1、 圆的知识点总结圆的知识点总结 （一）圆的有关性质（一）圆的有关性质 知识归纳知识归纳 1. 1. 圆的有关概念：圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、 多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 2. 圆
2、的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数 条对称轴；条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。圆具有旋转不变性。 3. 3. 圆的确定圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 4. 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论推论 1 1 （1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
3、并且平分弦所对的两条弧；）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一 条弧。条弧。 垂径定理及推论垂径定理及推论 1 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的 任意任意两个，就可推出另外三个：过圆心；垂直两个，就可推出另外三个：过圆心；垂直 于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的优于弦；平分弦（
4、不是直径）；平分弦所对的优 弧；平分弦所对的劣弧。弧；平分弦所对的劣弧。 推论推论 2 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等； 所对的弦的弦心距相等。所对的弦的弦心距相等。 推论推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦 的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别的弦心距中有一组量相等，
5、 那么它们所对应的其余各组量都分别 相等。相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任的任 何一个就能推出另外三个： 两个圆心角相等；两个圆心角所何一个就能推出另外三个： 两个圆心角相等；两个圆心角所 对的弧相等； 两个圆心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的对的弧相等； 两个圆心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的 弦心距相等。弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 6. 圆周角圆周角 定理定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；一条弧所对的圆周角等于它所对
6、的圆心角的一半； 推论推论 1 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧也相等；所对的弧也相等； 推论推论 2 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 直径；直径； 推论推论 3 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直 角三角三角形。角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 7. 圆内接四边形的性质
7、圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 8. 8. 轨迹轨迹 轨迹轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的 轨迹。轨迹。 （1 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心， 定长为半径的圆；定长为半径的圆； （2 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段
8、的 垂直平分线；垂直平分线； （3 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 例题分析例题分析 例例 1. 1. 已知：如图已知：如图 1 1，在，在O O 中，半径中，半径 OMOM弦弦 ABAB 于点于点 N N。 图图 1 1 若若 ABAB，ONON1 1，求，求 MNMN 的长；的长； 若半径若半径 OMOMR R，AOBAOB120120，求，求 MNMN 的长。的长。 解解：ABAB，半径半径 OMOMABAB， ANANBNBN ONON1 1，由勾股定理得由勾股定理得 OAOA2 2 MNM
9、NOMOMONONOAOAONON1 1 半径半径 OMOMABAB，且且AOBAOB120120 AOMAOM6060 ONONOAOAcoscosAONAONOMOMcos60cos60 说明说明：如图如图 1 1，一般地一般地，若若AOBAOB2n2n，OMOMABAB 于于 N N，AOAOR R，ONON h h，则则 ABAB2Rsin n2Rsin n2htan n2htan n 例例 2. 2. 已知：如图已知：如图 2 2，在，在ABCABC 中，中，ACBACB9090，B B2525，以点，以点 C C 为为 圆心、圆心、ACAC 为半径作为半径作C C，交，交 ABAB
10、 于点于点 D D，求，求的度数。的度数。 图图 2 2 分析：分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有 关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅 选几种供参考。选几种供参考。 解法一：解法一：（用垂径定理求）如图（用垂径定理求）如图 2 21 1，过点，过点 C C 作作 CECEABAB 于点于点 E E，交，交于于 点点 F F。 图图 2 21 1 又又ACBACB9090，B B2525，FCAFCA2525
11、 的度数为的度数为 2525，的度数为的度数为 5050。 解法二：解法二：（用圆周角求）如图（用圆周角求）如图 2 22 2，延长，延长 ACAC 交交C C 于点于点 E E，连结，连结 EDED 图图 2 22 2 AEAE 是直径，是直径，ADEADE9090 ACBACB9090，B B2525，E EB B2525 的度数为的度数为 5050。 解法三：解法三：（用圆心角求）如图（用圆心角求）如图 2 23 3，连结，连结 CDCD 图图 2 23 3 ACBACB9090，B B2525，A A6565 CACAC CD D，ADCADCA A6565 ACDACD5050，的度
12、数为的度数为 5050。 例例 3. 3. 已知：如图已知：如图 3 3，ABCABC 内接于内接于O O 且且 ABABACAC，O O 的半径等于的半径等于 6cm6cm，O O 点到点到 BCBC 的距离的距离 ODOD 等于等于 2cm2cm，求，求 ABAB 的长。的长。 析：析：因为不知道因为不知道A A 是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可 能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。 略解：略解：（1 1）假若）假若A A 是锐角，是锐角，ABCABC 是锐角三角形。如图是锐角三
13、角形。如图 3 3，由，由 ABABACAC， 可知点可知点 A A 是优弧是优弧的中点，因为的中点，因为 ODODBCBC 且且 ABABACAC，根据垂径定理推论可知，根据垂径定理推论可知， DODO 的延长线必过点的延长线必过点 A A，连结，连结 BOBO BOBO6 6，ODOD2 2 在在 RtRtADBADB 中中，ADADDODOAOAO6 62 28 8 图图 3 3 图图 3 31 1 （2 2）若）若A A 是钝角，则是钝角，则ABCABC 是钝角三角形，如图是钝角三角形，如图 3 31 1 添加辅助线及求出添加辅助线及求出 ，在，在 RtRtADBADB 中，中，ADA
14、DAOAODODO6 62 24 4 ABAB 综上所述综上所述 ABAB 小结：小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状， 确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 例例 4. 4. 已知：如图已知：如图 4 4，ABAB 是是O O 的直径，弦的直径，弦 CDCDABAB，F F 是是 CDCD 延长线上一延长线上一 点，点，AFAF 交交O O 于于 E E。求证：。求证：AEAEEFEFECECEDED 图图 4 4 分析：分析：求证的等积式求证的等积式 AE
15、AEEFEFECECEDED 中，有两条线段中，有两条线段 EFEF、EDED 在在EDFEDF 中，中， 另两条线段另两条线段 AEAE、ECEC 没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助 线线 ACAC，设法证明，设法证明FEDFEDCEACEA 即可。即可。 证明：证明：连结连结 ACAC 四边形四边形 DEACDEAC 内接于圆内接于圆 FDEFDECAECAE，FEDFEDDCADCA 直径直径 ABABCDCD， DCADCACEACEA，FEDFEDCEACEA FEDFEDCEACEA ，AEAEEFEFECECE
16、DED 小结：小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而 是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。 例例 5. 5. 已知：如图已知：如图 5 5，AMAM 是是O O 的直径，过的直径，过O O 上一点上一点 B B 作作 BNBNAMAM，垂足为，垂足为 N N，其延长线交，其延长线交O O 于点于点 C C，弦，弦 CDCD 交交 AMAM 于点于点 E E。 图图 5 5 （1 1）如果）如果 CDCDABAB，求证：，求证
17、：ENENNMNM； （2 2）如果弦如果弦 CDCD 交交 ABAB 于点于点 F F，且且 CDCDABAB，求证求证 CECE 2 2 EFEFEDED； （3 3）如果弦）如果弦 CDCD 绕点绕点 C C 旋转，并且与旋转，并且与 ABAB 的延长线交于点的延长线交于点 F F，且，且 CDCDABAB，那，那 么（么（2 2）的结论是）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 证明：证明：（1 1）连结）连结 BMBM（如图（如图 5 51 1） 图图 5 51 1 AMAM 是直径，是直径，ABMABM9090 CD
18、CDABAB，BMBMCDCD ECNECNMBNMBN，又又 AMAMBCBC，CNCNBNBN RtRtCENCENRtRtBMNBMN，ENENNMNM （2 2）连结）连结 BDBD，BEBE，ACAC（如图（如图 5 52 2） 图图 5 52 2 点点 E E 是是 BCBC 垂直平分线垂直平分线 AMAM 上一点，上一点，BEBEECEC CDCDABAB， ACDACDBDCBDC，又又 ABABACAC，AEAEAEAE ABEABEACEACE，ABEABEACDACDBDCBDC BEDBED 是公共角是公共角，BEDBEDFEBFEB BEBE 2 2 EFEFEDED
19、，CECE 2 2 EFEFEDED （3 3）结论成立。如图）结论成立。如图 5 53 3 图图 5 53 3 证明：仿（证明：仿（2 2）可证）可证ABEABEACEACE BEBECECE，且且ABEABEACEACE 又又ABABCDCD， ACBACBDBCDBC，BDBDACAC BDEBDEACEACE180180 而而FBEFBEABEABE180180 BDEBDEFBEFBE，而而BEDBED 是公共角是公共角 BEDBEDF FEBEB BEBE 2 2 EFEFEDED，CECE 2 2 EFEFEDED （二）直线与圆的关系（二）直线与圆的关系 1. 1. 直线与圆的
20、位置关系直线与圆的位置关系 直线和圆的位置直线和圆的位置 相离相离 相切相切 相交相交 公共点的个数公共点的个数 0 0 1 1 2 2 公共点名称公共点名称 无无 切点切点 交点交点 直线名称直线名称 无无 切线切线 割线割线 圆心到直线的圆心到直线的 距离距离 d d 与半径与半径 r r 的的 关系关系 2. 2. 切线的判定切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 3. 切线的性质切线的性质 （1 1）圆的切线垂直于经过切点的半径；）圆的切线垂直于经过切点的半径； （2 2）推论）推论 1 1 经过圆心且垂直
21、于切线的直线必经过切点；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （3 3）推论推论 2 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第 三个：垂直于切线；经过切点；经过圆心。三个：垂直于切线；经过切点；经过圆心。 4. 4. 切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。平分两条切线的夹角。 5. 5. 弦切角定理弦切角定理 （
22、1 1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2 2）推论）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3 3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 6. 6. 和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段 （1 1）相交弦定理）相交弦定理 圆内的两圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等；相等； （2 2）推论）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直
23、径所成的 两条线段的比例中项；两条线段的比例中项； （3 3）切割线定理）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项；线与圆交点的两条线段长的比例中项； （4 4）推论）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交 点的两条线段长的积相等。点的两条线段长的积相等。 7. 7. 三角形的内切圆三角形的内切圆 （1 1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多 边形的内
24、切圆、圆的外切多边形；边形的内切圆、圆的外切多边形； （2 2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。 例题分析例题分析 例例 6. 6. 已知：如图已知：如图 6 6，ABAB 是是O O 的直径，的直径，C C 是是 ABAB 延长线上一点，延长线上一点，CGCG 切切 O O 于于 D D， DEDEABAB 于于 E E。 图图 6 6 求证：求证：CDBCDBEDBEDB。 分析：分析：由由 ABAB 是是O O 的直径，联想到直径的三个性质：的直径，联想到直径的三个性质： 图图 6 61 1 图图 6 62 2 图图 6 63
25、 3 （1 1）直径上的圆周角是直角。若连结）直径上的圆周角是直角。若连结 ADAD，则得，则得 RtRtABDABD； （2 2）垂径定理。如图）垂径定理。如图 6 62 2，若延长，若延长 DEDE 交交O O 于于 F F，则可得，则可得 DEDEEFEF， ； （3 3） 过直径外端的切线与直径垂直。 如图） 过直径外端的切线与直径垂直。 如图 6 63 3， 若过， 若过 B B 点作点作O O 的切线的切线 BMBM， 则则 ABABBMBM。 由由 CDCD 是是O O 的切的切线，联想到切线的三个性质：线，联想到切线的三个性质： （1 1）过切点的半径垂直于切线。如图）过切点的
26、半径垂直于切线。如图 6 61 1，若连结，若连结 ODOD，则，则 ODODCDCD； （2 2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结 ADAD，则，则CDBCDBA A； （3 3）切割线定理。如图）切割线定理。如图 6 6，CDCD 2 2 CBCBCACA。 由由 DEDEABAB 于于 E E，联想到以下一些性质：，联想到以下一些性质： （1 1）RtRtDEBDEB 中两锐角互余，即中两锐角互余，即EDBEDBEBDEBD9090； （2 2）垂径定理。如图）垂径定理。如图 6 62 2，只要延长，只要延长 DEDE 交交O O 于于 F
27、F，则可得到相等的线段，则可得到相等的线段， 相等的弧；相等的弧； （3 3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结）构造与射影定理相关的基本图形。即连结 ADAD，则可得到，则可得到ADBADB 是直角是直角 三角形，三角形，DEDE 是斜边上的高，又可得到两对是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还相等的锐角，三个相似的三角形，还 可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。 证明：证明：连结连结 ADAD，如图，如图 6 6，ABAB 是直径，是直径，ADBADB9090。 DEDEABAB，EDBEDBA A CDCD 是是O O 的切线
28、，的切线，CDBCDBA A，CDBCDBEDBEDB 此例题还有许多证法，比如连结此例题还有许多证法，比如连结 ODOD，如图，如图 6 61 1，利用切线的定义；又比如，利用切线的定义；又比如 延长延长 DEDE 交交O O 于于 F F，连结，连结 BFBF，如图，如图 6 62 2，利用垂径定理；还可以过点，利用垂径定理；还可以过点 B B 作作O O 的切线交的切线交 CDCD 于点于点 M M，如图，如图 6 63 3，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不 妨试证之。妨试证之。 小结：小结：此例题证明此例题证明CDBCDBEDBEDB，
29、即证明，即证明 B BD D 是是CDECDE 的平分线，由此证明的平分线，由此证明 可以联想到可以联想到 ADAD 也是也是GDEGDE 的平分线。的平分线。 另外， 通过对此例题的分析和证明可知， 图另外， 通过对此例题的分析和证明可知， 图 6 64 4 中隐含着很多图形的性质，中隐含着很多图形的性质， 如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图 6 64 4 分分 解成三个基本图形。如图解成三个基本图形。如图 6 65 5，以利于进一步理解线段之间的比例关系。，以利于进一步理解线段之间的比例关系。 图图
30、6 64 4 图图 6 65 5 例例 7. 7. 已知：如图已知：如图 7 7，点，点 P P 是半圆是半圆 O O 的直径的直径 BABA 延长线上的点，延长线上的点，PCPC 切半圆于切半圆于 C C 点，点，CDCDABAB 于于 D D 点，若点，若 PAPA：PCPC1 1：2 2，DBDB4 4，求，求 tantanPCAPCA 及及 PCPC 的长。的长。 图图 7 7 证明：证明：连结连结 CBCB PCPC 切半圆切半圆 O O 于于 C C 点，点，PCAPCAB B P PP P，PACPACPCBPCB ACAC：BCBCPAPA：PCPC ABAB 是半圆是半圆 O
31、 O 的直径，的直径，ACBACB9090 又又CDCDABAB ABABADADDBDB5 5 例例 8. 8. 已知：如图已知：如图 8 8，在，在 RtRtABCABC 中，中，B B9090，A A 的平分线交的平分线交 BCBC 于于 点点 D D，E E 为为 ABAB 上的一点，上的一点，DEDEDCDC，以，以 D D 为圆心，为圆心，DBDB 长为半径作长为半径作D D。 图图 8 8 求证：（求证：（1 1）ACAC 是是D D 的切线；的切线； （2 2）ABABEBEBACAC 分析分析：（1 1）欲证）欲证 ACAC 与与D D 相切，只要证圆心相切，只要证圆心 D
32、D 到到 ACAC 的距离等于的距离等于D D 的半的半 径径 BDBD。因此要作。因此要作 DFDFACAC 于于 F F （2 2）只要证）只要证 ACACAFAFFCFCABABEBEB，证明的关键是证，证明的关键是证 BEBEFCFC，这又转化为，这又转化为 证证EBDEBDCFDCFD。 证明：证明：（1 1）如图）如图 8 8，过，过 D D 作作 DFDFACAC，F F 为垂足为垂足 ADAD 是是BACBAC 的平分线，的平分线，DBDBABAB，DBDBDFDF 点点 D D 到到 ACAC 的距离等于圆的距离等于圆 D D 的半径的半径 ACAC 是是D D 的切线的切线
33、 （2 2）ABABBDBD，D D 的半径等于的半径等于 BDBD， ABAB 是是D D 的切线的切线，ABABAFAF 在在 RtRtBEDBED 和和 RtRtFCFCD D 中中，EDEDCDCD，BDBDFDFD BEDBEDFCDFCD，BEBEFCFC ABABBEBEAFAFFCFCACAC 小结：小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有 公共点，可采用公共点，可采用“连半径证垂直连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点 没有给出，可采用没有给出，可
34、采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于的方法。此例题属于 后一类后一类 例例 9. 9. 已知：如图已知：如图 9 9，ABAB 为为O O 的弦，的弦，P P 为为 BABA 延长线上一点，延长线上一点，PEPE 与与O O 相切于点相切于点 E E，C C 为为中点，连中点，连 CECE 交交 ABAB 于点于点 F F。 图图 9 9 求证：求证： 分析：分析：由已知可得由已知可得 PEPE 2 2 PAPAPBPB，因，因此要证此要证 PFPF 2 2 PAPAPBPB，只要证，只要证 PEPE PFPF。即证。即证PFEPFEPEFPE
35、F。 证明一：证明一：如图如图 9 9，作直径，作直径 CDCD，交，交 ABAB 于点于点 G G，连结，连结 EDED， CEDCED9090 点点 C C 为为的中点，的中点，CDCDABAB，CFGCFGD D PEPE 为为O O 切线，切线，E E 为切点为切点 PEFPEFD D，PEFPEFCFGCFG CFGCFGPFEPFE，PFEPFEPEFPEF，PEPEPFPF PEPE 2 2 PAPAPBPB，PFPF 2 2 PAPAPBPB 证明二：证明二：如图如图 9 91 1，连结，连结 ACAC、AEAE 图图 9 91 1 点点 C C 是是的中点，的中点，C CAB
36、ABAECAEC PEPE 切切O O 于点于点 E E，PEAPEAC C PFEPFECABCABC C，PEFPEFPEAPEAAECAEC PFEPFEPEFPEF，PEPEPFPF PEPE 2 2 PAPAPBPB，PFPF 2 2 PAPAPBPB 例例 10. 10. （1 1）如图）如图 1010，已知直线，已知直线 ABAB 过圆心过圆心 O O，交，交O O 于于 A A、B B，直线，直线 AFAF 交交 O O 于于 F F（不与（不与 B B 重合），直线重合），直线l l交交O O 于于 C C、D D，交，交 BABA 延长线于延长线于 E E，且与，且与 AF
37、AF 垂垂 直，垂足为直，垂足为 G G，连结，连结 ACAC、ADAD 图图 1010 图图 10101 1 求证：求证：BADBADCAGCAG； ACACADADAEAEAFAF （2 2）在问题（）在问题（1 1）中，当直线）中，当直线l l向上平行移动，与向上平行移动，与O O 相切时，其相切时，其 它条件不变。它条件不变。 请你在图请你在图 10101 1 中画出变化后的图形，并对照图中画出变化后的图形，并对照图 1010 标记字母；标记字母； 问题（问题（1 1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果 不成立，请说明理由
38、。不成立，请说明理由。 证明：证明：（1 1）连结）连结 BDBD ABAB 是是O O 的直径，的直径，ADBADB9090 AGCAGCADBADB9090 又又ACDBACDB 是是O O 内接四边形内接四边形 ACACG GB B，BADBADCAGCAG 连结连结 CFCF BADBADCAGCAG，EAGEAGFABFAB DAEDAEFACFAC 又又ADCADCF F，ADEADEAFCAFC ，ACACADADAEAEAFAF （2 2）见图）见图 10101 1 两个结论都成立，证明如下：两个结论都成立，证明如下： 连结连结 BCBC， ABAB 是直径，是直径，ACBAC
39、B9090 ACBACBAGCAGC9090 GCGC 切切O O 于于 C C，GCAGCAABCABC BACBACCAGCAG（即即BADBADCAGCAG） 连结连结 CFCF CAGCAGBACBAC，GCFGCFGACGAC， GCFGCFCAECAE，ACFACFACGACGGFCGFC，E EACGACGCAECAE ACFACFE E，ACFACFAECAEC， ACAC 2 2 AEAEAFAF（即即 ACACADADAEAEAFAF） 说明：说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过 探究式的提问
40、加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大 家的关注。家的关注。 例例 11. 11. 如图如图 1111，ABAB 是是O O 的直径，的直径，O O 过过 ACAC 的中点的中点 D D，DEDEBCBC，垂，垂 足为足为 E E。 图图 1111 （1 1）由这些条件）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母， 找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出 4 4 个
41、结论个结论 即可）。即可）。 （2 2）若）若ABCABC 为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新 的正确结论？并画出图形。的正确结论？并画出图形。 分析：分析：（1 1）若连结）若连结 DODO，可证得，可证得 DEDE 是是O O 的切线。的切线。 若连结若连结 DBDB，由直径，由直径 ABAB 和点和点 D D 是是 ACAC 的中点，可得的中点，可得 ABABBCBC，A AC C 等。而等。而 且且 DEDEBCBC 于点于点 E E，又由双垂图形，可得，又由双垂图形，可得，等。等。 （2 2）连结）连结 DODO、
42、OBOB。方法同上。方法同上。 答：答：下列结论可供选择，如图下列结论可供选择，如图 11111 1 图图 11111 1 （1 1） ） DEDE 是是O O 的切线的切线 ABABBCBC A AC C DEDE 2 2 BEBE CECE CDCD 2 2 CECECBCB C CCDECDE9090 （2 2）CECEBEBE DEDEBEBE DEDECECE DEDEABAB CBCB 是是O O 的的 切线切线 B B A ACDECDE4545 C CCDECDE4545 CBCB 2 2 CDCDCACA (11)(11) (12)(12) 说明：说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓 住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中 诸如：相等关系、诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。特殊图形、两图形的关系等。 （三）圆和圆的位置关系（三）圆和圆的位置关系 知识归纳知识归纳 1. 1. 基本概念基本概念 （1 1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。）两圆外离、外切、相
