1、 1 2019 北京四中高一(上上)期中期中 数学数学 试卷分为两卷，卷试卷分为两卷，卷(I) 100 分，卷分，卷(II) 50 分，满分共计分，满分共计 150 分分 考试时间考试时间: 120 分钟分钟 卷卷(I) 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分 1已知全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，3，B3，4，5，则集合 AB（ ） A2，3，4，5 B3 C1，4，5 D1，3，4，5 2函数() = 1 2 的定义域是（ ） AR Bx|x2 Cx|x1 Dx|x1 且 x2 3若 ab，则下列各式中正确的是（ ） A
2、acbc Bac2bc2 Ca+c2b+c2 D1 1 4下列函数中，在区间（0，+）上为减函数的是（ ） Ayx22x By|x| Cy2x+1 D = 5命题“xR，x3x2+10”的否定是（ ） AxR，x3x2+10 BxR，x3x2+10 CxR，x3x2+10 DxR，x3x2+10 6下列函数中： = 2 = 1 (+1)2yx 2+1() = + 1，0 1 ，0偶函数的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 7“x1”是“x2x0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8函数 f（x）x32x3 一定存在零点的区间是（ ） A （2
3、，+） B （1，2） C （0，1） D （1，0） 9下列函数中，满足 f（2x）2f（x）的是（ ） Af（x）（x+2）2 Bf（x）x+1 C() = 4 Df（x）x|x| 10函数 f（x）= + (+)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） 2 Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11设全集 UR，集合 Ax|0x2，B3，1，1，3，则集合（UA）B 12已知() = 2 1， 0 32，0 ，则 f（f（1） ）的值为 13函数
4、 yx2+3x1，x2，3的值域是 14若 x0，则() = 4 + 1 9的最小值为 15若二次函数 f（x）的图象关于 x2 对称，且 f（a）f（0）f（1） ，则实数 a 的取值范围是 16某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i）男学生人数多于女学生人数； （ii）女学生人数多于教师人数； （iii）教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 该小组人数的最小值为 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 3 小题，共小题，共 30 分分 17 （10 分）设集合 Ax|x22x30，Bx|x2+4x+30，Cx|2k1x2k+3 （
5、1）求 AB； （2）若 CAB，求实数 k 的取值范围 18 （8 分）已知 a，b0，证明：a3+b3a2b+ab2 19 （12 分）已知函数 f（x）= 2 1 ，() = 2 1 （aR，a0） （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）0； （2）若 f（x）+g（x）0 在（0，+）上恒成立，求 a 的取值范围 卷(II) 一、过程性评价(考生不必作答)， ， 共 10 分 3 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 20已知集合 M0，1，2，3，Nx|x2a，aM，则集合 MN 21不等式|x1|+|x+2|
6、5 的解集是 22已知 xyz，x+y+z0，则 xzyzxyyzxyxzx|y|z|y|四个式子中正确的是 （只填 写序号） 23设() = ( ) 2， 0 + 1 ，0 （1）当 = 1 2时，f（x）的最小值是 ； （2）若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围是 24已知集合 MxN|1x15，集合 A1，A2，A3满足 每个集合都恰有 5 个元素； A1A2A3M 集合 Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai的特 征数，记为 Xi（i1，2，3） ，则 X1+X2+X3的最大值与最小值的和为 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 2 小题，共小题，共 20 分分
7、 25 （10 分）已知函数 f（x）x2+a|x1| （1）当 a2 时，解方程 f（x）2； （2）若 f（x）在0，+）上单调递增，求实数 a 的取值范围 26 （10 分）设 a，b，c，d 不全为 0，给定函数 f（x）bx2+cx+d，g（x）ax3+bx2+cx+d若 f（x） ，g（x） 满足f（x）有零点；f（x）的零点均为 g（f（x） ）的零点；g（f（x） ）的零点均为 f（x）的零点则 称 f（x） ，g（x）为一对“K 函数” （1）当 acd1，b0 时，验证 f（x） ，g（x）是否为一对“K 函数”，并说明理由； （2）若 f（x） ，g（x）为任意一对“K
8、函数”，求 d 的值； （3）若 a1，f（1）0，且 f（x） ，g（x）为一对“K 函数”，求 c 的取值范围 4 卷（卷（） 一一、 1-10 BDCDB CABDC 二二、 11全集 UR，集合 Ax|0x2，B3，1，1，3， 则集合UAx|x0 或 x2， 所以集合（UA）B3，1，3 12根据题意，() = 2 1， 0 32，0 ， 则 f（1）3 （1）23， 则 f（f（1） ）f（3）2 315； 13因为 yx2+3x1，所以函数对称轴为 = 3 2， 因为 x2，3，所以当 x= 3 2时，y 的值最小为( 3 2) 2 + 3 ( 3 2) 1 = 13 4 ， 当
9、 x3 时，y 的值最大为 32+9117， 所以函数的值域为 13 4 ，17 14x0， 4x+ 1 9 24 1 9 = 4 3（当且仅当 4x= 1 9即 x= 1 6时，取“”号） ， 当 x= 1 6时，f（x）最小值为 4 3 15由题意可知二次函数 f（x）的对称轴为 x2， 因为 f（0）f（1） ，所以 f（x）在（，2）上单调递增， 所以二次函数 f（x）开口向下，在（，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减 当 a（，2）时：2 0，解得 a0 当 a（2，+）时：因为 f（4）f（0） ， 所以2 4，解得 a4 综上所求：a0 或 a4 16设男学生女学生分别为 x
10、，y 人， 若教师人数为 4， 5 则 4 2 4 ，即 4yx8， 即 x 的最大值为 7，y 的最大值为 6， 即女学生人数的最大值为 6 设男学生女学生分别为 x，y 人，教师人数为 z， 则 2 ，即 zyx2z 即 z 最小为 3 才能满足条件， 此时 x 最小为 5，y 最小为 4， 即该小组人数的最小值为 12， 三三 17 （1）集合 Ax|x22x30x|x1 或 x3， Bx|x2+4x+30x|3x1， 则 ABx|x1 或 x3； （2）由 Cx|2k1x2k+3，且 CAB， 令 2k13 或 2k+31，解得 k2 或 k2， 所以实数 k 的取值范围是 k2 或
11、k2 18证明： （a3+b3）（a2b+ab2）a2（ab）+b2（ba） （ab） （a2b2）（ab）2（a+b） a0，b0， a+b0， （ab）20， （ab）2（a+b）0， 则有 a3+b3a2b+b2a 19 （1）当 a1 时，f（x）= 2 1 f（x）0，2 10，0x2， 不等式的解集为x|0x2； （2）f（x）+g（x）= 2 1 + 2 1 = 2 + 2 2 ， f（x）+g（x）0 在（0，+）上恒成立， 6 2 2 + 2在（0，+）上恒成立，只需2 (2 + 2) 当 x0 时，2 + 2 22 2 = 4，当且仅当 x1 时取等号， (2 + 2)=
12、4，2 4， a0 或 a 1 2， a 的取值范围为（，0）1 2，+） 卷（） 二二、 20M0，1，2，3，N0，2，4，6， MN0，2 21根据绝对值的意义可得，|x1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和2 对应点的距离之和， 而3、2 对应点到 1 和2 对应点的距离之和正好等于 5， 故不等式|x1|+|x+2|5 的解集是3，2， 22已知 xyz，x+y+z0，则x0，y0，z0，x0，y0，z0，x+z0，y0 所以xzyz 正确xyyz，不正确xyxz，正确x|y|z|y|，不正确 23 （1）当 = 1 2时，当 x0 时，f（x）（x 1 2） 2（1 2
13、） 2=1 4， 当 x0 时，f（x）x+ 1 2 1 =2，当且仅当 x1 时取等号， 则函数的最小值为1 4， （2）由（1）知，当 x0 时，函数 f（x）2，此时的最小值为 2， 若 a0，则当 xa 时，函数 f（x）的最小值为 f（a）0，此时 f（0）不是最小值，不满足条件 若 a0，则当 x0 时，函数 f（x）（xa）2为减函数， 则当 x0 时，函数 f（x）的最小值为 f（0）a2， 要使 f（0）是 f（x）的最小值，则 f（0）a22，即 0a 2， 即实数 a 的取值范围是0，2， 24解：由题意集合 MxN*|1x151，2，3，4，5，6，7，8，9，10，1
14、1，12，13，14，15， 当 A11，4，5，6，7，A23，12，13，14，15，A32，8，9，10，11时， X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X38+18+1339， 当 A11，4，5，6，15，A22，7，8，9，14，A33，10，11，12，13时， X1+X2+X316+16+1648， 7 当 A11，2，3，4，15，A25，6，7，8，14，A39，10，11，12，13时， X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X316+19+2257， X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+5796 三三、 25 （1）当 a2 时，f（x）x2+2|x1|2 当
15、 x1 时，x2+2（1x）2，x22x0，得 x0； 当 x1 时，x2+2（x1）2，x2+2x40，得 = 5 1 综上，方程 f（x）2 的解为 x0 或 = 5 1 （2）x1 时，f（x）x2+a（x1）x2+axa 在1，+）上单调递增， 则 = 2 1，故 a2； 0x1 时，f（x）x2ax+a， = 2 0，故 a0 且 1a+a1+aa 恒成立 综上，实数 a 的取值范围是2，0 26 （1）若 f（x） ，g（x）为任意一对“K 函数”，求 d 的值；由 f（x）x+10，得 x1， 所以 g（f（1） ）g（0）1，故 x1 不是 g（f（x） ）的零点，故不满足，所
16、以不是一对“K 函数”， （2）设 r 为方程的一个根，即 f（r）0，则由题设得 g（f（r） ）0 于是，g（0）g（f（r） ）0，即 g（0）d0 所以 d0，反之 g（f（x） ）f（x）f4（x）+bf（x）+cf（x） ）0，则 f（x）0 成立，故 d0； （3）因为 d0，由 a1，f（1）0 得 bc， 所以 f（x）bx2+cxcx（x1） ，g（f（x） ）f（x）f2（x）cf（x）+c， 由 f（x）0 得 x0，1，可以推得 g（f（x） ）0，根据题意，g（f（x） ）的零点均为 f（x）的零点， 故 f2（x）cf（x）+c0 必然无实数根 设 tcx（x1） ，则 t2ct+c0 无实数根， 当 c0 时，tc（x 1 2） 2+ 4 4，h（t）t 2ct+c（t 2） 2+c2 4 ， 所以 h（t）minh（ 4）0，即 2 16 2 4 + 0，解得 c（0，16 3 ） ， 当 c0 时，tc（x 1 2） 2+ 4 4，h（t）t 2ct+c（t 2） 2+c2 4 ， 所以 h（t）minh（ 2）0，即 c 2 4 0，解得 c（0，4） ，因为 c0，显然不成立， 当 c0 时，b0，此时 f（x）0 在 R 上恒成立，g（f（x） ）c0 也恒成立， 8 综上：c0，16 3 ）
