1、2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题（线段问题）1在ABC与EDC中，ACB=ECD=60，ABC=EDC，EDC可以绕点C旋转，连接AE，BD(1)如图 1若BC=3DC，直接写出线段BD与线段AE的数量关系；求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；(2)如图 2，BC=AC=3，当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长2有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45，点G恰好落在边AB上
2、，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由(3) 若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值3复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图，已知在ABC中，ABAC，P是ABC内部任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使得QAPBAC，连接BQ，CP，则BQCP”（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQCP请你帮小亮完成证明；（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQCP”仍然成立吗？若成立，请你就图给出证明；若不成立，请说明理由4
3、如图所示，正方形中，点、分别是边、的中点，连接，（1）如图1，直接写出与的关系_；（2）如图2，若点为延长线上一动点，连接，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90，得到线段，连接求证：；直接写出、三者之间的关系；5在RtABC中，BAC90，ABC30，AC2，将ABC绕点C顺时针旋转（0360）得到，其中点A，B的对应点分别为点，（1）如图1，当落在CA的延长线上时，连接，求线段的长求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积（2）如图2，连接，所在直线与所在直线交于点M，所在直线与交于点N，当0180时，是否存在使得2MN，若存在，请求出；若不存在，请说明理由（3）如图3，所在直线与所在直线交
4、于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围6婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，ABC中，分别以AB，AC为边作RtABE和RtACD，ABAE，ACAD，BAECAD90，则有下列结论：图1中SABCSADE；如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED2AM；如图3中，若AMBC，则MA的延长线平分ED于点N（1）上述三个结论中请你选
5、择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：ABC与ADE均为等腰直角三角形，BACDAE90，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AFCE7若ABC，ADE为等腰三角形，ACBC，ADDE，将ADE绕点A旋转，连接BE，F为BE中点，连接CF，DF(1)若ACBADE90，如图1，试探究DF与CF的关系并证明；(2)若ACB60，ADE120，如图2，请直接写出CF与DF的关系8问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线
6、段BE，EF，DF之间的数量关系(1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：_；(2)拓展延伸：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由(3)尝试应用：在（2）的条件下，若，求正方形ABCD的边长9在中，点P是平面内不与点B，C重合的一动点，连接PC，将线段PC绕点P顺时针旋转得到线段PQ，连接BQ，CQ，AP，点M，N分别是线段CB，CQ的中点，连接MN(1)【观察猜想】如图1，当点P与点B在直线CA两侧，时，的值是_，直线MN
7、与直线PA所成的锐角的度数是_；(2)【类比探究】如图2，当点P与点B在直线CA两侧，时，求的值及直线MN与直线PA所成的锐角的度数；(3)【解决问题】当点P在直线BC上方，且点A，P，Q在同一条直线上时，连接BP，已知，请直接写出的值10在平面直角坐标系中，AOB为直角三角形，点O（0，0），点A（0，3），点B在轴的正半轴上，OAB=30，点P为AB的中点(1)如图，求点P的坐标；(2)以点O为中心，顺时针旋转AOP，得到A1OP1，记旋转角为（），点A，P的对应点分别为A1，P1如图，线段OA1交线段AB于点M，线段OP1交线段AB于点N，当OMN为等腰三角形时，求点A1的坐标；直线OA
8、1交直线AB于点M，直线OP1交线段AB于点N，当OMN为等腰三角形时，求的度数（直接写出结果即可）11在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F(1)若点D为边中点如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系_；如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点当时，直接写出的值12射线AB与直线CD交于点E，AED60，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60得到AG，连接FG，EG，过点G作于点H(1)如图1，点F和点G都在射线
9、AB的同侧时，EG与GH的数量关系是_；(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，请直接写出HG的长13如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连AF取AF的中点M，EF的中点N，连接MD、MN(1)请判断MD与MN之间的数量关系，直接写出结论；(2)将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180得到图2，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由
10、(3)连接DN，若AB3，CE2，将图1中的直角三角板ECF绕点C在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出DMN面积的最大值和最小值14（1）如图1，O是等边ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA3，OB4，OC5，将BAO绕点B顺时针旋转后得到BCD，连接OD求：旋转角的度数；线段OD的长；求BDC的度数（2）如图2所示，O是等腰直角ABC（ABC90）内一点，连接OA、OB、OC，将BAO绕点B顺时针旋转后得到BCD，连接OD当OA、OB、OC满足什么条件时，ODC90？请给出证明15如图，在中，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，(1)求证：四边形是矩形；(
11、2)如图2所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变，已知，求的值；(3)点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为2，求的长16【问题提出】如图1，在中，每个内角都小于120，在内有一点P，请确定点P的位置，使最小(1)【问题解决】如图2，把绕点C顺时针旋转60得到，连接PD和AE，当点B，P，D，E四点共线时，的最小值即为线段BE的长，此时_度；(2)【问题拓展】如图3，在中，点P是内一点，若，求PB的长；(3)【实际应用】如图4，是A，B，C三座城市位置的平面示意图，要在内规划建设一个物流基地（用点P表示），连接PA，PB，PC，并使最小；经测
12、量：，求的最小值17已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BEEF，BEF90，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG(1)探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图（1）中绕点B顺时针旋转45，再连接DF，取DF中点G（见图2），（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；(3)将图（1）中绕点B顺时针转动任意角度（旋转角在0到90之间），再连接DF，取DF中点G（见图3），（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论18如图1，和均为等边三角形，点，在同一直线上，连接(1)填空：的度数为_；线段，之间的数量关系为_；(2)如图2，和均为等腰直角三角形，点，在同一
13、直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在中，平面上一动点到点的距离为3，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？19已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、(1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值20在Rt中，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转得到线段ED，且ED交线段BC于点G的平分线DM交BC于点H过点C作交DM于点F，连接EF
14、、BE(1)如图1，若，判断线段BE与DH的数量关系，并说明理由；求证：；(2)如图2，若，请直接写出的值（用含m的式子表示）参考答案：1(1)BD=3AE，直线BD与AE所夹锐角为60(2)2（1）DE2AM，DEAM；（2）成立，（3）3（2）成立，4（1），；（2）5（1）4；2；（2）存在，60；（3）1MK37(1)DF=CF且DFCF(2)DFCF且CFDF8(1)EF=BE+DF(2)成立，(3)69(1)，60；(2)，直线MN与直线PA所成的锐角的度数30；(3)10(1)P（）(2)A1的坐标为（）；的度数为45或90或13511(1)；仍然成立；(2)或12(1)；(2)，(3)或13(1)MD=MN(2)成立，(3)最大值为，最小值为14（1）60；4；150；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2OC2时，ODC90，15(2)(3)PD3+16(1)120(2)3(3)km17(1)EGCG且EGCG，(2)（1）中的结论仍然成立，(3)（1）中的结论仍然成立，18(1)，(2)；(3)当时，的最小值为，当、三点在同一条直线上时，的最大值为19(1)(3)20(1)，(2)的值为15
