1、2 2 变换群、置换群与循环群变换群、置换群与循环群 例例14.8:证明不等边长方形所有对称的集证明不等边长方形所有对称的集合合,关于其合成关于其合成 构成群。构成群。B4=e,B4;是是4元素群元素群,称为称为Klein四元群。四元群。一、变换群一、变换群变换变换:非空集合非空集合S到到S的一个映射的一个映射,当映射是一一对应时当映射是一一对应时,称为称为一一变换一一变换。SS表示表示S到到S的所有映射全体组成的集合的所有映射全体组成的集合,SS=f|f:SS，SS;是半群。是拟群。不是群是半群。是拟群。不是群 T(S)表示表示S上所有一一变换组成的集合。上所有一一变换组成的集合。T(S)=
2、f|f SS,且且f为一一对应为一一对应 T(S);是群是群 定义定义14.5:设设G T(S),当当G;为群时为群时,就称就称该群为该群为变换群变换群,其中其中 为一一变换的合成为一一变换的合成(复合复合)运算运算,并称为变换的乘法。并称为变换的乘法。定理定理14.9:T(S);是一个变换群。是一个变换群。变换群不一定是交换群变换群不一定是交换群二、置换群二、置换群 定义定义14.6:设设S,|S|1，|S|n-1,结论成立结论成立当当|S|=n,任取任取Sn中的置换中的置换 由元素由元素1出发取出发取 上的循环置换上的循环置换 推论推论14.1:任意一个置换可以分解为若干任意一个置换可以分
3、解为若干个对换的乘积。个对换的乘积。说明分解不唯一说明分解不唯一(8 8,7 7)(6 6,1 1)(5 5,8 8)(2 2,3 3)(2 2,6 6)(1 1,4 4)(1 1,2 2)5 5)7 7)(8 86 6)(5 51 1)(2 24 4)(3 3(1 17 7)8 8)(8 86 6)(5 54 4)(2 23 3)(3 3(1 17 75 52 28 81 14 46 63 38 87 76 65 54 43 32 21 1 定理定理14.11：任意一个置换可分解成对换：任意一个置换可分解成对换的乘积的乘积,这种分解是不唯一的这种分解是不唯一的,但是这些但是这些对换的个数是奇
4、数个还是偶数个却完全对换的个数是奇数个还是偶数个却完全由置换本身确定。由置换本身确定。对一个置换，它可能有不同的对换乘积，对一个置换，它可能有不同的对换乘积，但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。定义定义14.814.8：一个置换的对换分解式中：一个置换的对换分解式中,对换因子的个数是偶数时称该置换为对换因子的个数是偶数时称该置换为偶偶置换置换,否则否则,称它为称它为奇置换奇置换。长度为长度为k k的循环置换的循环置换(i1 i2 ik)=(i1 i2)(i2 i3)(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)共共k-1个对换个对换 所以当所以当k是奇数时，该循环
5、为偶置换是奇数时，该循环为偶置换 当当k k是偶数时，该循环为奇置换是偶数时，该循环为奇置换 推论推论14.214.2：一个长度为：一个长度为 k k的循环置换的循环置换,当当k k为奇数时为奇数时,它是一个偶置换它是一个偶置换;当当k k为为偶数时偶数时,它是一个奇置换。它是一个奇置换。推论推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个：每个偶置换均可分解为若干个长度为长度为 3 的循环置换的乘积的循环置换的乘积,循环置换中循环置换中可以含有公共元。可以含有公共元。证明证明:对任两个对换对任两个对换:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c)推论推论14.414.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运
6、算中的奇、偶置换在置换的乘法运算下下,其奇偶性由下表给出其奇偶性由下表给出:偶置换偶置换 奇置换奇置换 偶置换偶置换 偶置换偶置换 奇置换奇置换 奇置换奇置换 奇置换奇置换 偶置换偶置换 恒等置换看作为偶置换恒等置换看作为偶置换 Sn=OnAn OnAn=偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，是是An上上的运算的运算 An;是代数系统。是代数系统。1.封闭性封闭性 2.结合律当然成立结合律当然成立 3.恒等置换恒等置换e An 4.对于对于An,在在Sn中有逆元中有逆元-1,-1也是偶也是偶置换置换 推论推论14.5：对称群：对称群Sn中所有偶置换组成的中所有偶置换组
7、成的集合集合,记为记为An,关于置换的乘法构成群。关于置换的乘法构成群。!n n2 21 1 定义定义14.9：称上述：称上述An;为为n次交待群次交待群。由于由于An中每个元素都是置换中每个元素都是置换,因此根据置因此根据置换群的定义可知换群的定义可知An;也是置换群也是置换群.|An|=?若若n=1，Sn只有一个置换只有一个置换恒等置换，恒等置换，它也是它也是An的元素，的元素，|An|=1。若若n1,|An|=|On|=例：例：G=g1,g2,gn,G;是群是群,对任意对任意g G,定义映射定义映射 g:GG,使得对任意使得对任意x G,有有 g(x)=g x。设设=g|g G,则则;是
8、置换群。这里是置换群。这里 是关于映射的复是关于映射的复合运算合运算.证明证明:(0)是是 上的上的运算运算(1)是满足结合律的是满足结合律的.(2)存在单位元存在单位元(3)对任意对任意 g ,存在逆元存在逆元(4)g是是G上的置换上的置换三、循环群三、循环群 1.1.元素的阶元素的阶 定义定义14.10:设设G为群为群,e是是G的单位元，对的单位元，对于于a G,如果存在最小正整数如果存在最小正整数r，使得使得ar=e，则称则称r为为元素元素a的阶的阶;也可称也可称a是是r阶元阶元。若。若不存在这样的不存在这样的r，则称则称a为为无限阶元无限阶元或说或说a的的阶无限阶无限。作业作业:P293 12.(2)(3),13
