1、2020 届高三新题速递数学（理） 考点 01-03 考点考点 01 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 P1 考点考点 02 函数及其性质函数及其性质 P7 考点考点 03 导数及其应用导数及其应用 P16 考点考点 01 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 1辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试（理） 【答案】 2重庆市南开中学 2020 届高三上学期第一次教学质量检测（理）已知集合 2 |230Ax xx， |21 x By y，则AB A B1,3 C0,3 D 1, 【答案】B 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】 由已知解得1,3
2、 ,1,AB ，所以1,3AB ，故选 B 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 3海南省东方市八所中学 2020 届高三上学期第二次月考（理） 【答案】A 4 湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测 （理） 已知集合 2 20Ax xx， 则A R A 12xx B12xx C| 12x xx x D|1|2x xx x 【答案】B 【解析】 分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出 2 20xx的解集，从而求得集合 A，之后根据集合补 集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式 2 20xx得 12xx 或， 所以|12Ax xx
3、 或， 所以可以求得| 12Axx R ，故选 B 点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明 确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 5贵州省铜仁一中 2019-2020 学年度高三第二次模拟考试（理）已知集合 2 230Axxx ， 1 0 2 Bx x ，则AB A 13 22 xx B 3 2 x x C 1 -1 2 xx D1x x 【答案】D 【解析】 【分析】 考查集合的基本运算，由条件可计算出 A、B 两集合，然后计算即可. 【详解】由题可得： 2 3 230 =1 2 Axxxxx ； 11 0 22
4、 Bx xx x 1ABx x ，故选择 D 【点睛】考查集合的基本运算.属于简单题. 6安徽省合肥一中、安庆一中等六校 2020 届高三上学期第一次素质测试（理）设全集U R，集合 | 14Mxx ， 2 |log (2)1Nxx，则 U MN A B | 4 2xx C |40， 则若存x 1 2 ，2，使得 ex(xb)+xex(xb+1)0， 即存在 x 1 2 ，2，使得 b 22 1 xx x 成立， 令 2 21 ,2 12 xx g xx x ， 则 2 2 22 0 1 xx gx x ， g(x)在 1 ,2 2 递增， g(x)最大值=g(2)= 8 3 ， 则实数b的取
5、值范围是 8 3 b . 【点睛】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成 立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到 11河南省新乡市 2020 届高三上学期第一次模拟考试（理）已知函数).0( 1)( 3 aexxf ax （1）讨论)(xf的单调性； （2）若2a，不等式xmxxfln3)(对), 0( x恒成立，求m的取值范围. 【答案】 12贵州省铜仁一中 2019-2020 学年度高三第二次模拟考试（理）已知函数 1 lnf xxa ax
6、 R，且 0 sinaxdx . （1）判断函数 f x的单调性； （2）若方程 f xm有两个根为 1 x， 2 x，且 12 xx，求证： 12 1xx. 【答案】 （1） f x在 1 0, 2 上是单调递减，在 1 , 2 上是单调递增； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）定积分为载体，可求解a的值，从而 f x不含有参数，求其单调性，变为常规题. （2）可以通过比值代换法 1 2 x t x ，经过代数变形，将所证的双变量 12 ,x x的不等式化为单变量t的函数 不等式，再次构造关于t的函数，研究最值从而得证. 【详解】 （1）函数 f x的定义域：0,. 2a ， 1
7、ln 2 f xx x ， 22 1121 22 x fx xxx ， 令 0fx ，解得 1 0 2 x，故 f x在 1 0, 2 上是单调递减； 令 0fx ，解得 1 2 x ，故 f x在 1 , 2 上是单调递增 （2）由 1 x， 2 x为函数 f xm的两个零点，得 1 1 1 ln 2 xm x ， 2 2 1 ln 2 xm x ， 两式相减，可得 12 12 11 lnln0 22 xx xx ，即 112 21 2 ln 2 xxx xx x ， 12 12 1 2 2ln xx x x x x ， 因此 1 2 1 1 2 1 2ln x x x x x ， 2 1
8、2 1 2 1 2ln x x x x x ，令 1 2 x t x ， 由 12 xx，得0 1t 则 12 11 1 1 2ln2ln2ln t t tt xx ttt ， 构造函数 1 2ln01h tttt t ， 则 2 22 112 10 t h t ttt ， 函数 h t在0,1上单调递增，故 1h th， 即 1 2ln0tt t ，可知 1 1 2ln t t t 故命题 12 1xx得证 【点睛】不含参函数单调性研究，属于简单题 该类型考题在前几年高考中出现过极值点偏移问题；本题中运用做差法去除参数 m 的干扰，搭建 起关于双变量 12 ,x x的等量关系 （并且还是其次
9、） ， 可以通过比值代换法 1 2 x t x 将双变量变为单变量函数 h t，从双变量到单变量，达到划归的思想.从而得证. 13安徽省合肥一中、安庆一中等六校 2020 届高三上学期第一次素质测试（理）已知函数 1f xx， 1 x g xaxe （1）记 x f x h xx e ，试判断函数 h x的极值点的情况； （2）若 af xg x有且仅有两个整数解，求实数a的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2） 2 2 ,1 21 e e . 【解析】 【分析】 （1）求导后可知 h x 的符号由 2 x xex的符号决定；根据 x的单调性，结合存在性定理 可知存在唯一的 0 0,1x
10、，使得 0 0x，从而得到 h x得单调性，根据极值与单调性的关系可 确定极值点； （2）将所求不等式化为 1ah x ；当0a 和0a 时，根据（1）的结论可验证出都有 无穷多个整数解，不合题意；当0a 时，若1a ，由xZ时， 1h x 可知无整数解，不合题意； 若01a，可知 2 11 22 1 112 h ea he a ，解不等式组求得结果. 【详解】 （1）由 1 x x h xx e 得： 2 x x ex h x e ， 设 2 x xex，则 x在R上单调递增， 又 01 ， 110e ， 存在唯一的 0 0,1x ，使得 0 0x，即 0 0h x， 当 0 ,xx 时，
11、0h x；当 0, xx时， 0h x， h x在 0 ,x上单调递减；在 0, x 上单调递增， 0 xx为 h x的极小值点，无极大值点. （2）由 af xg x得： 1 1 x x a x e ，即 1ah x . 当0a 时，01恒成立， af xg x有无穷多个整数解，不合题意. 当0a 时， 1 h x a ， 1 0 a ， 01h， 11h，当xZ时，由（）知： 1h x ， 1 h x a 有无穷多个整数解，即 af xg x有无穷多个整数解，不合题意. 当0a 时， 1 h x a ， i.当01a时， 1 1 a ，又 011hh， 两个整数解为：0,1， 2 11 2
12、2 1 112 h ea he a ，解得： 2 2 ,1 21 e a e . ii.当1a 时， 1 1 a . 当xZ时，由（）知： 1h x ， 1 h x a 无整数解，不合题意. 综上所述： 2 2 ,1 21 e a e . 【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解极值点个数、根据整数解个数求解参数范围 的问题；与整数解有关的范围问题的求解关键是能够确定自变量为整数时函数的值域，进而根据整数 解个数确定临界整数所对应的函数值的范围，从而得到不等关系. 14江苏省海安高级中学 2020 届第二次学测已知函数 lnf xx （1）求函数 1g xf xx 的零点；
13、 （2）设函数 f x的图象与函数1 a yx x 的图象交于 11 A xy， ， 1112 B xyxx， 两 点，求证： 121 ax xx； （3）若0k ，且不等式 2 2 11xf xk x对一切正实数 x 恒成立，求 k 的取值范围 【答案】 15甘肃省天水市一中 2020 届高三第一次模拟考试（理）设函数( )aln(1) 1 x f xx x ， ( )ln(1)g xxbx （1）若函数 f（x）在0x 处有极值，求函数 f（x）的最大值； （2） 是否存在实数 b， 使得关于 x 的不等式( )0g x在(0,)上恒成立？若存在， 求出 b 的取值范围； 若不存在，说明理
14、由； 【答案】 （1）函数 f（x）的最大值为0（2）存在1,)b，详见解析. 【解析】 【分析】 （1）函数 f（x）在0x 处有极值说明 00f （2）对 g x求导，并判断其单调性. 【详解】 解： （1）由已知得： 2 1 ( ) (1)1 a fx xx ，且函数 f（x）在0x 处有极值 2 1 (0)0 (1 0)1 0 a f ， 1a ( )ln(1) 1 x f xx x ， 22 11 ( ) (1)1(1) x fx xxx 当( 1,0)x 时，( )0fx ，f（x）单调递增； 当(0,)x时，( )0fx ，f（x）单调递减； 函数 f（x）的最大值为(0)0f
15、（2）由已知得： 1 ( ) 1 g xb x 若1b，则0,)x时， 1 ( )0 1 g xb x ( )ln(1)g xxbx在0,)上为减函数， ( )ln(1)(0)0g xxbxg在(0,)上恒成立； 若0b，则0,)x时， 1 ( )0 1 g xb x ( )ln(1)g xxbx在0，+）上为增函数， ( )ln(1)(0)0g xxbxg， 不能使( )0g x在(0,)上恒成立； 若01b，则 1 lg ( )0 1 xb x 时， 1 1x b ， 当 1 0,1x b 时，( ) 0g x ， ( )ln(1)g xxbx在 1 0,1 b 上为增函数， 此时( )l
16、n(1)(0)0g xxbxg， 不能使( )0g x在(0,)上恒成立； 综上所述，b 的取值范围是1,)b 【点睛】 本题主要考查了函数的极值，以及函数单调性的讨论，在解决此类问题时关键求导，根据导数判断单 调性以及极值.属于难题. 16广深珠三校 2020 届高三第一次联考（理）已知函数 ( )ln2f xxx （1）求曲线 ( )yf x 在1x 处的切线方程； （2）函数 ( )f x在区间( ,1)()k kkN上有零点，求k的值； （3）若不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合 【详解】 （1） 1 ( )1fx x ，所以切
17、线斜率为 (1)0 f ， 又 (1)1f ，切点为(1, 1) ，所以切线方程为 1y -2 分 （2）令 1 ( )10fx x ，得1x ， 当01x时， ( )0fx ，函数 ( )f x单调递减； 当1x 时， ( )0fx ，函数 ( )f x单调递增， 所以 ( )f x的极小值为(1)10f ，又 2222 1111 ()ln20 eeee f， 所以 ( )f x在区间(0,1)上存在一个零点 1 x，此时0k ； 因为 (3)3ln321 ln30f ， (4)4ln4222ln22(1 ln2)0f ， 所以 ( )f x在区间(3,4)上存在一个零点 2 x，此时3k
18、综上，k的值为 0 或 3 -6 分 （3）当1x 时，不等式为 (1)10g 显然恒成立，此时mR； 当01x时，不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 可化为 ln 1 xxx m x ， -7 分 令 ln ( ) 1 xxx g x x ，则 22 ln2( ) ( ) (1)(1) xxf x g x xx ， 由（2）可知，函数 ( )f x在(0,1)上单调递减，且存在一个零点 1 x， 此时 111 ( )ln20f xxx，即 11 ln2xx 所以当 1 0xx时，( )0f x ，即( )0g x，函数( )g x单调递增； 当 1 1xx时，( )0f x ，
19、即( )0g x，函数( )g x单调递减 所以 ( )g x有极大值即最大值 111111 11 11 ln(2) () 11 xxxx xx g xx xx ，于是 1 mx-9 分 当1x 时，不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 可化为 ln 1 xxx m x ， 由（2）可知，函数 ( )f x在(3,4)上单调递增，且存在一个零点 2 x，同理可得 2 mx 综上可知 12 xmx 又因为 12 (0,1), (3,4)xx，所以正整数m的取值集合为1,2,3-12 分 17 湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测 （理） 已知函数 1 ( )sinln
20、1 22 m f xxxx， ( )fx 是 ( )f x的导函数. （1）证明：当2m时，( )fx 在(0,)上有唯一零点； （2）若存在 12 ,(0,)x x ，且 12 xx时， 12 f xf x，证明： 2 12 x xm. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出( )fx ，当(0, )x时，( )fx 单调递增，利用0 3 f 和( )0f 判断出(0, )x上 有唯一零点.当 ,)x时，( )fx 的最小值大于零， 则( )fx 在 ,)上没有零点. （2） 令， 2 1 x t x ， 将 2 12 x xm转化为 1 ln t t t
21、，再构造函数利用导数证明最小值小于 0. 【详解】 （1）证明：当2m时， 1 ( )sinln1 2 f xxxx， 11 ( )1cos 2 fxx x . 当(0, )x时，( )fx 为增函数，且 1333 10 344 f ， 31 ( )0 2 f ， ( )fx 在(0, )上有唯一零点； 当 ,)x时， 11 ( )1cos 2 fxx x 1111 10 22x 厖， ( )fx 在 ,)上没有零点. 综上知，( )fx 在(0,)上有唯一零点. （2）证明：不妨设 12 0xx，由 12 f xf x得 111 1 sinln1 22 m xxx 222 1 sinln1
22、22 m xxx， 212121 1 lnlnsinsin 22 m xxxxxx. 设( )sing xxx，则( )1 cos0g xx ，故( )g x 在(0,)为增函数， 2211 sinsinxxxx，从而 2121 sinsinxxxx， 21 lnln 2 m xx 212121 11 sinsin 22 xxxxxx， 21 21 lnln xx m xx ， 下面证明： 21 12 21 lnln xx x x xx . 令 2 1 x t x ，则1t ，即证明 1 ln t t t ，只要证明 1 ln0 t t t .（*） 设 1 ( )ln t h tt t ，则
23、 2 1 ( )0 2 t h t t t ，( )h t在(1,)单调递减. 当1t 时，( )(1)0h th，从而（*）得证，即 21 12 21 lnln xx x x xx . 12 mx x，即 2 12 x xm. 【点睛】 （1）零点问题可利用函数单调性和零点存在性定理来解决. （2）通过换元将两个变量转化为一个变量，构造函数，利用导数来证明不等式. 本题是一道综合性的难题. 18重庆市南开中学 2020 届高三上学期第一次教学质量检测（理）已知aR，函数 2 222 ln5f xxaxax. （1）讨论 f x的单调性； （2）设函数 2 1 2ln 2 g xxxxm，若
24、f x恰有两个零点 1212 ,x xxx，且当 12 xxx时， 0f xg x，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析； （2） 1 2 m . 【解析】 【分析】 (1)对函数求导函数后，讨论参数的范围使之能判断导函数的符号，从而得原函数的单调性； (2)由(1)得两个零点的范围，从而得参数的范围，建立不等式求解. 【详解】 解析： （1） 212 222 xxaa fxxa xx ，0x ，故 当0a 时， f x在0,1上单减，在 1,上单增； 当01a时， f x在0,a和 1,上单增，在 ,1a上单减； 当1a 时， f x在0,上单增； 当1a 时， f
25、x在0,1和, a 上单增，在1,a上单减； （2）结合（1）知1a ； 当0a 时， 1420fa，故 0f x ，不存在零点； 又当0x时， f x ，当x 时， f x ，当01a时， 1420fa， f x只有一个零点； 故1a ， 此时 f x存在两个零点且当 12 xxx时 010f xf即 2a ， 此时 1 1x ， 2 2x ， 212 1 xx gxx xx ， g x在1,2上单增， 2 2,x上单减， 而 2 2222 11 12ln 22 g xgxxx，又 2 222 64ln50xxx，代入式得 2 22222 14313g xgxxxx ， 又 34ln340f，故 2 2,3x ， 2 10g xg即 2 1g xg， 10g即可， 1 2 m . 【点睛】 本题考查根据导函数的正负研究原函数的图像趋势，进而解决相关的零点、不等式恒成立或满足不等 式求解参数的范围等问题，属于难度题. 19黑龙江哈尔滨师范大学附属中学 2020 届上学期期中考试（理） 20辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试（理） 【答案】
