1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年河南省驻马店市高考数学一模试卷（理科）年河南省驻马店市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 3 |1Ax x ， |0Bx x，则(AB ) A |03xx B |03xx剟 C |13xx D |13xx 2 （5 分）设复数 2 (1) ( 12 i zi i 为虚数单位） ，则复数z的虚部为( ) A 4 5 B 2 3 C 2
2、 5 D 4 3 3 （5 分）在一个不透明的容器中有 6 个小球，其中有 4 个黄球，2 个红球，它们除颜色外 完全相同，如果一次随机取出 2 个球，那么至少有 1 个红球的概率为( ) A 2 5 B 3 5 C 7 15 D 8 15 4 （5 分）已知函数( )2sin()(0) 6 f xx 的最小正周期为，则下列选项正确的是( ) A函数( )f x的图象关于点( 6 ，0)对称 B函数( )f x的图象关于点( 12 ，0)对称 C函数( )f x的图象关于直线 3 x 对称 D函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称 5 （5 分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg分别服
3、从正态分布 1 (N， 2 1) ， 2 (N， 2 2) ， 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( ) A甲类水果的平均质量 1 0.4kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 第 2 页（共 21 页） D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 6 （5 分）函数 | ( ) |1| lnx f xxe的大致图象为( ) A B C D 7 （5 分）已知 1 (0, ) 2 a，log (2 ) a xa， 1 logaya ， 1 2 log(2 ) a za ，则( ) Axyz Byxz Cxzy
4、Dzyx 8 （5 分） 在如图算法框图中， 若6a ， 程序运行的结果S为二项式 5 (2)x的展开式中 3 x的 系数的 3 倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是( ) A3k B3k C4k D4k 9（5 分） 已知 n S是等差数列 n a的前n项和， 若 7108 SSS， 设 12nnnn ba aa ， 则数列 n b 的前n项和 n T取最大值时n的值为( ) A6 B7 C8 D9 10 （5 分） 十八世纪， 函数 ( yxx表示不超过x的最大整数） 被“数学王子”高斯采用， 因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数” ，根据上述定义，则方 第 3
5、 页（共 21 页） 程 2 2019 20200xx的所有实数根的个数为( ) A0 B1 C2 D3 11 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的 表面积为( ) A23 B 23 4 C64 D 64 3 12 （5 分）已知函数 23420182019 ( )1 23420182019 xxxxx f xx ，若函数( )f x的零点均在 区间a，(b ab，a，)bZ内，则ba的最小值是( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量
6、(1,1)a ，(2,1)b ，若()()abab，则实数的值为 14 （5 分）学校准备将 5 名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类 3 个不同项目比赛 做志愿者，每个项目至少 1 名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右两个焦点分别为 1 F， 2 F，A，B为其 左、右两个顶点，以线段 12 FF为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且 30AMB，则该双曲线的离心率为 16 （5 分）已知函数 22 ( )()( x f xxax eaxa e为自然对数的底数，aR，a为常数）有 三个不同的零
7、点，则实数a的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分. 17 （12 分） 如图， 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sincos )acBB 第 4 页（共 21 页） （1）求ACB的大小； （2）若ABCACB，D为ABC外一点，2DB ，1DC ，求四边形ABDC面积的最 大
8、值 18（12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，2 2AC ， 2PA，E是PC上的一点，2PEEC （）证明：PC 平面BED； （）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小 19 （12 分）设直线l与抛物线 2 2xy交于A，B两点，与椭圆 22 1 42 xy 交于C，D两 点， 设直线OA，OB，OC，(OD O为坐标原点） 的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k， 4 k， 若O A O B （1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （2）是否存在常数，满足 1234 ()kkkk？并说明理由 20 （12 分）已知
9、函数( ) lnx f x x （1）若函数( )yf xk有 2 个零点，求实数k的取值范围； （2）若关于x的方程 1 ( )f xm x 有两个不等实根 1 x， 2 x，证明： 12 2xx； 22 21 12 2 xx xx 第 5 页（共 21 页） 21 （12 分）一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第 1 站、第 2 站、第 3 站、第 100 站，共 100 站，设棋子跳到第n站的概率为 n P，一枚棋子开始在第 1 站，棋手每掷一次 硬币，棋子向前跳动一次若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子 向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站（失败）或者第 100
10、站（获胜）时，游戏结束 （1）求 1 P， 2 P， 3 P； （2）求证：数列 1 (1 nn PPn ，2，3，98)为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos ( sin xr yr 为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为sin()3 6
11、， 且曲线 1 C与 2 C恰有一个公共点 （）求曲线 1 C的极坐标方程； （）已知曲 1 C上两点，A，B满足 4 AOB ，求AOB面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23若关于x的不等式|1|4|1|xxt有解，记实数t的最大值为T （1）求T的值； （2）若正数a，b，c满足2abcT，求 14 abbc 的最小值 第 6 页（共 21 页） 2020 年河南省驻马店市高考数学一模试卷（理科）年河南省驻马店市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每
12、小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 3 |1Ax x ， |0Bx x，则(AB ) A |03xx B |03xx剟 C |13xx D |13xx 【解答】解：集合 3 |1 |03Axxx x 厔， |0Bx x， |03ABxx 故选：A 2 （5 分）设复数 2 (1) ( 12 i zi i 为虚数单位） ，则复数z的虚部为( ) A 4 5 B 2 3 C 2 5 D 4 3 【解答】解：复数 2 (1)2 (12 )2442 12(12
13、)(12 )555 iiii zi iii 复数的虚部为： 2 5 故选：C 3 （5 分）在一个不透明的容器中有 6 个小球，其中有 4 个黄球，2 个红球，它们除颜色外 完全相同，如果一次随机取出 2 个球，那么至少有 1 个红球的概率为( ) A 2 5 B 3 5 C 7 15 D 8 15 【解答】解：在一个不透明的容器中有 6 个小球，其中有 4 个黄球，2 个红球， 它们除颜色外完全相同，一次随机取出 2 个球， 基本事件总数 2 6 15nC， 至少有 1 个红球包含的基本事件个数 112 422 9mC CC， 至少有 1 个红球的概率 93 155 m p n 故选：B 4
14、 （5 分）已知函数( )2sin()(0) 6 f xx 的最小正周期为，则下列选项正确的是( 第 7 页（共 21 页） ) A函数( )f x的图象关于点( 6 ，0)对称 B函数( )f x的图象关于点( 12 ，0)对称 C函数( )f x的图象关于直线 3 x 对称 D函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称 【解答】解：函数( )2sin()(0) 6 f xx 的周期为， 即 2 T ， 2 则( )2sin(2) 6 f xx ， 由对称轴方程：2 62 xk ，()kZ 得： 1 26 xk ，()kZ 经考查C，D选项不对 由对称中心的横坐标：2 6 xk ，()k
15、Z 得： 1 212 xk ，()kZ 当0k 时，可得图象的对称中心坐标为( 12 ，0) 故选：B 5 （5 分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg分别服从正态分布 1 (N， 2 1) ， 2 (N， 2 2) ， 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( ) A甲类水果的平均质量 1 0.4kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 第 8 页（共 21 页） D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 【解答】解：由图象可知甲图象关于直线0.4x 对称，乙图象关于直线0.8x 对称， 1 0.4， 2 0.8
16、， 故A正确，C正确， 甲图象比乙图象更“高瘦” ， 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 乙图象的最大值为 1.99，即 2 1 1.99 2 ， 2 1.99，故D错误 故选：D 6 （5 分）函数 | ( ) |1| lnx f xxe的大致图象为( ) A B C D 【解答】解：根据题意， | ( ) |1| lnx f xxe，其定义域为(0,)， 又由|1|0x， | 0 lnx e，则必有( )0f x 恒成立； 故函数的图象在第一象限，只有D选项符合； 故选：D 7 （5 分）已知 1 (0, ) 2 a，log (2 ) a xa， 1 logaya
17、 ， 1 2 log(2 ) a za ，则( ) Axyz Byxz Cxzy Dzyx 【解答】解： 1 (0, ) 2 a，2(0,1)a，且2aa， log 1log (2 )log1 aaa aa，01x， 第 9 页（共 21 页） 1 (0, ) 2 a，11a ， 1 log0 a a ，即0y ， 1 (0, ) 2 a， 1 01 2 a ，又 11 2()0 22 aaa， 1 2 2 aa， 11 22 1 log(2 )log()1 2 aa aa ，即1z ， yxz， 故选：B 8 （5 分） 在如图算法框图中， 若6a ， 程序运行的结果S为二项式 5 (2)x
18、的展开式中 3 x的 系数的 3 倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是( ) A3k B3k C4k D4k 【解答】解：二项式 5 (2)x展开式的通项公式是 5 15 2 rrr r TCx ， 令3r ， 323 3 15 2TCx ； 3 x的系数是 323 5 2 140C 程序运行的结果S为 120， 模拟程序的运行，由题意可得 6k ，1S 不满足判断框内的条件，执行循环体，6S ，5k 不满足判断框内的条件，执行循环体，30S ，4k 不满足判断框内的条件，执行循环体，120S ，3k 此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为 120 第 10 页（共 21
19、页） 故判断框中应填入的关于k的判断条件是4k ？ 故选：C 9（5 分） 已知 n S是等差数列 n a的前n项和， 若 7108 SSS， 设 12nnnn ba aa ， 则数列 n b 的前n项和 n T取最大值时n的值为( ) A6 B7 C8 D9 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， n S是等差数列 n a的前n项和，若 7108 SSS， 可得 111 7211045828adadad， 即有 1 80ad， 1 2170ad， 即有 9 0a ， 910 0aa，即 10 0a， 数列 n a的公差0d ，且 1 a， 2 a， 9 0a ， 10 0a， 11 0a
20、 ， 设 12nnnn ba aa ，可得1n ，2，7，0 n b ，8n 时， 8 0b ， 9n 时， 9 0b ，10n ，11，0 n b ， 由于 89910811910910 ()()0bba aaaa aaa，可得 978 TTT， 则数列 n b的前n项和 n T取最大值时9n ， 故选：D 10 （5 分） 十八世纪， 函数 ( yxx表示不超过x的最大整数） 被“数学王子”高斯采用， 因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数” ，根据上述定义，则方 程 2 2019 20200xx的所有实数根的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：方程 2
21、2019 20200xx的所有实数根 方程 2 20192020 xx的所有实数根 设函数 2 ( )20192020f xx，( ) g xx， 问题可以转化为函数( )f x与函数( )g x交点， 第 11 页（共 21 页） 在同一直角坐标系中画出函数( )f x与( )g x的函数图象， 由图象可知，两个函数图象有两个交点， 方程 2 2019 20200xx的所有实数根 2 个， 故选：C 11 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的 表面积为( ) A23 B 23 4 C64 D 64 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：
22、如图所示：所以设外接球的球心为O， 第 12 页（共 21 页） 故：(2A，4，0( )( 1B，4，3)，(1O，2，) z， 由于| |OAOB， 所以 22 144(3)zz，解得 1 3 z ， 故 2 116 14 33 r 所以 1664 4 33 S 故选：D 12 （5 分）已知函数 23420182019 ( )1 23420182019 xxxxx f xx ，若函数( )f x的零点均在 区间a，(b ab，a，)bZ内，则ba的最小值是( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：若函数( )f x的零点均在区间a，(b ab，a，)bZ内，则ba的值可能是 1，2，3
23、 20192019 2320172018 1 1()1 ( )1 1()1 xx fxxxxxx xx ， 当1x 时，( )0fx，( )f x单调递增， (0)10f ， 11111 ( 1)1 10 23420182019 f ， 所以在 1，0上有唯一零点， 所以ba的最小值是 1， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，(2,1)b ，若()()abab，则实数的值为 8 5 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：(2,1),(3,2)abab， ()()abab，
24、 () ()3(2)2(1)0abab，解得 8 5 故答案为： 8 5 14 （5 分）学校准备将 5 名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类 3 个不同项目比赛 做志愿者，每个项目至少 1 名，则不同的分配方案有 150 种（用数字作答） 【解答】 解： 将 5 名同学全部分配到运动会的田径、 拔河和球类 3 个不同项目比赛做志愿者， 每个项目至少 1 名，有 2 种情况： 将 5 名同学分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有 122 542 2 2 15 A 痧 ? 种分组方法， 再将 3 组分到 3 个项目，共有 3 3 1590A 种不同的分配方案， 将 5 名同学分成三组
25、，一组 3 人，另两组都是 1 人，有 31 1 52 1 2 2 10 A 痧 ? 种分组方法， 再将 3 组分到 3 个项目，共有 3 3 1060A 种不同的分配方案， 共有9060150种不同的分配方案， 故答案为：150 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右两个焦点分别为 1 F， 2 F，A，B为其 左、右两个顶点，以线段 12 FF为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且 30AMB，则该双曲线的离心率为 13 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 以 12 FF为直径
26、的圆的方程为 222 xyc， 将直线 b yx a 代入圆的方程，可得， 22 ac xa ab （负的舍去） ，yb， 即有( , )M a b，又(,0)Aa，( ,0)B a， 由于30AMB，BMx轴， 第 14 页（共 21 页） 则 23 tan30 3 a b ，即有2 3ba， 则离心率 2 2 113 cb e aa 故答案为：13 16 （5 分）已知函数 22 ( )()( x f xxax eaxa e为自然对数的底数，aR，a为常数）有 三个不同的零点，则实数a的取值范围为 1 (,0) e 【解答】 解： 令 22 ( )()0 x f xxax eaxa， 则(
27、)() () () 0 xx x xa ea xaxa xea， 则xa或 x xea， 由题意， 函数( ) x g xxe与函数ya的图象有两个不同的交点， 且这两个交点的横坐标都不 为a， 由( ) x g xxe得( )(1) xxx g xexeex，显然当1x 时，( )0g x，( )g x单调递减； 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递增，且 1 ( 1)g e ， 作函数( )g x的图象如下， 由图象可知， 1 0a e 故答案为： 1 (,0) e 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算
28、步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分. 17 （12 分） 如图， 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sincos )acBB （1）求ACB的大小； （2）若ABCACB，D为ABC外一点，2DB ，1DC ，求四边形ABDC面积的最 大值 第 15 页（共 21 页） 【解答】解： （1）在ABC中，(sincos )acBB， sinsin(sincos )ACBB，（1 分） sin()sin(s
29、incos )BCCBB， sin()sin(sincos )BCCBB，（2 分） sincoscossinsinsinsincosBCBCBCCB，（3 分） cossinsinsinCBBC， 又(0, )B，故sin0B ，（4 分） cossinCC，即tan1C （5 分） 又(0, )C， 4 C （6 分） （2）在BCD中，2DB ，1DC ， 222 122 1 2 cos54cosBCDD （7 分） 又ABCACB ，由（1）可知 4 ACB ， ABC为等腰直角三角形，（8 分） 2 1115 cos 2244 ABC SBCBCBCD ，（9 分） 又S 1 sin
30、sin 2 BDC BDDCDD，（10 分） 55 2 444 ABDC ScosDsinDsin D 四边形 （11 分） 当 3 4 D 时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为 5 2 4 （12 分） 18（12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，2 2AC ， 2PA，E是PC上的一点，2PEEC （）证明：PC 平面BED； （）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小 第 16 页（共 21 页） 【解答】解：( ) I以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Axyz， 设( 2D，b，0)，则(2 2C，0，0)，(0P
31、，0，2)， 4 2 ( 3 E，0， 2) 3 ，( 2B，b，0) (2 2PC ，0，2)， 2 ( 3 BE ，b， 2) 3 ， 2 ( 3 DE ，b， 2) 3 44 0 33 PC BE ，0PC DE PCBE，PCDE，BEDEE PC平面BED ()(0II AP ，0，2)，( 2AB ，b，0) 设平面PAB的法向量为(mx，y，) z，则 20 20 m APz m ABxby 取(mb，2，0) 设平面PBC的法向量为(np，q，) r，则 2 220 22 0 33 n PCpr n BEpbqr 取(1n ， 2 b ，2) 平面PAB 平面PBC， 2 0m
32、 nb b 故2b (1n ，1，2)，(2DP ，2，2) cosDP， 1 2| | n DP n nDP 第 17 页（共 21 页） 设PD与平面PBC所成角为，0， 2 ，则 1 sin 2 30 PD与平面PBC所成角的大小为30 19 （12 分）设直线l与抛物线 2 2xy交于A，B两点，与椭圆 22 1 42 xy 交于C，D两 点， 设直线OA，OB，OC，(OD O为坐标原点） 的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k， 4 k， 若O A O B （1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （2）是否存在常数，满足 1234 ()kkkk？并说明理由 【解答】解：
33、（1）证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点， 故设(0)ykxb b，( , )A x y，( ,)B x y， 联立直线l与抛物线的方程整理得： 2 220xkxb，2xxk，2xxb ， 2 2 () 4 xx yyb ， OAOB0OA OB ， 2 20bb，解得2b ， 所以直线l的方程为：2ykx 故直线恒过定点(0,2) （2） 由 （1） 知2x xk 12 (2)(2)2() 42 yykxxx kxxx xxkkkk xxxxxx ； 设( , )C m n，( , )D a t，联立直线与椭圆的方程整理得： 22 (12)840kxkx， 2 8 12 k ma k ，
34、 2 4 12 ma k ， 34 444() 22 ntkmkama kkkk mamama ， 第 18 页（共 21 页） 1234 1 () 2 kkkk ， 即存在常数 1 2 满足条件 20 （12 分）已知函数( ) lnx f x x （1）若函数( )yf xk有 2 个零点，求实数k的取值范围； （2）若关于x的方程 1 ( )f xm x 有两个不等实根 1 x， 2 x，证明： 12 2xx； 22 21 12 2 xx xx 【解答】解： （1）由题知，( )yf x与yk有两个交点， 2 1 ( )(0) lnx fxx x ， 由( )0fx得0xe；由( )0f
35、x得xe， ( )f x在(0, ) e上单增，在( ,)e 上单减， 又 1 (1)0,( )ff e e ，且当xe时，( )0f x ，故 1 (0, )k e ； （2）证明：方程 1 ( )f xm x 可化为 1lnx m x ，令 2 1 ( ),( ) lnxlnx g xg x xx ， 所以( )g x在(0,1)上单增，在(1,)上单减，又 1 ( )0g e ， 不妨设 12 xx则 12 1 1xx e ，要证明 12 2xx，只需证 21 2xx， 2 x， 1 2(1,)x且( )g x在(1,)上单减，所以证 121 ()()(2)g xg xgx， 令 1 (
36、 )( )(2),( ,1)h xg xgx x e ， 则 22 2222 (2)1(1) 4(1) ( )( )(2) (2)(2) lnxlnxx lnxx lnx h xg xgx xxxx ， 当 1 ( ,1)x e 时，0lnx ， 2 1(1) 0lnx， ( )0h x ，即( )h x在 1 ( ,1) e 单增，又h（1）0， ( )(2)g xgx对 1 ( ,1)x e 恒成立，即 121 ()()(2)g xg xgx成立，即 12 2xx成立； 由得 22 21 1212 12 ()()2() xx xxxx xx ，即 22 21 12 12 2 xx xx x
37、x ，命题得证 21 （12 分）一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第 1 站、第 2 站、第 3 站、第 100 站，共 100 站，设棋子跳到第n站的概率为 n P，一枚棋子开始在第 1 站，棋手每掷一次 第 19 页（共 21 页） 硬币，棋子向前跳动一次若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子 向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站（失败）或者第 100 站（获胜）时，游戏结束 （1）求 1 P， 2 P， 3 P； （2）求证：数列 1 (1 nn PPn ，2，3，98)为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率 【解答】解： （1）棋子开始在第 1 站是必然事件，
38、1 1P ； 棋子跳到第 2 站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为 1 2 ， 2 1 2 P； 棋子跳到第 3 站，有两种情况， 第一次掷硬币反面向上，其概率为 1 2 ； 前两次掷硬币都是正面向上，其概率为 111 224 ， 3 113 244 P； （2）证明：棋子跳到第2n 站(197)n剟，有两种情况： 棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为 1 2 n P； 棋子先跳到第1n 站，又掷硬币正面向上，其概率为 1 1 2 n P 故 21 11 22 nnn PPP ； 1 21 1 () 2 n nPnn PPP ；又 21 1 2 PP ， 数列是以 1 2 为
39、首项， 1 2 为公比的等比数列， （3）由（2）得 1 1 () 2 n nn PP ； 999998211 ()()PPPPPP 9897 111 ()()()1 222 99 98 1 1() 21 2 1 332 1() 2 ， 第 20 页（共 21 页） 所以获胜的概率为 99 98 11 1 332 P （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的
40、参数方程为 2cos ( sin xr yr 为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C的极坐标方程为sin()3 6 ， 且曲线 1 C与 2 C恰有一个公共点 （）求曲线 1 C的极坐标方程； （）已知曲 1 C上两点，A，B满足 4 AOB ，求AOB面积的最大值 【解答】解： （）曲线 2 C的极坐标方程为sin()3 6 ， 可得 2 C的直角坐标方程为：360xy，即曲线 2 C为直线 曲线 1 C是圆心为(2,0)，半径为| | r的圆 因为圆 1 C与直线 2 C恰有一个公共点，可得 |26| |2 2 r ， 圆 1 C的普通方程为 22
41、40xyx， 所以 1 C的极坐标方程为4cos （）由题意可设 1 (A，)， 2 (B，) 4 ， 1 (0， 2 0)， 2 12 12 |sin4 2cos cos()4(cossincos ) 2444 AOB SOA OB 1cos2sin2 4()22 2cos(2) 224 ， 所以AOB面积的最大值为22 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23若关于x的不等式|1|4|1|xxt有解，记实数t的最大值为T （1）求T的值； （2）若正数a，b，c满足2abcT，求 14 abbc 的最小值 【解答】解： （1）|1|4|(1)(4)| 5xxxx，(|1|4|)5 max xx 第 21 页（共 21 页） 不等式|1|4|1|xxt有解，|1|(|1|4|)5 max txx ， 64x 剟，实数t的最大值4T （2）由（1）知24abcT，()()4abbc， 14111 ()()() 4 abbc abbcabbc 14()19 5(52 4) 444 bcab abbc ， 当且仅当 4 3 ab， 8 3 bc时取等号， 14 abbc 的最小值为 9 4
