1、4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念 问题问题1 随着随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区两个景区自自2001年起采取了不同的应对措施，年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，地提高了门票价格，B地则取消了门票地则取消了门票.下表下表给了给了A、B两个景区两个景区20012015年的游客人次及逐年增加量年的游客人次及逐年增加量.思考思考 比较比较一下两地景区一下两地景区旅游人次的变化情况，旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？你发现了怎样的规律？为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：A地区经营地比较平衡，B地区发展比较
2、快.0200400600800100012001400200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015A景区人次景区人次/万次万次B景区人次景区人次/万次万次 通过观察通过观察图像和图像和表格，可以发现：表格，可以发现：A景区的游客人次近景区的游客人次近似于似于直线上升直线上升(线性线性增长增长)，年增加量大，年增加量大致相等致相等(约为约为10万人万人次次)；B景区的游客景区的游客人次是人次是非线性增非线性增长，年增加量越来长，年增加量越来越大越大，但从图象和但从图象和年增加量都难看出年增加量都难看出变化规律变化规律.探
3、究探究 我们我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么那么能能否否通过对通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？若从若从2002年起，将年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到得到注意：增加量=变后量-变前量增长率=增加量变前量 结论：结果结论：结果表明，表明，B景区的游客人次的年增长率都约为景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数是一个常数.2002309=1.112001278年游客人数年游
4、客人数2003344=1.112002309年游客人数年游客人数20151244=1.11.20141118年游客人数年游客人数 做减法可以得到游客人次的年增长量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增长量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量.总结：像总结：像这样，增长率为常数的变化方式这样，增长率为常数的变化方式，我们我们称为称为指数增长指数增长.因此因此，B景景区的区的游客人数游客人数近似于指数增长近似于指数增长.即即从从2011年起，每一年的游客人次都是上一年起，每一年的游客人次都是上一年年的的1.1倍左右，增长量越来越多倍左右，增长量越来越多.其变化规律可以近似描述为：其变化规律可
5、以近似描述为：这就是这就是指数函数指数函数，其中指数，其中指数x是自变量是自变量.1年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.111倍；倍；2年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.112倍；倍；3年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.113倍；倍；x年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.11x倍倍.如果设经过如果设经过x年后游客人次为年后游客人次为2001年的年的y倍，那么倍，那么 y=1.11x(x0,+).指数指数增长增长 问题问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减含量会按确定的比率
6、衰减(称称为衰减率为衰减率)，大约每经过，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰半衰期期”.按照上述变化规律，生物内碳按照上述变化规律，生物内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？含量与死亡年数之间有怎样的关系？分析：分析：设死亡生物体内碳设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物，如果把刚死亡的生物内碳内碳14含量看成含量看成1个单位，那么个单位，那么死亡死亡1年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量为含量为 1-1p=(1-p)1；死亡死亡2年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量为含量为(1-p)-(1-p
7、)p=(1-p)2；死亡死亡3年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量为含量为(1-p)3；死亡死亡5730年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量为含量为(1-p)5730.1573011()2p 设生物死亡年数为设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳，死亡生物体内碳14含量为含量为y，那么，那么157301(1)()2xxyp这也是这也是指数函数指数函数，其中指数，其中指数x是自变量是自变量.指数指数衰减衰减指数函数的定义：指数函数的定义：如果如果用用字母字母a代替代替上述两个问题中的底数上述两个问题中的底数1.11和和 ，那么那么函数函数y=1.11x 和和 就可以表示为就可以表示为y=ax
8、的形式的形式.其中指数其中指数x是自变量，底数是自变量，底数a是一是一个大于个大于0且不等于且不等于1的常数的常数.157301()2157301()2xy 一般一般地，函数地，函数y=ax(a0，且，且a1)叫做叫做指数函数指数函数.其中指数其中指数x是自变量，定是自变量，定义域为义域为R.思考思考1 指数函数指数函数y=ax中中为什么为什么规定规定a0且且a1？解：两个都是指数函数，因为解：两个都是指数函数，因为1()xxyaa；思考思考2 指数函数指数函数y=ax(a0,且且a1)的解析式有什么特征？的解析式有什么特征？底数底数a0，且，且a1；指数函数的定义只是一个形式定义指数函数的定
9、义只是一个形式定义.判断一个函数是否为指数函数关判断一个函数是否为指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征.ax的系数为的系数为1；自变量自变量x的系数为的系数为1.思考思考3 下列两个函数是指数函数吗？下列两个函数是指数函数吗？(1)函数函数 (a0,且且a1)；(2)y=42x-2.xya2224 2222.xxxyxC64 例例1 已知指数函数已知指数函数f(x)=ax(a0,且且a1)，且，且f(3)=，求，求f(0),f(1),f(-3)的值的值.教材教材115页练习页练习C解：解：由由f(3)=，可得
10、，可得a3=，于是，于是a 13 xf x 3().fff 131(0)1,(1),(3).1.下列下列图象中，有可能表示指数函数的是图象中，有可能表示指数函数的是().4.2.2 指数函数的图象与性质指数函数的图像和指数函数的图像和性质：性质：在在同一坐标系中作出底数不同的指数函数同一坐标系中作出底数不同的指数函数图象，如图示图象，如图示.一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：a的范围的范围0a1图象图象性质性质定义域定义域值域值域 过定点过定点 单调性单调性奇偶性奇偶性R(0,)(0,1)在在R上是减上是减函数函数 在在R上是增上是增函数函数非奇非
11、偶函数非奇非偶函数1.指数函数指数函数在在y轴右侧轴右侧的第一象限内图象中底数的第一象限内图象中底数越越大图象越大图象越高高.简称：简称：底底大图大图高高.2.当当a1且且x0时，时，y1；3.指数函数指数函数图像下端图像下端与与x轴轴无限接近无限接近，但，但永不相交永不相交.思考思考 指数函数指数函数的的图象有何特点？图象有何特点？当当a1且且x0时，时，0y1；当当0a0时，时，0y1；当当0a1且且x1.2.53(1)1.72.531.71.7.xy 解：函数是增函数，且，23(2)0.8230.80.8.xy 函数是减函数，且-，0.303.100.3.3.1(3)1.71 0.90.
12、91,1.70.9.由指数函数的性质可知1.7，教材教材118页练习页练习 1.在同一直角坐标系中画出在同一直角坐标系中画出函数函数 的的图象，并说明它们的图象，并说明它们的关系关系.xxyy13()3和和xOy1解：解：13().3xxyyy 函函数数和和的的图图象象关关于于 轴轴对对称称教材教材118页练习页练习教材教材118页练习页练习 3.体内体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅画一幅能反能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.解：解：可用可用指数函数指数函数S=S0at来来刻画体内癌细胞数量刻画体内癌细胞数量S随时间随时间t变化的规律，其中初始变化的规律，其中初始量量S0 0，增长比例，增长比例a1,t0.如图示如图示.xOyS0AAC课堂检测：课堂检测：C
