1、第十三讲二次函数的图象与性质(5分)一、二次函数的概念及其关系式一、二次函数的概念及其关系式1.1.二次函数的概念二次函数的概念:形如形如_(a,b,c_(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数的函数.2.2.二次函数的解析式二次函数的解析式:(1)(1)一般式一般式:_.:_.(2)(2)顶点式顶点式:y=a(x-h):y=a(x-h)2 2+k(a0),+k(a0),其顶点坐标是其顶点坐标是_._.(3)(3)交点式交点式:y=a(x-x:y=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0),)(a0),其图象与其图象与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(x(x1 1,0),(x
2、,0),(x2 2,0).,0).知识清单知识清单主干回顾主干回顾y=axy=ax2 2+bx+c+bx+cy=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)(h,k)(h,k)二、二次函数二、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与性质的图象与性质1.1.当当a0a0时时:(1)(1)开口方向开口方向:向上向上.(2).(2)顶点坐标顶点坐标:.:.(3)(3)对称轴对称轴:直线直线_._.(4)(4)增减性增减性:当当x-x-x-时时,y,y随随x x的增大而的增大而_._.(5)(5)最值最值:当当x=-x=-时时,y,y最小值最小值=_.=_.
3、知识清单知识清单主干回顾主干回顾24acb(b)42aa，bx2a b2ab2a24acb4a 减小减小增大增大2.2.当当a0a0时时:(1)(1)开口方向开口方向:向下向下.(2).(2)顶点坐标顶点坐标:.:.(3)(3)对称轴对称轴:直线直线_._.(4)(4)增减性增减性:当当x-x-x-时时,y,y随随x x的增大而的增大而_._.(5)(5)最值最值:当当x=-x=-时时,y,y最大值最大值=_.=_.bx2a 24ab()ac42ba，b2ab2ab2a24acb4a 增大增大减小减小【自我诊断自我诊断】(打打“”“”或或“”)”)1.1.二次函数二次函数y=xy=x2 2+4
4、x-5+4x-5的图象的对称轴为的图象的对称轴为x=2.x=2.()()2.2.将将y=-2xy=-2x2 2+1+1向右平移向右平移1 1个单位个单位,再向上平移再向上平移2 2个单位后个单位后,所得的抛物线是所得的抛物线是y=y=-2(x-1)-2(x-1)2 2+3.+3.()()3.3.若二次函数若二次函数y=xy=x2 2+bx+bx的图象的对称轴是经过点的图象的对称轴是经过点(2,0)(2,0)且平行于且平行于y y轴的直线轴的直线,则关则关于于x x的方程的方程x x2 2+bx=5+bx=5的解为的解为x x1 1=-1,x=-1,x2 2=5.=5.()()河北河北5 5年真
5、题年真题高频考点高频考点疑难突破疑难突破【考点一考点一】二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 【一题多问一题多问多题归一多题归一】【例例1 1】已知抛物线已知抛物线y=-xy=-x2 2+x+3,+x+3,请回答以下问题请回答以下问题:问题问题1 1抛物线的开口方向抛物线的开口方向_._.问题问题2 2将将y=-xy=-x2 2+x+3+x+3化为顶点式化为顶点式.【解析解析】y=-y=-x x2 2+x+3=-+x+3=-(x(x2 2-4x)+3-4x)+3=-=-(x(x2 2-4x+4-4)+3-4x+4-4)+3=-(x-2)=-(x-2)2 2+4.+4.14141414141
6、4向下向下【提分要点提分要点】将二次函数一般式化为顶点式的一般步骤将二次函数一般式化为顶点式的一般步骤(1)(1)一化一化:将二次项系数化为将二次项系数化为1;1;(2)(2)二配二配:将含有将含有x x的项配成完全平方式的项配成完全平方式;(3)(3)三化三化:化为顶点式化为顶点式.问题问题3 3抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为_._.直线直线x=2x=2【满分技法满分技法】求抛物线的对称轴的两种方法求抛物线的对称轴的两种方法1.1.直接运用公式直接运用公式x=-x=-求解求解.2.2.利用利用x=(x=(其中其中x x1 1,x,x2 2为关于对称轴对称的两点的横坐标为关于对称轴对称的两点
7、的横坐标)求解求解.问题问题4 4当当x=_x=_时时,y,y有最有最_值为值为_._.问题问题5 5若若y y随随x x的增大而增大的增大而增大,则则x x的取值范围是的取值范围是_._.问题问题6 6设抛物线设抛物线y=-xy=-x2 2+x+3+x+3与与x x轴的交点为轴的交点为A,B,A,B,与与y y轴的交点为轴的交点为C,C,顶点坐顶点坐标为标为D.D.求四边形求四边形ABDCABDC的面积的面积.略略b2a12xx2142 2大大4 4x2x2【满分技法满分技法】求顶点坐标的三种方法求顶点坐标的三种方法1.1.直接运用顶点坐标公式直接运用顶点坐标公式 求解求解.2.2.运用配方
8、法将一般式转化为顶点式运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,则顶点坐标为则顶点坐标为(h,k).(h,k).3.3.将将x x0 0(对称轴为对称轴为x=xx=x0 0)代入函数解析式求得对应的代入函数解析式求得对应的y y0 0.问题问题7 7将抛物线将抛物线y=-xy=-x2 2+x+3+x+3向下平移向下平移3 3个单位个单位,再向左平移再向左平移1 1个单位个单位,求所求所得新的抛物线的解析式得新的抛物线的解析式.2b4acb(,)2a4a14【解析解析】y=-xy=-x2 2+x+3=-(x-2)+x+3=-(x-2)2 2+4.+4.将抛物
9、线将抛物线y=-xy=-x2 2+x+3+x+3向下平移向下平移3 3个单位个单位,再向左平移再向左平移1 1个单位个单位,则则y=-(x-2+1)y=-(x-2+1)2 2+4-3+4-3=-(x-1)=-(x-1)2 2+1=-x+1=-x2 2+x+.+x+.所得新的抛物线的解析式为所得新的抛物线的解析式为y=-xy=-x2 2+x+.+x+.【提分要点提分要点】二次函数图象的平移二次函数图象的平移,其实质是图象上点的整体平移其实质是图象上点的整体平移(一般研究一般研究顶点坐标顶点坐标),),平移过程平移过程a a保持不变保持不变,因此可先求出其顶点坐标因此可先求出其顶点坐标,根据顶点的
10、平移求根据顶点的平移求得函数解析式得函数解析式.1414141414141234141234问题问题8 8若抛物线若抛物线y=-xy=-x2 2+x+3+x+3上有上有A(-1,yA(-1,y1 1),B(3,y),B(3,y2 2),C(4,y),C(4,y3 3)三点三点,试比较试比较y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小的大小.【解析解析】抛物线对称轴为直线抛物线对称轴为直线x=2.x=2.A(-1,yA(-1,y1 1),A),A点关于点关于x=2x=2的对称点为的对称点为A(5,yA(5,y1 1),),a=-0,a=-43,),543,yy1 1yy3 3yy2 2.141
11、4问题问题9 9对于抛物线对于抛物线y=-xy=-x2 2+x+3,+x+3,当当0 x80 x8时时,求求y y的最大值和最小值的最大值和最小值.略略【易错警示易错警示】求二次函数在某一范围内的最值时求二次函数在某一范围内的最值时,若对称轴在该范围内若对称轴在该范围内,则最值则最值为二次函数顶点纵坐标为二次函数顶点纵坐标;若对称轴不在该范围内若对称轴不在该范围内,则最值一般在该范围的两端点则最值一般在该范围的两端点处取得处取得,可根据增减性来确定可根据增减性来确定.问题问题1010直接写出直接写出-x-x2 2+x+30+x+30的解集的解集:_.:_.问题问题1111若抛物线若抛物线y=-
12、xy=-x2 2+x+3+x+3的解析式修改为的解析式修改为y=xy=x2 2+x+3,+x+3,若抛物线若抛物线y=xy=x2 2+x+3+x+3与与x x轴有交点轴有交点,则则m m的取值范围是的取值范围是_._.1414141(m)41314x-2x6x6m m 且且mm1(m)4问题问题1212若问题若问题1111修改为修改为“若函数若函数y=xy=x2 2+x+3+x+3与与x x轴有交点轴有交点”,则则m m的取的取值范围是值范围是_._.【易错警示易错警示】若没有明确函数类型若没有明确函数类型,注意要分类讨论注意要分类讨论.131(m)4mm【考点二考点二】二次函数图象与系数的关
13、系二次函数图象与系数的关系【例例2 2】(2020(2020滨州中考滨州中考)对称轴为直线对称轴为直线x=1x=1的抛物线的抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为常为常数数,且且a0)a0)如图所示如图所示,小明同学得出了以下结论小明同学得出了以下结论:abc0;abc4ac;4ac;4a+2b+c0;4a+2b+c0;3a+c0;3a+c0;a+bm(am+b)(ma+bm(am+b)(m为任意实数为任意实数););当当x-1x-1时时,y,y随随x x的增大的增大而增大而增大.其中结论正确的个数为其中结论正确的个数为()A.3A.3B.4B.4C.5C.
14、5D.6D.6A A【提分要点提分要点】根据二次函数根据二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象判断关于系数的图象判断关于系数a,b,ca,b,c的代数式与的代数式与0 0的关系的关系1.1.判断判断2a+b2a+b与与0 0的关系的关系,即为比较即为比较1 1与与-的关系的关系.2.2.判断判断2a-b2a-b与与0 0的关系的关系,即为比较即为比较-1-1与与-的关系的关系.3.3.判断判断a+b+ca+b+c与与0 0的关系的关系,令令x=1,x=1,看纵坐标看纵坐标.4.4.判断判断a-b+ca-b+c与与0 0的关系的关系,令令x=-1,x=-1,看纵坐标看纵坐标.5
15、.5.判断判断4a+2b+c4a+2b+c与与0 0的关系的关系,令令x=2,x=2,看纵坐标看纵坐标.6.6.判断判断4a-2b+c4a-2b+c与与0 0的关系的关系,令令x=-2,x=-2,看纵坐标看纵坐标.b2ab2a【考点三考点三】确定二次函数解析式确定二次函数解析式【例例3 3】(2020(2020昆明中考昆明中考)如图如图,两条抛物线两条抛物线y y1 1=-x=-x2 2+4,y+4,y2 2=-x=-x2 2+bx+c+bx+c相交于相交于A,BA,B两点两点,点点A A在在x x轴负半轴上轴负半轴上,且为抛物线且为抛物线y y2 2的最高点的最高点.(1)(1)求抛物线求抛
16、物线y y2 2的解析式和点的解析式和点B B的坐标的坐标;(2)(2)点点C C是抛物线是抛物线y y1 1上上A,BA,B之间的一点之间的一点,过点过点C C作作x x轴的垂线交轴的垂线交y y2 2于点于点D,D,当线段当线段CDCD取取最大值时最大值时,求求S SB C DB C D.略略15【满分技法满分技法】求二次函数解析式时设法技巧求二次函数解析式时设法技巧所给条件所给条件解析式设法解析式设法(a0)(a0)顶点在原点顶点在原点y=axy=ax2 2对称轴是对称轴是y y轴轴(或顶点在或顶点在y y轴上轴上)y=axy=ax2 2+c+c顶点在顶点在x x轴上轴上y=a(x-h)y=a(x-h)2 2抛物线过原点抛物线过原点y=axy=ax2 2+bx+bx已知顶点已知顶点(h,k)(h,k)顶点式顶点式y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k已知抛物线与已知抛物线与x x轴的两交点坐标为轴的两交点坐标为(x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0),或已知对称轴及与或已知对称轴及与x x轴的一个轴的一个交点交点(x(x1 1,0),0),利用对称轴可求出另外一个交点利用对称轴可求出另外一个交点的坐标的坐标(x(x2 2,0),0)交点式交点式y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)
