1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科）年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项. 1 （5 分）已知集合 S= *1，2，3+， = *| 1 3 0+，则 ST（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 = +1，则 z 的虚部为（ ） A1 2 B 1
2、2 C1 2 D 1 2 3 （5 分）设 a，bR，则 ab 是|a|b 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A20+25 B20+23 C16+25 D16+23 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S101，S307，则 S40（ ） A5 B10 C15 D20 6 （5 分）如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x1 及曲线 yex1 围成，现向矩形区域 OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ） A1 B 1 ;1 C1 1
3、D;2 ;1 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）在椭圆 2 16 + 2 9 =1 内，通过点 M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为 （ ） A9x16y+70 B16x+9y250 C9x+16y250 D16x9y70 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 x0，y0，n1，则输出的 x，y 的值满足 （ ） A = 10 9 B = 16 9 C = 1 9 Dxy2 9 （5 分）已知 a0，b0，并且1 ，1， 1 成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ） A16 B12 C9 D8 10 （5 分）已知点 M 的坐标（x，y）满足不等式组 2 + 4 0
4、2 0 3 0 ，N 为直线 y2x+2 上任一点，则|MN|的最小值是（ ） A 5 5 B25 5 C1 D 17 2 11 （5 分）已知偶函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，且满足 f（2）0，当 x0 时， xf（x）2f（x） ，则使得 f（x）0 的 x 的取值范围为（ ） A （，2）（0，2） B （，2）（2，+） C （2，0）（0，2） D （2，0）（2，+） 12 （5 分）如图，正方形 ABCD 内接于圆 O：x2+y22，M，N 分别为边 AB，BC 的中点， 已知点 P（2，0） ，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， 的取值范围是（ ） A1
5、，1 B,2，2- C2，2 D, 2 2 ， 2 2 - 第 3 页（共 19 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5 分） 已知向量 = （2， 1） ， = （1， 3） ， = （3， 2） ， 若( + ) ， 则 14 （5 分）已知函数 f（x）asinx 3 2（aR） ，若函数 f（x）在（0，）的零点个数为 2 个，则当 x0， 2，f（x）的最大值为 15 （5 分）若二项式( 1 ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数 项为 16 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2
6、= 1(0，0)的左右顶点分别是 A、B，右焦点 F，过 F 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M、N 两点，P 为直线 l 上的点，当APB 的外接圆面积 达到最小时，点 P 恰好落在 M（或 N）处，则双曲线的离心率是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B
7、，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，已知 a2+b2c243S （1）求角 C； （2）若 c2，求3ba 的取值范围 18 （12 分）如图，边长为 3 的正方形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 ABE 所在平面互 相垂直，AEAB，且 = 2 ， = 3 （）求证：MN平面 BEC； （）求二面角 NMEC 的余弦值 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线 yk（x+1）与 C 相切于点 A，|AF|2 第 4 页（共 19 页） （）求抛物线 C 的方程； （）设直线 l 交 C 于 M，N 两点，T 是 MN 的中点，若|MN|8，
8、求点 T 到 y 轴距离的 最小值及此时直线 l 的方程 20 （12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀 硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站， 直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望； （2）证明：:1 = 1 2( ;1)(2 98) （3）求 P99，P100的值 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+xax2，aR （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求 a 的值；
9、 （2）设 g（x）f（x）+（a3）x，试讨论函数 g（x）的单调性； （3） 当 a2 时， 若存在正实数 x1， x2满足 f （x1） +f （x2） +3x1x20， 求证： x1+x2 1 2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按照所做的如果多做，那么按照所做的 第一题计分第一题计分. 22（10 分） 在平面直角坐标系中， 曲线1： = 2 = 2 （ 为参数） 经过伸缩变换 = = 2 得 到曲线 C2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C2的普通方程； （）设曲线
10、 C3的极坐标方程为2( 3 ) = 3，且曲线 C3与曲线 C2相交于 M，N 两点，点 P（1，0） ，求 1 | + 1 |的值 23已知函数 f（x）|x+1|x5| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）tx2x 的解集非空，求 t 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2020 年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科）年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一
11、项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项. 1 （5 分）已知集合 S= *1，2，3+， = *| 1 3 0+，则 ST（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 【解答】解：集合 S1，2，3， Tx|;1 ;3 0x|1x3， 则 ST1，2 故选：B 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 = +1，则 z 的虚部为（ ） A1 2 B 1 2 C1 2 D 1 2 【解答】解： = +1 = (1) (1+)(1) = 1+ 2 = 1 2 + 1 2 ， 则 z 的虚部为：1 2 故选：C 3 （5 分）设 a，bR，则 a
12、b 是|a|b 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 ab0，则|a|ab，|a|b； 若 ba0，则|a|a0b，|a|b； 若 a0b，则|a|a0b，|a|b； 或由|a|a，ab 可得|a|b，可知充分条件成立； 当 a3，b2 时，则|a|b，此时 ab，可知必要条件不成立； ab 是|a|b 的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） 第 6 页（共 19 页） A20+25 B20+23 C16+25 D16+23 【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个直四
13、棱柱，底面是一个上下边长分别为 2， 4，高为 2 的直角梯形，棱柱的高为 2 S12+22+2 1 2 (1 + 2) 2 +22+2 5 =16+25， 故选：C 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S101，S307，则 S40（ ） A5 B10 C15 D20 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，S101，S307， S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列， 1，S201，7S20，S307 成等比数列， (20 1)2= 1 (7 20)， 解得 S203（或 S202，舍） ， S10，S20S10，S30S20，S40S30分别
14、为 1，2，4，8， S40S30+87+815 故选：C 6 （5 分）如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x1 及曲线 yex1 围成，现向矩形区域 OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ） A1 B 1 ;1 C1 1 D;2 ;1 【解答】解：由题意，阴影部分的面积为 1 0 ( 1) = ( )|0 1 =e2， 第 7 页（共 19 页） 矩形区域 OABC 的面积为 e1， 该点落在阴影部分的概率是;2 ;1 故选：D 7 （5 分）在椭圆 2 16 + 2 9 =1 内，通过点 M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为 （ ） A9x16y+70 B16
15、x+9y250 C9x+16y250 D16x9y70 【解答】解：设以点 M（1，1）为中点的弦两端点为 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ， 则 x1+x22，y1+y22 又1 2 16 + 12 9 = 1， 22 16 + 22 9 = 1 得：(1;2)(1:2) 16 + (1;2)(1:2) 9 =0 又据对称性知 x1x2， 则1;2 1;2 = 9 16， 以点 M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率 k= 9 16， 中点弦所在直线方程为 y1= 9 16（x1） ， 即 9x+16y250 故选：C 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 x0，y0，n1，
16、则输出的 x，y 的值满足 （ ） A = 10 9 B = 16 9 C = 1 9 Dxy2 【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得 x0，y0，n1 第 8 页（共 19 页） 执行循环体，x= 1 1+2，y= 1 12， 不满足条件 x+y 26 9 ，执行循环体，n2，x= 1 1+2 + 1 2+3 = 3 1，y= 1 12 + 1 23 =1 1 3 = 2 3， 不满足条件 x+y 26 9 ，执行循环体，n3，x= 1 1+2 + 1 2+3 + 1 3+4 = 4 1， y= 1 12 + 1 23 + 1 34 = 3 4， 不满足条件 x+y 26 9 ，执行循环
17、体，n4，x= 5 1，y= 4 5， 不满足条件 x+y 26 9 ，执行循环体，n5，x= 6 1，y= 5 6， 不满足条件 x+y 26 9 ，执行循环体，n8，x= 9 12，y= 8 9， 此时，满足条件 x+y 26 9 ，退出循环，输出 x 的值为 2，y 的值为8 9， 可得此时 x，y 的值满足 xy= 16 9 故选：B 9 （5 分）已知 a0，b0，并且1 ，1， 1 成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ） A16 B12 C9 D8 【解答】解：a0，b0，并且1 ，1， 1 成等差数列， 1 + 1 =2， 则 a+9b= 1 2 （1 + 1 ） （a+9b
18、） = 1 2 （10+ + 9 ） 1 2 （10+2 9 ）= 1 2 (10 + 6) =8当 且仅当 a3b2 时取等号 故选：D 10 （5 分）已知点 M 的坐标（x，y）满足不等式组 2 + 4 0 2 0 3 0 ，N 为直线 y2x+2 上任一点，则|MN|的最小值是（ ） A 5 5 B25 5 C1 D 17 2 【解答】解：点 M 的坐标（x，y）满足不等式组 2 + 4 0 2 0 3 0 的可行域如图：点 M 的 第 9 页（共 19 页） 坐标（x，y）满足不等式组 2 + 4 0 2 0 3 0 ，N 为直线 y2x+2 上任一点，则|MN|的最 小值，就是两条
19、平行线 y2x+2 与 2x+y40 之间的距离：d= |2+4| 12+22 = 25 5 故选：B 11 （5 分）已知偶函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，且满足 f（2）0，当 x0 时， xf（x）2f（x） ，则使得 f（x）0 的 x 的取值范围为（ ） A （，2）（0，2） B （，2）（2，+） C （2，0）（0，2） D （2，0）（2，+） 【解答】解：在 xf（x）2f（x）中， 令 x2，得 2f（2）2f（2）0， f（2）0， 可知 f（x）在 x2 处是递增趋势， 故使 f（x）0 的 x2， 根据偶函数的对称性， 可知当 x0 时，x2， 故选
20、：B 12 （5 分）如图，正方形 ABCD 内接于圆 O：x2+y22，M，N 分别为边 AB，BC 的中点， 已知点 P（2，0） ，当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， 的取值范围是（ ） 第 10 页（共 19 页） A1，1 B,2，2- C2，2 D, 2 2 ， 2 2 - 【解答】解：圆 O 的半径 r= 2，正方形的边长为 1， OMON1，设 M（cos，sin） ，则 N（cos（ 2 + ） ，sin（ 2 + ） ） ，即 N（sin， cos） ， =（cos2，sin） ， =（sin，cos） ， =2sinsincos+sincos2sin， 1sin1，
21、22sin2， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量 =（2，1） ， =（1，3） ， =（3，2） ，若( + ) ，则 1 【解答】解：由向量 =（2，1） ， =（1，3） ， =（3，2） ， + =（2+，1+3） ， ( + ) ， 3（1+3）2（2+） ，解得 1 故答案为：1 14 （5 分）已知函数 f（x）asinx 3 2（aR） ，若函数 f（x）在（0，）的零点个数为 2 个，则当 x0， 2，f（x）的最大值为 a 3 2 【解答】解：因为函数 f（x）asin
22、x 3 2（aR） ， 且 x（0，）时，sinx（0，1； 所以当 a0 时，asinx（0，a， yf（x）在区间（0， 2）上单调递增，函数 f（x）在（0， 2）上有且只有一个零点； 第 11 页（共 19 页） yf（x）在区间（ 2，）上单调递减，函数 f（x）在（ 2，）上有且只有一个零点； 所以 a 3 2 0，解得 a 3 2； 所以 f（x）在 x0， 2上的最大值是 f（ 2）a 3 2； a0 时，f（x）asinx 3 2 0 在 x（0，）上恒成立，函数 f（x）无零点，不合题意； 综上，f（x）在 x0， 2上的最大值是 a 3 2 故答案为：a 3 2 15 （
23、5 分）若二项式( 1 ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数 项为 15 【解答】解：由二项式( 1 ) 展开式中只有第 4 项的二项式系数最大， 即展开式有 7 项，n6； 展开式中的通项公式为 Tr+1= 6 （1）rx63 2 r； 令 6 3 2r0，求得 r4， 故展开式中的常数项为（1）46 4 =15 故答案为：15 16 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右顶点分别是 A、B，右焦点 F，过 F 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M、N 两点，P 为直线 l 上的点，当APB 的外接圆面积 达到最小时，点 P 恰好落在 M（或
24、 N）处，则双曲线的离心率是 2 【解答】解：A（a，0） ，B（a，0） ，F（c，0） ，直线 l 的方程为 xc， 设 P（c，m） ，则= +， = ， tanAPB| +; 1: + |= 2| 2+2 = 2 |+ 2 | 当且仅当|m|+ 2 |取得最小值，即|m|b 时，tanAPB 取得最大值，即APB 最大 根据正弦定理，此时APB 的外接圆半径达到最小值，即APB 的外接圆面积达到最小 值 第 12 页（共 19 页） b= 2 ，ab，即双曲线的离心率为2 故答案为：2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、
25、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，已知 a2+b2c243S （1）求角 C； （2）若 c2，求3ba 的取值范围 【解答】解： （1）43Sb2+a2c2， 2abcosC43 1 2absinC， cosC= 3sinC， tanC= 3 3 ， 又 0C， C= 6； （2）c2，C= 6， 由正弦
26、定理 = = 2 6 =4， 可得：a4sinA，b4sinB， 3ba4（3sinBsinA）43sin（5 6 A）sinA4（ 3 2 cosA+ 1 2sinA）4sin （A+ 3） ， A（0，5 6 ） ，A+ 3（ 3， 7 6 ） ， sin（A+ 3）（ 1 2，1， 4sin（A+ 3）（2，4， 即3ba 的取值范围是（2，4 18 （12 分）如图，边长为 3 的正方形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 ABE 所在平面互 相垂直，AEAB，且 = 2 ， = 3 第 13 页（共 19 页） （）求证：MN平面 BEC； （）求二面角 NMEC 的余弦值 【解答】
27、（） 证明： 过M作MFDC交CE于F， 连接MF， BF 因为MFDC， = 2 ， 所以 2 3 （2 分） 又 = 3 ，所以 2 3 故 ，（4 分） 所以四边形 NBFM 为平行四边形，故 MNBF， 而 BF平面 BEC，MN平面 BEC， 所以 MN平面 BEC；（6 分） （）解：以 A 为坐标原点， ， . 所在方向为 x，y，z 轴正方向，建立平面 直角坐标系，则 E（3，0，0） ，N（0，1，0） ，M（1，0，2） ，C（0，3，3） 第 14 页（共 19 页） 平面 MEC 的法向量为 = (1，0，1)，设平面 MNE 的法向量为 = (1，1，1)， 则 =
28、0 = 0 ，即31 + 1= 0 21+ 21= 0，不妨设 x11，则 = (1，3，1)， ， = | |= 2 211 = 22 11 ， 所求二面角的余弦值为： 22 11 （12 分） 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线 yk（x+1）与 C 相切于点 A，|AF|2 （）求抛物线 C 的方程； （）设直线 l 交 C 于 M，N 两点，T 是 MN 的中点，若|MN|8，求点 T 到 y 轴距离的 最小值及此时直线 l 的方程 【解答】解： （）设 A（x0，y0） ，直线 yk（x+1）代入 y22px， 可得 k2x2+（2k22p）x+k
29、20， 由（2k22p）24k40，解得 p2k2，解得 x01， 由|AF|1+ 2 =2，即 p2， 可得抛物线方程为 y24x； （）由题意可得直线 l 的斜率不为 0，设 l：xmy+n，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立抛物线方程可得 y24my4n0， 16m2+16n0，y1+y24m，y1y24n， |AB|= 1 + 2162+ 16 =8， 可得 n= 4 1+2 m2， 1:2 2 =2m，1:2 2 = (1:2):2 2 =2m2+n= 4 1+2 +m2 = 4 1+2 +m2+112(1 + 2)( 4 1+2) 13， 当且仅当 4 1:2 =m2+
30、1，即 m21，即 m1， T 到 y 轴的距离的最小值为 3， 此时 n1，直线的方程为 xy10 20 （12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀 硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站， 第 15 页（共 19 页） 直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望； （2）证明：:1 = 1 2( ;1)(2 98) （3）求 P99，P100的值 【解答】解： （1）解：由题意得 X 的
31、可能取值为 3，4，5，6， P（X3）（1 2） 3=1 8， P（X4）= 3 1(1 2) 3 = 3 8， P（X5）= 3 2(1 2) 3 = 3 8， P（X6）（1 2） 3=1 8 X 的分布列如下： X 3 4 5 6 P 1 8 3 8 3 8 1 8 = 3 1 8 + 4 3 8 + 5 3 8 + 6 1 8 = 9 2 （2）证明：棋子先跳到第 n2 站，再掷出反面，其概率为1 2 2， 棋子先跳到第 n1 站，再掷出正面，其概率为1 2 1， = 1 2(;1 + ;2)，即 ;1= 1 2 (;1+ ;2)， .:1 = 1 2( ;1)(2 98) （3）解
32、：由（2）知数列PnPn1（n1）是首项为PnPn1（n1） ， 1 0= 1 2 1 = 1 2，公比为 1 2的等比数列 ;1= ( 1 2) ;1( 1 0) = (1) 2 ， 由此得到99= ( 1 2) 99 + ( 1 2) 98 + + ( 1 2) + 1 = 2 3(1 1 2100)， 又99 98= ( 1 2) 99，则 98= 2 3 (1 + 1 299) 由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏， 故100= 1 2 98= 1 3 (1 + 1 299) 第 16 页（共 19 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+xax2，aR （1）若 f（x）
33、在 x1 处取得极值，求 a 的值； （2）设 g（x）f（x）+（a3）x，试讨论函数 g（x）的单调性； （3） 当 a2 时， 若存在正实数 x1， x2满足 f （x1） +f （x2） +3x1x20， 求证： x1+x2 1 2 【解答】 （1）解：因为 f（x）lnx+xax2，所以 f（x）= 1 +12ax， 因为 f（x）在 x1 处取得极值，所以 f（1）1+12a0，解得：a1 验证：当 a1 时，f（x）= 1 +12x= (1)(2+1) （x0） ， 易得 f（x）在 x1 处取得极大值 （2）解：因为 g（x）f（x）+（a3）xlnxax2+（a2）x， 所以
34、 g（x）= (+1)(21) （x0） ， 若 a0，则当 x（0，1 2）时，g（x）0， 所以函数 g（x）在（0，1 2）上单调递增； 当 x（1 2，+）时，g（x）0， 函数 g（x）在（1 2，+）上单调递减 若 a0，g（x）= (+1 )(21) （x0） ， 当 a2 时，易得函数 g（x）在（0， 1 ）和（ 1 2，+）上单调递增，在（ 1 ， 1 2）上 单调递减； 当 a2 时，g（x）0 恒成立，所以函数 g（x）在（0，+）上单调递增； 当2a0 时，易得函数 g（x）在（0，1 2）和（ 1 ，+）上单调递增，在（ 1 2， 1 ） 上单调递减 （3）证明：当
35、 a2 时，f（x）lnx+x+2x2， 因为 f（x1）+f（x2）+3x1x20， 所以 lnx1+x1+212+lnx2+x2+222+3x1x20， 即 lnx1x2+2（12+ 22）+（x1+x2）+3x1x20， 所以 2(1+2)2+（x1+x2）x1x2lnx1x2， 令 tx1x2，（t）tlnt（t0） ， 第 17 页（共 19 页） 则 （t）= 1 （t0） ， 当 t（0，1）时，（t）0， 所以函数 （t）tlnt（t0）在（0，1）上单调递减； 当 t（1，+）时，（t）0， 所以函数 （t）tlnt（t0）在（1，+）上单调递增 所以函数 （t）在 t1 时
36、，取得最小值，最小值为 1 所以 2(1+2)2+（x1+x2）1， 即 2(1+2)2+（x1+x2）10， 所以 x1+x2 1 2或 x1+x21， 因为 x1，x2为正实数，所以当 x1+x2= 1 2时，x1x21， 此时不存在 x1，x2满足条件， 所以 x1+x2 1 2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，那么按照所做的如果多做，那么按照所做的 第一题计分第一题计分. 22（10 分） 在平面直角坐标系中， 曲线1： = 2 = 2 （ 为参数） 经过伸缩变换 = = 2 得 到曲线 C2以坐
37、标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C2的普通方程； （）设曲线 C3的极坐标方程为2( 3 ) = 3，且曲线 C3与曲线 C2相交于 M，N 两点，点 P（1，0） ，求 1 | + 1 |的值 【解答】解： （）曲线1： = 2 = 2（ 为参数）转换为直角坐标方程为 x 2+y24， 经过伸缩变换 = = 2 得到曲线 C2 得到： 2 4 + 2= 1 （）曲线 C3的极坐标方程为2( 3 ) = 3，转换为直角坐标方程为3 3 = 0， 由于点 P（1，0）在直线 l 上， 第 18 页（共 19 页） 故 = 1 + 1 2 = 3 2 （t 为参数） 所以把直
38、线的参数方程代入 2 4 + 2= 1，得到 13t2+4t120， （t1和 t2为 M、N 对应的 参数） 所以1+ 2= 4 13，1 2= 12 13， 所以 1 | + 1 | = |1;2| |12| = (1:2)2;412 |12| = 210 3 23已知函数 f（x）|x+1|x5| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）tx2x 的解集非空，求 t 的取值范围 【解答】解： （1）当 x1 时，f（x）（x+1）+（x5）61，无解 当1x5 时，f（x）x+1+（x5）2x4， 2x41， x 5 2， 5 2 x5， 当 x5 时，f（x）x+
39、1（x5）6， 61，x5， 综上所述 f（x）1 的解集为5 2，+） （2）原式等价于存在 xR，使 f（x）x2+xt 成立，即f（x）x2+xmaxt 设 g（x）f（x）x2+x 由（1）知 g（x）= 2+ 6， 1 2+ 3 4，15 2+ + 6， 5 当 x1 时，g（x）x2+x6，其开口向下，对称轴为 x= 1 2 1，所以 g（x）g （1）8， 当1x5，开口向下，对称轴 x= 3 2，所以 g（x）g（ 3 2）= 7 4 当 x5 时，开口向下，对称轴 x= 1 2 5，所以 g（x）g（5）14， 第 19 页（共 19 页） 综上所述，t 的取值范围为（， 7 4
