1、第2 2课时集合的表示方法课标阐释思维脉络1.掌握集合的表示方法列举法和描述法.(数学抽象)2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换.(直观想象)激趣诱思知识点拨语言是人与人之间相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐”,用繁体中文为“生日快樂”,英文为“Happy Birthday”那么,对于一个集合,有哪些不同的表示方法呢?激趣诱思知识点拨知识点一、列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.名师点析 用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)元素与元素之间需用“,”隔开.(2)集合中的元素必须是确定的.(3)
2、不必考虑元素出现的前后顺序,但不能重复.例如,集合1,3与3,1表示同一个集合.(4)一般地,列举法适用于有限集:元素个数有限且比较少时,可以全部列举出来,如1,2,3;元素个数有限且比较多时,可以列举一部分,中间用省略号表示,称为中间省略列举,如从1到1 000的所有正整数组成的集合,可以表示为1,2,3,1 000.激趣诱思知识点拨(5)对于含有较多元素的无限集,如果元素的排列呈现一定的规律,在不发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.如自然数集N可以表示为0,1,2,3,称为尾端省略列举.(6)这里集合的“”已包含“所有”的意思.例如:整数,即代表整数集Z,所以
3、不能写成全体整数.激趣诱思知识点拨微练习(1)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为()A.0,1B.(0,1)(2)用列举法表示下列集合:方程x2-9=0的解构成的集合;不大于100的自然数构成的集合.激趣诱思知识点拨答案:B(2)解:-3,3.0,1,2,3,100.激趣诱思知识点拨知识点二、描述法一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x),这种表示集合的方法称为描述法.名师点析 使用描述法表示集合时要注意:(1)写清该集合中元素的代表符号,如x|x1不能写成x1;(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;
4、(3)不能出现未被说明的字母,如xZ|x=2m中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的;(4)所有描述的内容都要写在花括号内,如“xZ|x=2m,mN+”不符合要求,应将“mN+”写进“”中,即xZ|x=2m,mN+;激趣诱思知识点拨(5)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若xR是明确的,则xR可省略不写,如集合D=xR|x20也可表示为D=x|x20;(6)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如x|x1;(7)“”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为x|x是实数,但如果写成x|x是所有实数、x|x是全体实数、x|x是实数集都是
5、错误的,因为“”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,此处是初学者容易犯的错误,要注意领会.激趣诱思知识点拨微思考(1)如何理解定义中的“共同特征P(x)”?提示:属于集合A的任意一个元素都具有性质P(x),而不属于集合A的元素都不具有性质P(x).(2)什么类型的集合适合用描述法表示?提示:含有较多元素的有限集或无限集,且元素的共同特征可以统一描述.激趣诱思知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)0,1与(0,1)表示相同的集合.()(2)用列举法表示集合x|x2-2x+1=0为1,1.()(3)x|x-1与t|t-1表示同一集合.
6、()(4)集合(x,y)|x0,y0,x,yR是指第一象限内的点集.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用列举法表示集合用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为-1,1.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集
7、合用列举法表示为s,e.(3)正整数有1,2,3,所求集合用列举法表示为1,2,3,.反思感悟 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.(2)“”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”.元素之间无顺序,满足无序性.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正因数组成的集合;(2)不大于10的正偶数组成的集合;解:(1)1,3,5,15.(2)2,4,6,8,10.(3)(-3,0).探究一探究二探究三探究四素养形成当
8、堂检测用描述法表示集合用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-23.(3)不等式x-23的解是x5,则不等式x-23的解组成的集合用描述法表示为x|x5.反思感悟 1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的
9、集合;(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;解:(1)(x,y)|xR,y=0.(2)(x,y)|y=x2-4.(3)x|x1.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合表示方法的选择与转换集合表示方法的选择与转换例4用适当的方法表示下列集合:(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y=x
10、2上的所有点组成的集合.分析依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3用列举法和描述法分别表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数组成的集合用列举法表示为0,2,4,6,8,
11、10,用描述法表示为x|0 x10,且x=2n,nN.(2)方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合用列举法表示为0,1,用描述法表示为x|x2=x.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知集合中元素个数求参数的值或取值范围已知集合中元素个数求参数的值或取值范围例5若集合A=x|kx2-8x+16=0只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.分析明确集合A的含义对k加以讨论求出k的值写出集合A解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A=2.当k0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需=64-64k=0,即k=1.
12、此时方程的解为x1=x2=4,集合A=4,满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A=2;当k=1时,A=4.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究 1例5
13、中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.解得k1,且k0.故k的取值集合为k|k1.综上,实数k的取值集合为k|k=0,或k1.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合语言的综合应用集合语言的综合应用(1)集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.已知集合A=,则下列关系式不成立的是()A.0AB.1.5AC.-1AD.6A 解析:由题意知A=0,1,2,3,4,5,故选D.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.(2020山东高一月考)集合xN|x-3
14、2用列举法表示是()A.1,2,3,4B.1,2,3,4,5C.0,1,2,3,4,5D.0,1,2,3,4解析:由题意x5,又xN,所以集合为0,1,2,3,4.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.集合A=(x,y)|x+y=6,x,yN用列举法表示为.答案:A=(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)4.分别用描述法和列举法表示下列集合:(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.解:(1)集合用描述法表示为x|x2-x-2=0;由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为-1,2.(2)集合用描述法表示为xZ|1x5;用列举法表示为2,3,4.
