1、中考数学复习微专题中考数学复习微专题勾股定理的应用举例勾股定理的应用举例1.1.最短路程问题最短路程问题几何体上的最短路程是将立体图形的几何体上的最短路程是将立体图形的_展开展开,转化为转化为_上的路程问题上的路程问题,再利用再利用_上两点之间上两点之间,_,_最最短短,解决最短路程问题解决最短路程问题.侧面侧面平面平面平面平面线段线段2.2.要判断一个角是否是直角的方法要判断一个角是否是直角的方法(1)(1)以角的以角的_为端点为端点,在两边上分别截取长度为在两边上分别截取长度为_的线段的线段,连接两截点得一个连接两截点得一个_._.(2)(2)测量测量_长度长度.(3)(3)试算三边的平方
2、试算三边的平方,判断是否满足判断是否满足_;_;满足满足,则该角是则该角是_._.顶点顶点整数整数三角形三角形第三边第三边a a2 2+b+b2 2=c=c2 2直角直角3.3.勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用(1)(1)构造合适的构造合适的_三角形三角形.(2)(2)利用勾股定理构造利用勾股定理构造_解决实际问题解决实际问题.直角直角方程方程知识点一知识点一 路径最短问题路径最短问题例例1.1.如图如图,长方体的长为长方体的长为15,15,宽为宽为10,10,高为高为20,20,点点B B到点到点C C的距离为的距离为5,5,一只蚂蚁如果要沿着长一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点方体的表
3、面从点A A爬到点爬到点B,B,需要爬行的最短需要爬行的最短距离是距离是()B BA.20A.20B.25B.25C.30C.30D.32D.32【规范解答规范解答】只要把长方体的右侧表面剪开与前面所只要把长方体的右侧表面剪开与前面所在的平面形成一个长方形在的平面形成一个长方形,如图如图1:1:长方体的侧面展开图长方体的侧面展开图 因为长方体的宽为因为长方体的宽为10,10,高为高为20,20,点点B B到点到点C C的距离是的距离是5,5,所以所以BD=CD+BCBD=CD+BC线段的和线段的和=10+5=15=10+5=15代入计算代入计算AD=20,AD=20,在直角三角形在直角三角形A
4、BDABD中中,所以所以ABAB2 2=BD=BD2 2+AD+AD2 2=15=152 2+20+202 2=625=625勾股定理勾股定理所以所以AB=25.AB=25.只要把长方体的右侧表面剪开与上面所在的平面形只要把长方体的右侧表面剪开与上面所在的平面形成一个长方形成一个长方形,如图如图2:2:长方体侧面展开图长方体侧面展开图因为长方体的宽为因为长方体的宽为10,10,高为高为20,20,点点B B到点到点C C的距离是的距离是5,5,所以所以BD=CD+BCBD=CD+BC线段的和线段的和=20+5=25=20+5=25代入计算代入计算AD=10,AD=10,在直角三角形在直角三角形
5、ABDABD中中,所以所以ABAB2 2=BD=BD2 2+AD+AD2 2=25=252 2+10+102 2=725=725勾股定理勾股定理只要把长方体的上表面剪开与后面所在的平面形成只要把长方体的上表面剪开与后面所在的平面形成一个长方形一个长方形,如图如图3:3:长方体侧面展开图长方体侧面展开图因为长方体的宽为因为长方体的宽为10,10,高为高为20,20,点点B B到点到点C C的距离是的距离是5,5,所以所以AC=CD+ADAC=CD+AD线段的和线段的和=10+20=30=10+20=30 代入计算代入计算在直角三角形在直角三角形ABCABC中中,所以所以ABAB2 2=AC=AC
6、2 2+BC+BC2 2=30=302 2+5+52 2=925=925 勾股定理勾股定理因为因为625725925,625725925,所以蚂蚁爬行的最短距离是所以蚂蚁爬行的最短距离是25,25,总结：总结：求立体图形中最短路径问题的求立体图形中最短路径问题的“四步法四步法”1.1.将立体图形展开为平面图形将立体图形展开为平面图形.注意注意:(1)(1)只需展开包含相关点的面只需展开包含相关点的面.(2)(2)可能存在多种展开法可能存在多种展开法.2.2.确定相关点的位置确定相关点的位置.3.3.连接相关点连接相关点,构造直角三角形构造直角三角形.4.4.根据勾股定理求解根据勾股定理求解.变
7、式训练：变式训练：1.1.如图是一个棱长为如图是一个棱长为6 6的正方体盒子的正方体盒子,一只一只蚂蚁从棱蚂蚁从棱CDCD上的中点上的中点A A出发出发,沿盒子的表面沿盒子的表面爬到棱爬到棱DEDE上后上后,接着又沿盒子的表面爬到接着又沿盒子的表面爬到盒底的盒底的B B处处,那么那么,整个爬行中整个爬行中,蚂蚁要爬行的最短路程为蚂蚁要爬行的最短路程为_._.1515解解:如图如图,作点作点A A关于关于DEDE的对称点的对称点A,A,连接连接AB,AB,则则ABAB即为蚂蚁要爬行的最短路程即为蚂蚁要爬行的最短路程,所以所以ABAB2 2=(6+3)=(6+3)2 2+(6+6)+(6+6)2
8、2=225,=225,所以所以AB=15.AB=15.知识点二知识点二 勾股定理和逆定理的实际应用勾股定理和逆定理的实际应用例例2.2.如图如图,一个工人拿一个一个工人拿一个2.5 m2.5 m长的梯子长的梯子,底端底端A A放在距离墙根放在距离墙根C C点的点的0.7 m0.7 m处处,另一头另一头B B点靠墙点靠墙,如果梯子的顶部下滑如果梯子的顶部下滑0.4 m,0.4 m,梯子梯子的底部向外滑出多少的底部向外滑出多少?【规范解答规范解答】因为因为AB=2.5 m,AC=0.7 m,AB=2.5 m,AC=0.7 m,所以所以BCBC2 2=AB=AB2 2-AC-AC2 2=2.4=2.
9、42 2,所以所以BC=2.4 mBC=2.4 m勾股定理勾股定理因为梯子的顶部下滑因为梯子的顶部下滑0.4 m,0.4 m,所以所以BE=0.4 m,BE=0.4 m,所以所以EC=BC-0.4=2 mEC=BC-0.4=2 m线段的差线段的差所以所以DCDC2 2=DE=DE2 2-EC-EC2 2=1.5=1.52 2,所以所以DC=1.5 mDC=1.5 m勾股定理勾股定理所以梯子的底部向外滑出所以梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=0.8 mAD=1.5-0.7=0.8 m线段线段的差的差总结：总结：勾股定理及其逆定理实际应用的一般步骤勾股定理及其逆定理实际应用的一般步骤1.1.
10、要把实际问题转化成数学问题要把实际问题转化成数学问题,对于需要画图表示的对于需要画图表示的,一定要从数学问题中抽象出正确的几何图形一定要从数学问题中抽象出正确的几何图形.2.2.通过分析通过分析,运用勾股定理的逆定理来验证它是否为直运用勾股定理的逆定理来验证它是否为直角三角形角三角形,然后利用直角三角形的性质解决实际问题然后利用直角三角形的性质解决实际问题.【变式训练变式训练】1.1.如图如图,一架云梯长一架云梯长2525米米,斜靠在一面墙上斜靠在一面墙上,梯子底端离梯子底端离墙墙7 7米米,如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了8 8米米,那么梯子的顶端下滑
11、那么梯子的顶端下滑()A.10A.10米米B.8B.8米米C.6C.6米米D.4D.4米米D D解解:如图标上字母如图标上字母.在在RtRtAOBAOB中中,AOB=90,AOB=90,AB=25,AB=25米米,OB=7OB=7米米,所以所以OAOA2 2=AB=AB2 2-OB-OB2 2=576,=576,所以所以OA=24OA=24米米.在在RtRtCODCOD中中,COD=90,COD=90,CD=25,CD=25米米,OD=7+8=15,OD=7+8=15米米,所以所以OCOC2 2=CD=CD2 2-OD-OD2 2=20=202 2,所以所以OC=20OC=20米米,所以所以A
12、C=OA-OC=4AC=OA-OC=4米米.1.如图,校园内有两棵树,相距8 m,一棵树高13 m,另一棵树高7 m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞(C)A.8 m B.9 m C.10 m D.11 m真题反馈：真题反馈：2.李明想知道学校旗杆的高李明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地他发现旗杆上的绳子垂到地面还多面还多1 m,1 m,当它把绳子的下端拉开当它把绳子的下端拉开5 m5 m后后,发现下端刚好发现下端刚好接触地面接触地面,则旗杆的高为则旗杆的高为_1212_ m._ m.真题反馈：真题反馈：3.如图所示如图所示,一棱长为一棱长为3 cm3 cm的正方体的正方体,把所有的面均分成把所有的面均分成3 33 3的小正方形的小正方形.其边长都为其边长都为1 cm,1 cm,假设一只蚂蚁每秒爬假设一只蚂蚁每秒爬行行2 cm,2 cm,则它从下底面点则它从下底面点A A沿表面爬行至侧面的沿表面爬行至侧面的B B点点,最短最短路径长的平方是多少路径长的平方是多少?真题反馈：真题反馈：
