1、中考数学中考数学(山东专用)1.(2018德州临邑一模,25)如图1,关于x的二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在,求出点P;若不存在,请说明理由;(3)如图2,DE左侧的抛物线上是否存在点F,使2SFBC=3SEBC?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.好题精练解析解析(1)二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),解得抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)存在.当P在DAB的平分
2、线上时,如图,作PMAD,交AD于M.抛物线解析式为y=-x2-2x+3,对称轴方程为x=-1,D(-1,4).根据勾股定理易得AD=2.930,3,bcc 2,3,bc 22245设P(-1,m),则PM=PDsinADE=(4-m)=(4-m),PE=m,PM=PE,(4-m)=m,解得m=-1,P点的坐标为(-1,-1);当P在DAB的外角平分线上时,如图,作PNAD,交AD于N.设P(-1,n),则PN=PDsinADE=(4-n),PE=-n,PN=PE,(4-n)=-n,解得n=-1,22 555555555555P点的坐标为(-1,-1).综上,存在满足条件的P点,其坐标为(-1
3、,-1)或(-1,-1).(3)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,B(1,0),SEBC=EBOC=3,2SFBC=3SEBC,SFBC=,过F作FQx轴于点H,交BC的延长线于Q,过F作FMy轴于点M,如图,SFBC=SBQH-SBFH-SCFQ=HBHQ-BHHF-QFFM=BH(HQ-HF)-QFFM=BHQF-QFFM=QF(BH-FM)=FQOB=FQ=,FQ=9.易得BC的解析式为y=-3x+3,设F(x0,-2x0+3),则Q(x0,-3x0+3),-3x0+2x0=9,解得x0=或(舍去),5551292121212121212121212129220 x20 x13721
4、372点F的坐标是,图又SABC=6,点F不可能在A点下方.综上,F点的坐标为.137 3 3715,2292137 3 3715,222.(2018新疆乌鲁木齐,24,12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-2,0),B(8,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PDBC,垂足为点D.是否存在点P,使线段PD的长度最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;当PDC与COA相似时,求点P的坐标.14解析解析(1)将A(-2,0),B(8,0)代入y=-x2+bx+c,得解得抛物线的解
5、析式为y=-x2+x+4.(3分)(2)由(1)知 C(0,4),又B(8,0),易知直线BC的方程为y=-x+4.如图a,过点P作PGx轴于点G,PG交CB于点E,易知PED=OCB,在RtPDE中,PD=PEsinPED=PEsinOCB=PE,当线段PE最长时,PD的长度最大.设P(0t8),则E,即PG=-t2+t+4,EG=-t+4.PE=PG-EG=-t2+2t=-(t-4)2+4,0t8.14120,1680,bcbc 3,24.bc1432122 55213,442ttt1,42tt1432121414当t=4时,PE有最大值4,此时P点坐标为(4,6),当P点坐标为(4,6)
6、时,PD的长度最大,为.(7分)图a由A(-2,0),B(8,0),C(0,4),易知ACB=90,RtCOARtBOC,故当RtPDC与RtCOA相似时,就有RtPDC与RtBOC相似,相似三角形的对应角相等,PCD=CBO或PCD=BCO.(i)当PCD=CBO(RtPDCRtCOB)时,如图b,8 55图b有CPOB,C(0,4),yP=4,由-x2+x+4=4,解得x=6或x=0(舍).即RtPDCRtCOB时,P(6,4);(ii)当PCD=BCO(RtPDCRtBOC)时,如图c,过点P作PGx轴于G,与直线BC交于F,PFOC,PFC=BCO,1432PCD=PFC,PF=PC.
7、设P,依题意,易知n0,同(1),可知PF=-n2+2n.过点P作y轴的垂线,垂足为N,图c在RtPNC中,213,442nnn14PC2=PN2+NC2=n2+=n4-n3+n2.PF=PC,PF2=PC2,即=n4-n3+n2,解得n=3或n=0(舍).即RtPDCRtBOC时,P.当RtPDC与RtCOA相似时,有P(6,4)或P.(12分)22134442nn1163413422124nn11634134253,4253,4思路分析思路分析 (1)由待定系数法列方程组求出b,c即可;(2)由待定系数法求出直线BC的方程,过点P作PGx轴于点G,交CB于点E,在RtPDE中可得PD与PE
8、的关系,当线段PE最长时,PD的长度最大,设出P点坐标,从而得出线段的长,由PE=PG-EG得二次函数,由二次函数的性质得最值及此时自变量的值,从而得P点坐标;首先由A、B、C三点确定ACB=90,从而RtCOARtBOC,再结合条件得出PCD=CBO或PCD=BCO,然后以这两种情况分别根据相似性质列方程求出P点坐标.方法总结方法总结 这类二次函数与平面几何相结合的问题常用到二次函数的性质、待定系数法以及三角形相似的判定与性质,在解题时也常从这些方面去考虑,寻找突破口,同时压轴题常考查分类讨论思想,因而在解题时注意分类讨论.3.(2018德州,25,14分)如图1,在平面直角坐标系中,直线y
9、=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于A,B两点,其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.(1)求m,n的值及该抛物线的解析式;(2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A,D重合),分别以AP,DP为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角APM和等腰直角DPN,连接MN,试确定MPN面积最大时P点的坐标;(3)如图3,连接BD,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)把点A(m,0)、点B(4,n)代入y=x-1中,得m=1,n=3,A(1,0),B(4,
10、3).y=-x2+bx+c过点A、点B,解得y=-x2+6x-5.(2)如图2,APM和DPN为等腰直角三角形,APM=DPN=45,MPN=90,MPN为直角三角形.令-x2+6x-5=0,解得x1=1,x2=5,D(5,0),AD=4.设AP=m,则DP=4-m,PM=m,PN=(4-m),SMPN=PMPN=m(4-m)=-m2+m10,1643,bcbc 6,5,bc 22221212222214=-(m-2)2+1.当m=2,即AP=2时,MPN的面积最大,此时OP=3,P(3,0).(3)存在,点Q的坐标为(2,-3)或.1478,33思路分析思路分析 (1)将A(m,0)、B(4,n)代入y=x-1可得m,n的值,再将A,B的坐标分别代入y=-x2+bx+c,解方程组求出b,c的值,即可得出抛物线的解析式.(2)由APM和DPN是等腰直角三角形可推得MPN是直角三角形;令-x2+6x-5=0得到点D的坐标,设AP=m,用含m的代数式表示RtMPN的面积,运用二次函数的最值可求得P点的坐标.
