1、5 泰勒定理)()()()(0000 xxoxxxfxfxf一、泰勒泰勒（B.Taylor,16851731,英国数学家）定理定理微分部分：)()()(000 xxxfxfxf，误差较大，精确度不高。猜想：)()()(0nnxxoxpxf 定理定理1 1（泰勒定理）设函数f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则当x(a,b)时，有)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR这里 是介于x0与x之间的一个实数。（1）（2）称公式（1）为f(x)按(x
2、x0)的幂展开到n阶的泰勒公式，也称为f(x)在点x0展开的n阶泰勒展开式或泰勒公式。其中Rn(x)称为泰勒公式的余项，公式（2）所表示的余项称为拉格朗日余项。nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(!2)()()()(00)(200000 多项式称为f(x)在x0点的n次泰勒多项式。注1：在泰勒公式（1）中，若取n=0，则公式变为拉格朗日公式，即)(,)()()(000之间与介于xxxxfxfxf因此，泰勒定理是拉格朗日定理的推广。注2：用泰勒多项式近似表示函数f(x)时，产生的误差为|Rn(x)|。如果对于某个固定的n，有|f(n+1)(x)|M（M为正常数），则 有估计式1
3、010)1(|)!1()()!1()(|)(|nnnnxxnMxxnfxR定理定理5 5 设函数在点x 0处有直到n阶的导数，则有)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中)(,)()(00 xxxxoxRnn（3）（4）公式（3）称为具有皮亚诺（G.Peano,18581932，意大利数学家、逻辑学家）型余项的n阶泰勒公式，也称为f(x)在x0处的n阶局部泰勒公式，（4）式表示的余项称为皮亚诺余项。二、麦克劳林二、麦克劳林(C.Maclaurin,16981746,苏格兰数学家)展开式展开式在泰勒公式（1）及（3）中，若令x
4、0=0，则得)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn（5）其中1)1()!1()()(nnnxnfxR1)1()!1()(nnxnxf（6）介于0与x之间，.10或)()(nnxoxR（7）公式（5）称为f(x)的n阶麦克劳林展开式或n阶麦克劳林公式。公式（5）中，R n(x)若用（6）式表示，则称（5）为具有拉格朗日型余项的麦克劳林公式；R n(x)若用（7）式表示，则称（5）为具有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，或称为局部麦克劳林公式。nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 由（5）式得近似公式：相应地，误差估计式变为：1|)!1(|
5、)(|nnxnMxR由公式（5），容易得出几个常用的初等函数的麦克劳林公式：.10,)1(!21)(12nxnxxnenxxxei.10),212sin()!12()!12()1(!5!3sin)(1212153kxkxkxxxxxiikkk.)10(),222cos()!22()!2()1(!4!21cos)(22242kxkxkxxxxiiikkk.0,)!1()1)()1(!)1()1(!2)1(1)1()(112之间、介于为任意实数，xxnnxnnxxxivnnn.10,)1(11)1()1(32)1ln()(11132nnnnnxnxnxxxxxv以下推证公式（i），其余公式类似：令
6、xexf)(，则,)()()()(xnexfxfxf 从而，1)0()0()0(,1)0()(nffff代入公式（5）得：例1 求xxfsin)(在4x处的三阶泰勒公式。解4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(xfxfxfxffxfxxfxxfxxfxxfsin)(,cos)(,sin)(,cos)()4(.10,)!1(!2112nxnxxnenxxxesin)(,22)4(,22)4(,22)4(,22)4()4(fffff于是432)4(!4sin)4(22!31)4(22!21)4(2222)(xxxxxf432)4(24sin)4(61)4(21)4(1 22xxxx其中介于 x与4之间。例2 求2xe的n阶麦克劳林展开式。解 在公式（i）中，以2x代x，即得展开式)(!)(!2)()(1222222nnxxonxxxe)(!)1(!212242nnnxonxxx
