且时，求的值；（2）若，求的面积的最大值解：（1）设，当，所以，因为，
6、所以，即，所以，所以，即 5分（2）在中，由，得，由正弦定理，得，又，所以，则的面积，因为，所以， 9分因为，所以，所以当，即时，S有最大值，由的面积等于，11分 所以的面积的最大值为12分19(本小题满分12分)如图，在等腰梯形中，点为线段的中点，将三角形沿着折起到三角形位置，为的中点（1）求证：平面平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值 证明：（1）在等腰梯形中，因为，所以，连结BE，因为点为线段的中点，所以，所以四边形BCDE为平行四边形，又因为，所以四边形BCDE为菱形，2分连结BD，则BD与CE相互平分且垂直，故BD与CE交于点M，且BMCE，PMCE，又因为BMPM=M，所以，
7、又因为平面，所以平面平面5分（2）因为平面平面，且PMCE，且，平面平面，所以，又，所以，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即 令，则，所以是平面的一个法向量7分 又因为平面在坐标平面内，所以是平面的一个法向量 所以， 10分 设二面角的平面角为，则，即二面角的余弦值为 12分20(本小题满分12分)学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：成绩/
8、分65,70)70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)95,100)频数40902004001508040（1）求这1000份试卷成绩的平均数（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； （2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均值， 近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体假设有84.135%的党员的测试成绩高于市委宣传部预期的平均成绩，则市委宣传部预期平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？ （3）该市宣传部准备从成绩在90,100内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份做进一步分析设为抽取的3份试卷中测试成绩在
9、95,100内的份数，求的分布列和数学期望参考数据：若， ，解：（1） 答：这1000份试卷成绩的平均数为82.15 3分（2），界限，所以 答：市委宣传部预期平均成绩大约为75.5 7分（3）因为成绩在90,95和95,100内的份数比例为80:40=2:1， 所以，抽取的6份中测试成绩在95,100内的份数为2份， 即从6份中随机抽取3份，Y服从超几何分布， 随机变量Y可取数值有0，1，2 ， 故随机变量Y的概率分布表如下Y012P10分， 答：X的均值为1 12分 21(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为（1）求抛物线的准线方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中垂线与抛物
10、线的准线交于点C，请问：是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由，所以，准线方程为 2分 （2）当直线的斜率不存在时与抛物线只有一个交点，不满足题意， 由焦点，可设直线，点， ，（恒有） 设点M为线段AB的中点，则，4分 则线段的中垂线方程为：， 整理得：，6分 由弦长公式，得 ， ，8分 由题意可知为等腰三角形， 由，可解得 ，（舍），所以，即， 所以，11分 故直线 12分22(本小题满分12分)设函数（1）若，求函数在上的最小值；（2）若对任意的，有，求的取值范围解：（1），则， 所以在上单调递增， 2分 所以当时，所以在上单调递增， 所以函数在上的最小值为 4分 （2），则， 当时，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，所以在上单调递增， 所以当时，所以在上单调递增， 所以当时， 6分 当时，则，所以在上单调递减， 所以当时，故不成立 8分（另解：存在，使得， 所以当时，不恒成立） 当时，在上单调递增，存在，使得， 故当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增，所以当时，所以在上单调递减，所以当时，所以在上单调递减，所以当时，不满足条件 11分 综上，的取值范围是 12分
