1、 解析几何解析几何 平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法为此，我们要关注：将几何问 题代数化， 用代数语言描述几何要素及其关系， 将几何问题转化为代数问题， 处理代数问题， 分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题 在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法要善于 应用初中平面几何、 高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、 圆和圆锥曲线的综合问题 81 直角坐标系直角坐标系 【知识要点】【知识要点】 1数轴上的基本公式 设数轴的原点为 O， A， B 为数轴上任意两点， OBx2， OAx1， 称 x2x1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量 ABx2x1
2、；数轴上两点 A，B 的距离公式是 d(A，B)|AB|x2x1| 2平面直角坐标系中的基本公式 设 A，B 为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点之间的距离 公式是.)()(|),.( 2 12 2 12 yyxxABBAd A，B 两点的中点 M(x，y)的坐标公式是 2 , 2 2121 yy y xx x 3空间直角坐标系 在空间直角坐标系 Oxyz 中，若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B 两点之间的距离 公式是 .)()()(|),( 2 12 2 12 2 12 zzyyxxABBAd 【复习要求】【复习要求】 1掌握
3、两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为 解析法)解决简单的几何问题 2了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公 式 【例题分析】【例题分析】 例例 1 解下列方程或不等式： (1)x31；(2)|x34；(3)1|x34 略解：(1)设直线坐标系上点 A，B 的坐标分别为 x，3， 则x31 表示点 A 到点 B 的距离等于 1，如图 811 所示， 图 811 所以，原方程的解为 x4 或 x2 (2)与(1)类似，如图 812， 图 812 则x34 表示直线坐标系上点 A 到点 B 的距离小于或等于 4， 所以，原不等式的解
4、集为x1x7 (3)与(2)类似，解不等式 1x3，得解集x|x4，或 x2 ， 将此与不等式|x34 的解集x|1x7取交集， 得不等式 1|x34 的解集为x1x2，或 4x7 【评析】【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数 x 的次数和系数都为 1，那么可以利用 绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式xa的几何意义：表示数轴(直线坐标系) 上点 A(x)到点 B(a)的距离 例例 2 已知矩形 ABCD 及同一平面上一点 P，求证：PA2PC2PB2PD2 解：解：如图 813，以点 A 为原点，以 AB 为 x 轴，向右为正方向，以 AD 为 y 轴，向 上为正方向，建立平面直角坐
5、标系 图 813 设 ABa，ADb，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)， 设 P(x，y)， 则 22222222 )()()(byaxyxPCPA x2y2(xa)2(yb)2， 22222222 )()(byxyaxPDPB x2y2(xa)2(yb)2， 所以 PA2PC2PB2PD2 【评析】【评析】 坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要 坐标法中要注意坐标系的建立， 理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标 系可以使解题过程较为简便 例例 3 已知空间直角坐标系中有两点 A(1，2，1)，B(2，0，2) (1)求
6、 A，B 两点的距离； (2)在 x 轴上求一点 P，使PA|PB|； (3)设 M 为 xOy 平面内的一点，若|MAMB，求 M 点的轨迹方程 解：解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21 (| 222 AB (2)设 P(a，0，0)为 x 轴上任一点，由题意得 222 ) 10()20() 1(a ， 即 a22a6a24a8，解得 a1，所以 P(1，0，0) 40)2( 2 a (3)设 M(x，y，0)，则有 整理可得 x2y10 所以，M 点的轨迹方程为 x2y10 【评析】【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用 练习练习 81 一、选
7、择题一、选择题 1数轴上三点 A，B，C 的坐标分别为 3，1，5，则 ACCB 等于( ) A4 B4 C12 D12 2若数轴上有两点 A(x)，B(x2)(其中 xR)，则向量的数量的最小值为( ) A B0 C D 3在空间直角坐标系中，点(1，2，3)关于 yOz 平面的对称点是( ) A(1，2，3) B(1，2，3) C(1，2，3) D(1，2，3) 4已知平面直角坐标内有三点 A(2，5)，B(1，4)，P(x，y)，且AP|BP|，则实数 x，y 满足的方程为( ) Ax3y20 Bx3y20 Cx3y20 Dx3y20 二、填空题 5方程x23 的解是_；不等式x32 的
8、解为_ 6点 A(2，3)关于点 B(4，1)的对称点为_ 7方程x2x34 的解为_ 8如图 814，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|DA|3，|DC4，|DD1|2，A1C 的 中点为M， 则点B1的坐标是_， 点M的坐标是_， M关于点B1的对称点为_ ,4)0()2() 10()2() 1( 22222 yxyx AB 2 1 4 1 4 1 图 814 三、解答题三、解答题 9求证：平行四边形 ABCD 满足 AB2BC2CD2DA2AC2BD2 10求证：以 A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 11在平面直角坐标系中，设
9、A(1，3)，B(4，5)，点 P 在 x 轴上，求|PA|PB的最小值 82 直线的方程直线的方程 【知识要点】【知识要点】 1直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上， 且这条直线上点的坐标都是这个方程 的解，那么这个方程叫做这条直线的方程 ，这条直线叫做这个方程的直线 2直线的倾斜角和斜率 x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 并规定，与 x 轴平行或重 合的直线的倾斜角为零度角因此，倾斜角的取值范围是 0180 我们把直线 ykxb 中的系数 k 叫做这条直线的斜率 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线 y kxb 上任意两点，其中 x1x2
10、，则斜率 倾斜角为 90的直线的斜率不存在，倾斜角为的直线的斜率 ktan(90) 3直线方程的几种形式 点斜式：yy1k(xx1)； 斜截式：ykxb； 两点式： 一般式：AxByC0(A2B20) 4两条直线相交、平行与重合的条件 设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 (1)l1与 l2相交A1B2A2B10 或 (2)l1与 l2平行 (3)l1与 l2重合 当直线 l1与 l2的斜率存在时，设斜率分别为 k1，k2，截距分别为 b1，b2，则 l1与 l2相交k1k2； l1l2k1k2，b1b2； l1与 l2重合k1k2，b1b2 5两条直线垂直的条件 设
11、直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2A1A2B1 B20 当直线 l1与 l2的斜率存在时，设斜率分别为 k1，k2，则 l1l2k1k21 12 12 xx yy k );,( 2121 12 1 12 1 yyxx xx xx yy yy )0( 22 2 1 2 1 BA B B A A ).0( ; 0 0, 0 222 2 1 2 1 2 1 2112 21211221 CBA C C B B A A CACA BCCBBABA 或 或而 ).0( );0(, 222 2 1 2 1 2 1 2221 11 CBA C C B B A A CCBBA
12、A 或 6点到直线的距离 点 P(x1，y1)到直线 l：AxByC0 的距离 d 的计算公式 【复习要求】【复习要求】 1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式根据确定直 线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截 式与一次函数的关系 2掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断 两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 【例题分析】【例题分析】 例例 1(1)直线的斜率是_，倾斜角为_； (2)设 A(2，3)，B(3，2)，C(1，1)，过点 C 且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB
13、 相交， 则斜率 k 的取值范围为_ 略解略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图 821，设直线 AC 的倾斜角为， 图 821 因为此直线的斜率为，所以 设直线 BC 的倾斜角为，因为此直线的斜率为 22 11 | BA CByAx d 082yx 082yx， 2 28 2 2 xy 2 2 ; 2 2 tanarc 3 4 12 13 AC k; 3 4 tan , 2 3 13 12 BC k 所以 因为直线 l 与线段 AB 相交，所以直线 l 的倾斜角满足， 由正切函数图象，得 tantan 或 tantan， 故 l 斜率 k 的取值范围为 【评析】(
14、1)求直线的斜率常用方法有三种： 已知直线的倾斜角，当90时，ktan； 已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当 x1x2时，k； 已知直线的方程 AxByC0，当 B0 时，k (2)已知直线的斜率 k 求倾斜角时，要注意当 k0 时，arctank；当 k0 时， arctan|k| 例例 2 根据下列条件求直线方程： (1)过点 A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等； (2)过点 P(2，1)，且点 Q(1，2)到直线的距离为 1 解：(1)设所求直线方程为 y3k(x2)，或 x2(舍)， 令 y0，得 x2(k0)；令 x0，得 y32k， 由题意，得 232k，解得
15、 k或 k1， 所以，所求直线方程为 3x2y0 或 xy50； (2)设所求直线方程为 y1k(x2)或 x2， 当直线为 y1k(x2)，即 kxy(2k1)0 时， 由点 Q(1，2)到直线的距离为 1，得1，解得， 2 3 tan 2 3 , 3 4 k 12 12 xx yy B A k 3 k 3 2 3 1 | 122| 2 k kk 3 4 k 所以，直线，即 4x3y50 符合题意； 当直线为 x2 时，检验知其符合题意 所以，所求直线方程为 4x3y50 或 x2 【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适 应条件特别地，在解题过程中要注意
16、“无斜率” ， “零截距”的情况 例例 3 已知直线 l1：(m2)x(m2)y10，l2：(m24)xmy30， (1)若 l1l2，求实数 m 的值； (2)若 l1l2，求实数 m 的值 解法一：解法一：(1)因为 l1l2，所以(m2)(m)(m2)(m24)， 解得 m2 或 m1 或 m4， 验证知两直线不重合， 所以 m2 或 m1 或 m4 时，l1l2； (2)因为 l1l2，所以(m2)(m24)(m)(m2)0， 解得 m2 或 m1 或 m4 解法二：解法二：当 l1斜率不存在，即 m2 时，代入直线方程，知 l1l2； 当 l2斜率不存在，即 m0 时，代入直线方程，
17、知 l1与 l2既不平行又不垂直； 当 l1，l2斜率存在，即 m0，m2 时， 可求 l1， l2， 如的斜率分别为 k1， k2， 截距 b1， b2， 若 l1l2，由 k1k2，b1b2，解得 m2 或 m1 或 m4， 若 l1l2，由 k1k21，解得 m1 或 m4 综上，(1)当 m2 或 m1 或 m4 时，l1l2； (2)当 m2 或 m1 或 m4 时，l1l2 【评析】【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊简洁的(如解法一)相互 之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注 0 3 5 3 4 yx 2 2 m m
18、 m m4 2 2 1 mm 3 意正确使用 例例 4 已知直线 l 过两直线 l1：3xy10 与 l2：xy30 的交点，且点 A(3，3)和 B(5，2)到 l 的距离相等，求直线 l 的方程 【分析】【分析】所求直线 l 有两种情况：一是 l 与 AB 平行；二是点 A，B 在 l 的两侧，此时 l 过线段 AB 的中点 解：解：解方程组得交点(1，2)， 由题意， 当l 与 AB 平行； 或l 过 A， B 的中点时 可以使得点 A， B 到 l 的距离相等 当 lAB 时，因为，此时，即 x2y50； 当 l 过 AB 的中点时，因为 AB 的中点坐标为所以 即 l：x6y110
19、综上，所求的直线 l 的方程为 x2y50 或 l：x6y110 例例 5 已知直线 l1： ykx2k 与 l2： xy5 的交点在第一象限， 求实数 k 的取值范围 解法一：解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：解法二：如图 822，由 l1：yk(x2)，知 l1过定点 P(2，0)， 03 013 yx yx 2 1 53 23 AB k) 1( 2 1 2:xyl ), 2 5 , 4(M, 14 1 2 2 5 2 : xy l 5 2 yx kkxy ), 1 25 5 , 1 25 ( k k k k 0 1 25 5 0 1 25 k k k k 2 5 0k
20、图 822 由 l2：xy5，知 l2坐标轴相交于点 A(0，5)，B(5，0)， 因为 由题意，得 【评析】【评析】在例 4，例 5 中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与 方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想 例例 6 如图 823，过点 P(4，4)的直线 l 与直线 l1：y4x 相交于点 A(在第一象限)， 与 x 轴正半轴相交于点 B，求ABO 面积的最小值 图 823 解：解：设 B(a，0)，则 将 y4x 代入直线 l 的方程， 得点 A 的坐标为 则ABO 的面积 所以当 a6 时，ABO 的面积 S 取到最小值 24
21、练习练习 82 一、选择题一、选择题 1若直线 l 的倾斜角的正弦为，则 l 的斜率 k 是( ) , 0, 2 5 20 05 BPAP kk 2 5 0k ),4( 4 04 4: x a yl ),3)( 3 4 , 3 ( a a a a a , 12 1 ) 6 11 (3 2 3 4 2 1 2 a a a aS 5 3 A B C或 D或 2点 P(ab，ab)在第二象限内，则 bxayab0 直线不经过的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 “”是“直线(m2)x3my10 与直线(m2)x(m2)y30 相互垂直”的 ( ) A充分必要条件 B充分
22、而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 4若直线与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，则 l 的倾角的取值范 围( ) A B C D 二、填空题二、填空题 5已知两条直线 l1：ax3y30，l2：4x6y10，若 l1l2，则 a_ 6已知点 A(3，0)，B(0，4)，则过点 B 且与 A 的距离为 3 的直线方程为_ 7若点 P(3，4)，Q(a，b)关于直线 xy10 对称，则 a2b_ 8若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(ab0)共线，则的值等于_ 三、解答题三、解答题 9已知点 P 在直线 2x3y20 上，点 A(1，3)，B(1，5)
23、(1)求PA的最小值； (2)若|PA|PB|，求点 P 坐标 10若直线 l 夹在两条直线 l1：x3y100 与 l2：2xy80 之间的线段恰好被点 P(0， 1)平分，求直线 l 的方程 4 3 4 3 4 3 4 3 3 4 3 4 2 1 m 3: kxyl ) 3 , 6 ) 2 , 3 () 2 , 6 ( 2 , 6 ba 11 11 已知点 P 到两个定点 M(1， 0)、 N(1， 0)距离的比为， 点 N 到直线 PM 的距离为 1 求 直线 PN 的方程 83 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 【知识要点】【知识要点】 1二元一次不等式(组)所表示的平面区域 (1
24、)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面区域中表示直线 AxByC0 某一 侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线不等式 AxByC0 所表示的平 面区域包括边界线(闭半平面) (2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面 区域的公共部分 (3)可在直线 AxByC0 的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从 Ax0By0 C 的正(或负)来判断 AxByC0(或 AxByC0)所表示的区域 当 C0 时， 常把原 点(0，0)作为特殊点 (4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧： ykxb 表示直线上方的半平面区域；ykxb
25、表示直线下方的半平面区域 当 B0 时，AxByC0 表示直线上方区域，AxByC0 表示直线下方区域 2简单线性规划 (1)基本概念 目标函数：关于 x，y 的要求最大值或最小值的函数，如 zxy，zx2y2等 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数 线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式) 2 线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解 可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域 (2)用图解法解
26、决线性规划问题的一般步骤： 分析并将已知数据列出表格； 确定线性约束条件； 确定线性目标函数； 画出可行域； 利用线性目标函数，求出最优解； 实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解 【复习要求】【复习要求】 1了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 2能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 【例题分析】【例题分析】 例例 1 (1)若点(3，1)在直线 3x2ya0 的上方，则实数 a 的取值范围是_； (2)若点(3，1)和(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则实数 a 的取值范围是_ 解：解：(1)将直线化为 由题意，得，解得 a7 (
27、2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反， 则(332a)3(4)12a0，即(a7)(a24)0， 所以，实数 a 的取值范围是(7，24) 例例 2 (1)如图 831，写出能表示图中阴影部分的不等式组； , 22 3a xy 2 3 2 3 1 a 图 831 (2)如果函数 yax2bxa 的图象与 x 轴有两个交点，试在 aOb 坐标平面内画出点(a， b)表示的平面区域 略解：略解：(1) (2)由题意，得 b24a20，即(2ab)(2ab)0， 所以或，点(a，b)表示的平面区域如图 832 图 832 【评析】【评析】 除了掌握二元一次不等式表示平面区域外， 还应关注
28、给定平面区域如何用不等 式表示这个逆问题 例例 3 已知 x，y 满足求： (1)z1xy 的最大值； (2)z2xy 的最大值； (3)z3x2y2的最小值； ， 022 1 0 yx y x 02 02 ba ba 02 02 ba ba . 033 , 042 , 022 yx yx yx (4)的取值范围(x1) 略解：略解：如图 833，作出已知不等式组表示的平面区域 图 833 易求得 M(2，3)，A(1，0)，B(0，2) (1)作直线 xy0，通过平移，知在 M 点，z1有最大值 5； (2)作直线 xy0，通过平移，知在 A 点，z2有最大值 1； (3)作圆 x2y2r2
29、，显然当圆与直线 2xy20 相切时，r2有最小值，即 z3有 最小值 (4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以 z4的取值范围是(，23， ) 【评析】【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数 z 的几何意义z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等 例例 4 某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须 满足约束条件则 z10x10y 的最大值是( ) (A)80 (B)85 (C)90 (D)95 略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域 1 4 x y z 2 ) 5 2 ( ; 5 4 1x y
30、.112 , 932 ,22115 x yx yx 0 0 y x 如图 834 图 834 作直线 xy0，通过平移，知在 M 点，z10x10y 有最大值，易得 又由题意，知 x，yN，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使 z 取最大值， 所以，zmax10510490，选 C 【评析】【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解 例例 5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1000 元，运 费 500 元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本 1500 元，运费 400 元，可得产品 100 千克今预算每日原料总成本不得超过 6000 元，运费不得超过
31、2000 元，问此工厂每日 采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大? 解：解：设此工厂每日需甲种原料 x 吨，乙种原料 y 吨，则可得产品 z90x100y(千克) 由题意，得 上述不等式组表示的平面区域如图 835 所示，阴影部分(含边界)即为可行域 图 835 作直线 l：90x100y0，并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直 ), 2 9 , 2 11 (M . 0, 0 ,2045 ,1232 . 0, 0 ，2000400500 ，600015001000 yx yx yx yx yx yx 线经过可行域上的 M 点，且与直线 l 的距离最大，此时目
32、标函数达到最大值这里 M 点是 直线 2x3y12 和 5x4y20 的交点，容易解得 M，此时 z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产 440 千克产品 例例 6 设函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2，2f(1)4 (1)在平面直角坐标系 aOb 中，画出点(a，b)所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，求 f(2)的取值范围 解：解：(1)f(1)ab，f(1)ab， 即 如图 836， 在平面直角坐标系 aOb 中， 作出满足上述不等式组的区域， 阴影部分(含 边界)即为可行域 图 836 (2)目标函数 f(2)4a2b 在平面直角坐标系 a
33、Ob 中，作直线 l：4a2b0，并作平行于直线 l 的一组直线与可行 域相交，其中有一条直线经过可行域上的 B 点，且与直线 l 的距离最大，此时目标函数达到 最大值 这里 B 点是直线 ab2 和 ab4 的交点，容易解得 B(3，1)， 此时 f(2)取到最大值 432110 ) 7 20 , 7 12 ( 7 12 90 .440 7 20 100 7 12 7 20 . 42 , 21 ba ba . 4 , 2 , 2 , 1 ba ba ba ba 同理，其中有一条直线经过可行域上的 C 点，此时目标函数达到最小值这里 C 点是 直线 ab1 和 ab2 的交点，容易解得 此时
34、f(2)取到最小值 所以 5f(2)10 【评析】【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见 方法之一 练习练习 83 一、选择题一、选择题 1原点(0，0)和点(1，1)在直线 xya0 的两侧，则 a 的取值范围是 ( ) Aa0 或 a2 Ba0 或 a2 C0a2 D0a2 2若 x0，y0，且 xy1，则 zxy 的最大值是( ) A1 B1 C2 D2 3已知 x 和 y 是正整数，且满足约束条件则 z2x3y 的最小值是( ) A24 B14 C13 D11.5 4根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北 方向行走段
35、时间后，再向正北方向行走一段时间，但的大小以及何时改变方向不 定如图 837假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落 点区域为 S，则 S 可以用不等式组表示为( ) 图 837 ), 2 1 , 2 3 (C . 5 2 1 2 2 3 4 . 72 , 2 ,10 x yx yx ) 2 0( A B C D 二、填空题二、填空题 5在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_ 6若实数 x、y 满足，则的取值范围是_ 7点 P(x，y)在直线 4x3y0 上，且满足14xy7，则点 P 到坐标原点距离的取值 范围是_ 8若当实数 x，y 满足时，zx
36、3y 的最小值为6，则实数 a 等于_ 三、解答题三、解答题 9如果点 P 在平面区域内，点 Q(2，2)，求|PQ|的最小值 10制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人 打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100和 50 ()，可能的最大亏损率分别为 30和 10( 200 200 y x 20 400 22 yx yx 0 0 400 22 y x yx 20 20 20 y x yx 2 02 02 x yx yx 2 0 01 x x yx x y ax yx yx 0 05 01 02 022 yx yx yx %1
37、00 投资额 盈利额 盈利率 投资额 亏损额 亏损率 )，投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万 元问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大? 11设 a，bR，且 b(ab1)0，b(ab1)0 (1)在平面直角坐标系 aOb 中，画出点(a，b)所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出 a 的取值范围 84 圆的方程圆的方程 【知识要点】【知识要点】 1圆的方程 (1)标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中点(a，b)为圆心，r 为半径 (2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，其中圆心为，半径 为
38、 2点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆的圆心距离为 d，则 dr点在圆外； dr点在圆上； dr点在圆内 3直线与圆的位置关系 (1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母 y，得关于 x 的一元二次方程， 则 %100 ) 2 , 2 ( ED 2 1 .4 22 FED 0方程组有两解直线和圆相交； 0方程组有一解直线和圆相切； 0方程组无解直线和圆相离 (2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离 d，设圆的半径为 r，则 dr直线和圆相交； dr直线和圆相切； dr直线和圆相离 4圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r(Rr)，两圆的圆心距为 d(d0)，则 dRr
39、两圆相离； dRr两圆外切； RrdRr两圆相交； dRr两圆内切； dRr两圆内含 【复习要求】【复习要求】 1掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程 2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问 题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是 A(3，2)，B(4，1)； (2)经过两点 A(1，1)和 B(1，1)，且圆心在直线 xy20 上； (3)经过两点 A(4，2)和 B(1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 【分析】【分析】求圆的方程，可以用待定系数法若已知条件与圆心、半径有关，则设
40、圆的标 准方程，如第(2)问若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问 解：解：(1)由题意圆心为 AB 的中点 M，即， 因为 所以圆的半径 所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则 ，解得 所以，所求圆的方程为(x1)2(y1)24 方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦 AB 的垂直平分线上易得 AB 的垂直平 分线为 yx 由题意，解方程组，得圆心 C 为(1，1)， 于是，半径 rAC|2， 所以，所求圆的方程为(x1)2(y1)24 (3)设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0， 因为圆过点 A，B，所以 4D2EF
41、200， D3EF100， 在圆的方程中，令 y0，得 x2DxF0， 设圆在 x 轴上的截距为 x1，x2，则 x1x2D 在圆的方程中，令 x0，得 y2EyF0， 设圆在 y 轴上的截距为 y1，y2，则 y1y2E ) 2 12 , 2 43 ( ) 2 3 , 2 1 (M ,50) 12()43(| 22 AB 2 50 | 2 1 ABr 2 25 ) 2 3 () 2 1 ( 22 yx 222 222 )1 ()1( )1()1 ( 02 rba rba ba 2 ,1 1 r b a 02yx xy 由题意，得D(E)2， 解，得 D2，E0，F12， 所以，所求圆的方程为
42、 x2y22x120 【评析】【评析】以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为一直径端点的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(y y2)0求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；待定系数法求圆 的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量 例例 2 (1)点 P(a，b)在圆 C：x2y2r2(r0)上，求过点 P 的圆的切线方程； (2)若点 P(a，b)在圆 C：x2y2r2(r0)内，判断直线 axbyr2与圆 C 的位置关系 解：解：(1)方法一：因为切线 l 与半径 OP 垂直，又可求出直线 OP 的斜率，所以可得切线 l 的斜率，再由点斜式得到切线方程但要注意斜率是否存在(详细过程略) 方法二： 设 Q(x， y)为所求切线上任一点， 则， 即(xa， yb) (a， b)0 整理得 axbya2b2， 又因为 P 在圆上，所以 a2b2r2， 故所求的切线方程为 axbyr2 (2)由已知，得 a2b2r2， 则圆心 O(0，0)到直线 axbyr2的距离 所
