1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年江西省景德镇市高考数学一模试卷（理科）年江西省景德镇市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 4 |0log1Axx， 2 |1 x Bx e ，则(AB ) A(,4) B(1,4) C(1,2) D(1，2 2 （5 分）已知i为虚数单位，若 2 ( ,) 1 abi a bR i ，则 20192020 (ab ) A0 B1 C2
2、D3 3（5 分） 在一个坛子中装有 10 个除颜色外完全相同的玻璃球， 其中有 1 个红球， 2 个蓝球， 3 个黄球，4 个绿球现从中任取一球后（不放回） ，再取一球，则已知第一个球为红色的情 况下第二个球为黄色的概率为( ) A 1 3 B 3 10 C 1 30 D 3 100 4 （5 分）已知 5 cos 13 ，( ,2 )，则cos()( 6 ) A 512 3 26 B 5 12 3 26 C12 5 3 26 D 5 312 26 5 （5 分）设m，n表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是( ) A若/ /m，/ /mn，则/ /n B若/ /mn，m，n，则/ /
3、 C若，则/ / D若m，n，则/ /mn 6 （5 分）若变量x，y满足约束条件 20 3 0 0 xy xy x ，则 22 (1)xy的最小值为( ) A1 B 4 5 C 2 5 5 D 5 5 7 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有蒲生一日，长三尺莞生一日， 长一尺蒲生日自半， 莞生日自倍 问几何日而长倍？” 意思是： “今有蒲草第 1 天长高 3 尺， 芜草第 1 天长高 1 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的 2 倍问第 几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是( ) （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：30
4、.4771lg ，20.3010)lg A2 B3 C4 D5 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）若某正三棱柱各棱长均为 2，则该棱柱的外接球表面积为( ) A8 B16 C16 3 D 28 3 9 （5 分）已知a，(0,)b，且不等式 2 26ab mm对任意2m，3恒成立，则 11ab 的最大值为( ) A2 B2 2 C4 D4 2 10（5 分） 已知椭圆 22 11 22 11 1(0) xy ab ab ， 双曲线 22 22 22 22 1(0,0) xy ab ab 有公共焦点 1 F、 2 F，它们的一个交点为P， 12 60FPF，则 12 | (FF ) A
5、22 12 3aa B 22 12 3aa C 22 12 3bb D 22 12 3bb 11 （5 分）函数( )2sin()(0) 6 f xx 在区间(,) 4 4 内有最大值无最小值，则的取 值范围是( ) A 4 8 ( , 3 3 B 4 8 ( , ) 3 3 C 4 16 ( , 33 D 4 16 ( ,) 33 12 （5 分）设函数 2 2 sin1 ( )(0) cos1 aax f xa aax 的最大值为M（a） ，最小值为m（a） ，则( ) A存在实数a，使M（a）m（a）2.5 B存在实数a，使M（a）m（a）2.5 C对任意实数a，有M（a）m（a）3 D
6、对任意实数a，有M（a）m（a）2 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在 5 1 (2)x x 的展开式中， 2 x的系数为 14 （5 分）已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点，P为椭圆上的一点， O为坐标原点，且 12 0PF PF ， 12 | 3|PFPF，则该椭圆的离心率为 15 （5 分）在ABC中，1AB ，2AC ，点D为BC中点若点M为ABC的外心，则 AD AM 16 （5 分）已知函数 42 2 3 ( )0.5x x f xx ，则
7、不等式 31 3 5 (log)(log) 2 fxfx的解集为 第 3 页（共 20 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分 17 （12 分）数列 n a满足： 123 1 (31) 2 n n aaaa （1）求 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足3 n n a b n a ，求
8、 n b的前n项和 n T 18 （12 分）如图所示，在四棱锥ABCDE中，ABE是正三角形，四边形BCDE为直角 梯形，点M为CD中点，且/ /BCDE，BCBE，2ABBC，4DE ，2 3AM （1）求证：平面ABE 平面BCDE； （2）求二面角BAME的余弦值 19 （12 分）2019 年 1 月 1 日， “学习强国”学习平台在全国上线， “学习强国”学习平台是 由中宣部主管， 以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容， 立足 全体党员，面向全社会的优质平台，某企业为响应国家号召，组织员工参与学习、答题，答 题环节包括“每日答题” 、 “每周答题” 、 “专
9、项答题”和“挑战答题” （1）参与一轮“每日答题”环节，该环节共 5 题，全答对获 2 分；若答对 2 到 4 题获 1 分； 若只答对 1 题或全没答对不得分已知员工甲每题答对的概率均为 2 3 ，且每道题答对与否 互不影响，求其参与一轮“每日答题”答题后获得分数X的分布列和期望； （2）随着学习的深入进行，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况： 学习天数 3 4 5 6 7 总得分 80 100 135 155 180 依照线性回归方程拟合数据，估计甲第 9 天的总得分 第 4 页（共 20 页） 参考数据： 5 2 1 135 i i x ； 5 2 1 91050 i i y ；
10、5 1 3505 ii i x y 参考公式： 1 2 1 () n ii i n i i x ynx y b xx ；aybx 20 （12 分）抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的两点， 点E是抛物线准线l与y轴的交点，ECD是面积为 4 的直角三角形 （1）求抛物线的方程； （2）点 0 (A x， 0) y在抛物线上，P，Q是直线2yx上不同的两点，且线段AP，AQ的 中点都在抛物线上，试用 0 x表示|PQ 21 （12 分）已知函数 11 ( )(0) axax f xlnx xa （1）证明：当1a时，( )f x在(0,)上是增函数； （2）
11、是否存在实数k，只有唯一正数a，对任意正数x，使不等式 1 ( )()f xk x a 恒成立？ 若存在，求出这样的a；若不存在，请说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22.23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线 22 1: 20Cxyy， 22 2: 2 30Cxyx，以原点O 为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，直线:(0,0)l 剟 （1）写出曲线 1 C和 2 C的极坐标方程； （2
12、）若直线l与曲线 1 C和 2 C分别相交于A，B，求|AB的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 1 ( ) |1|(0) a f xxxa a ，( )4 |1|g xx （1）当1a 时，求不等式( ) 3f x 的解集； （2）若关于x的不等式( )( )f xg x的解集包含0，1，求a的取值集合 第 5 页（共 20 页） 2020 年江西省景德镇市高考数学一模试卷（理科）年江西省景德镇市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在
13、每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 4 |0log1Axx， 2 |1 x Bx e ，则(AB ) A(,4) B(1,4) C(1,2) D(1，2 【解答】解： |14Axx， |2Bx x， (,4)AB 故选：A 2 （5 分）已知i为虚数单位，若 2 ( ,) 1 abi a bR i ，则 20192020 (ab ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：由 22(1) 1 1(1)(1) i iabi iii ， 得1a ，1b ， 2019202020192020 1( 1)2ab 故
14、选：C 3（5 分） 在一个坛子中装有 10 个除颜色外完全相同的玻璃球， 其中有 1 个红球， 2 个蓝球， 3 个黄球，4 个绿球现从中任取一球后（不放回） ，再取一球，则已知第一个球为红色的情 况下第二个球为黄色的概率为( ) A 1 3 B 3 10 C 1 30 D 3 100 【解答】解：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有 3 个黄球， 而坛子中此时共有 9 个球， 故再取一球取得黄球的概率为 31 93 P ， 故选：A 4 （5 分）已知 5 cos 13 ，( ,2 )，则cos()( 6 ) A 512 3 26 B 5 12 3 26 C12 5 3 26 D
15、 5 312 26 【解答】解： 5 cos 13 ，( ,2 )， 12 sin 13 ， 第 6 页（共 20 页） 5 312 cos()coscossinsin 66626 ， 故选：C 5 （5 分）设m，n表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是( ) A若/ /m，/ /mn，则/ /n B若/ /mn，m，n，则/ / C若，则/ / D若m，n，则/ /mn 【解答】解：选项A中若/ /m，/ /mn，则/ /n，还有直线n在平面内的情况，故A不 正确， 选项B中若/ /mn，m，n，则/ /，有可能两个平面相交，故B不正确， 选项C中若，则/ /，还有两个平面相交的可能
16、，故C不正确 选项D，若m，n，则/ /mn，满足直线与平面垂直的性质，所以D 正确； 故选：D 6 （5 分）若变量x，y满足约束条件 20 3 0 0 xy xy x ，则 22 (1)xy的最小值为( ) A1 B 4 5 C 2 5 5 D 5 5 【解答】解：画出约束条件 20 3 0 0 xy xy x 表示的平面区域，如图阴影部分所示； 设 22 (1)zxy，则z的几何意义是区域内的点到定点(1,0)C的距离的平方， 由图象知C到直线0xy的距离最小， 此时圆心到直线20xy的距离为 22 |2 1 1 0|2 5 2( 1) d ， 则 2 4 5 zd， 所以 22 (1)
17、xy的最小值为 4 5 故选：B 第 7 页（共 20 页） 7 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有蒲生一日，长三尺莞生一日， 长一尺蒲生日自半， 莞生日自倍 问几何日而长倍？” 意思是： “今有蒲草第 1 天长高 3 尺， 芜草第 1 天长高 1 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的 2 倍问第 几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是( ) （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：30.4771lg ，20.3010)lg A2 B3 C4 D5 【解答】设蒲草每天长的高度为数列 n a，莞草每天长的高度为数列 n b， 由
18、题意得： n a为等比数列，求首项为 3，公比为 1 2 ，所以通项公式 1 1 3 ( ) 2 n n a ，前n项 和 1 61( ) 2 n n S ， n b为等比数列，首项为 1，公比为 2，所以通项公式 1 2n n b ，前n项和 1 2n n T ； 由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即 1 212 61( ) 2 nn 2 (2 )13 2120212 nnn 或1 （ 舍)两 边 取 以10为 底 的 对 数 ， 122233 2 222 lglglglg n lglglg 由相关数据可得，4n ， 故选：C 8 （5 分）若某正三棱柱各棱长均为 2，则该棱柱的外接球表面积为
19、( ) A8 B16 C16 3 D 28 3 【解答】解：由题意作出图象如右图，则O AR，AEBC，OD 面ABC， 1 2ABBCACAA， 第 8 页（共 20 页） 则3AE ，1OD ， 22 3 33 ADAE， 222222 2 37 ()1 33 ROAADOD， 外接球的表面积 2 728 44 33 SR ， 故选：D 9 （5 分）已知a，(0,)b，且不等式 2 26ab mm对任意2m，3恒成立，则 11ab 的最大值为( ) A2 B2 2 C4 D4 2 【解答】解：设函数 2 ( )26f mmm， 不等式 2 26ab mm对任意2m，3恒成立， ( )mi
20、nabf m ， 函数 2 ( )26f mmm，开口向上，对称轴为1m ， 函数 2 ( )26f mmm在2m，3上单调递增， ( )minf mf（2）6， 6ab ， (1)(1) 8ab ， 2 (1)(1) (1)(1)16 4 ab ab 剟，当且仅当11ab ，即3ab时，取等号， 2 (11)112 (1)(1) 82 1616ababab ，当且仅当11ab ，即 3ab时，取等号， 11 4ab ，当且仅当3ab时，取等号， 11ab 的最大为 4， 第 9 页（共 20 页） 故选：C 10（5 分） 已知椭圆 22 11 22 11 1(0) xy ab ab ， 双
21、曲线 22 22 22 22 1(0,0) xy ab ab 有公共焦点 1 F、 2 F，它们的一个交点为P， 12 60FPF，则 12 | (FF ) A 22 12 3aa B 22 12 3aa C 22 12 3bb D 22 12 3bb 【解答】解：不妨设P为第一象限的交点， 1 |PFm， 2 |PFn， 由椭圆的定义可得， 1 2mna， 由双曲线的定义可得， 2 2mna， 解得 12 maa， 12 naa， 在 12 FPF中，由余弦定理可得 222 12 (2 )1 coscos60 22 mnc FPF mn ， 即为 222 4mnmnc， 即有 22222 1
22、212 224aaaac， 222 12 34aac，则 22 12 23caa 22 1212 | 23FFcaa 故选：B 11 （5 分）函数( )2sin()(0) 6 f xx 在区间(,) 4 4 内有最大值无最小值，则的取 值范围是( ) A 4 8 ( , 3 3 B 4 8 ( , ) 3 3 C 4 16 ( , 33 D 4 16 ( ,) 33 【解答】解：(,) 4 4 x 内有最大值无最小值， 第 10 页（共 20 页） 根据正弦函数的五点作图可知， 34 4 34 2 34 ， 解可得， 48 33 故选：A 12 （5 分）设函数 2 2 sin1 ( )(0
23、) cos1 aax f xa aax 的最大值为M（a） ，最小值为m（a） ，则( ) A存在实数a，使M（a）m（a）2.5 B存在实数a，使M（a）m（a）2.5 C对任意实数a，有M（a）m（a）3 D对任意实数a，有M（a）m（a）2 【解答】解： 22 22 sin11sin ( ) cos11cos aaxaax f x aaxaax ， ( )f x表示点 2 (1a ， 2 1)a 与圆 222 xya上点连线的斜率， 斜率最大与最小的临界值是直线与圆相切的时候，即0， 联立 22 222 (1)1yk xaa xya ， 消去x整理得： 2222222 (1)2 (1)(
24、1)(1) (1)0kxkk axkaa， 令0，即 2222222 2 (1)(1)4(1)(1) (1)0kk akkaa， 整理得： 222222222 (1)2(1)(1)0aa kakaa， 由韦达定理可知： M（a）m（a） 2222 22222 2(1)2(1) 2 (1)(1) aa aaa ， 存在实数a，使M（a）m（a）2.5正确；存在实数a，使M（a）m（a）2.5 错 误； 对任意实数a，有M（a）m（a）3错误；对任意实数a，有M（a）m（a）2错误 故选：A 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分
25、） 第 11 页（共 20 页） 13 （5 分）在 5 1 (2)x x 的展开式中， 2 x的系数为 80 【解答】解： 5 1 (2)x x 的展开式中，通项公式 5 15 1 (2 )()( 1) 2 rrrr r Tx x 3 5 5 2 5 r rrx ， 令 3 52 2 r，解得2r 2 x的系数 32 5 280 故答案为：80 14 （5 分）已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点，P为椭圆上的一点， O为坐标原点，且 12 0PF PF ， 12 | 3|PFPF，则该椭圆的离心率为 10 4 【解答】解： 12 | 3|PF
26、PF，而由椭圆定义得， 12 2PFPFa， 2 1 2 PFa， 2 3 2 PFa，又 12 0PF PF ， 12 PFPF， 22 1212 ()()()PFPFFF， 即 222 3 ( )()(2 ) 22 aa c， 离心率 2 2 2 10 16 c e a ， 10 4 e ， 故答案为： 10 4 15 （5 分）在ABC中，1AB ，2AC ，点D为BC中点若点M为ABC的外心，则 AD AM 5 4 【解答】解：以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角 坐标系， 第 12 页（共 20 页） 设( , )A b c，(,0)Ba，( ,0)C
27、 a， (0,)Mm，且1AB ，2AC ， 22 22 ()1 ()4 bac abc ，得， 222 5 2 abc， 又M为ABC的外心，| |MAMC， 2222 ()bmcam， 222 2bcmca， 22 5 2 2 amca， 2 5 4 mca， (,) (,)AD AMbcb mc 2 ()bc mc 22 bcmc 22 55 24 aa 5 4 故答案为： 5 4 16 （5 分）已知函数 42 2 3 ( )0.5x x f xx ，则不等式 31 3 5 (log)(log) 2 fxfx的解集为 1 |31 3 xxx 且剟 【解答】解：( )f x是 |0x x
28、 上的偶函数， 第 13 页（共 20 页） 42 txx在(0,)上单调递增，0.5ty 是减函数， 复合函数 42 0 5x x y 在(0,)上是减函数，且幂函数 2 3 yx 在(0,)上是减函数， ( )f x在(0,)上是减函数， 133 3 ()()()f log xflog xf log x， 由 31 3 5 ()() 2 f log xf log x得， 3 5 () 4 f log x ，且f（1） 5 4 ， 3 (log)fxf（1） ， 3 (|log|)fxf（1） ， 3 0 |log| 1x ，解得 1 3 3 x剟，且1x ， 原不等式的解集为 1 |31
29、3 xxx 且剟 故答案为： 1 |31 3 xxx 且剟 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分 17 （12 分）数列 n a满足： 123 1 (31) 2 n n aaaa （1）求 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足3 n n a b n a ，求 n b的前n项和 n T 【解答
30、】解： （1） 123nn Saaaa， 123 1 (31) 2 n n aaaa， 1n 时， 1 1a ， 2n时， 1 1 3n nnn aSS ，对1n 也成立， 1 3n n a ，*nN； （2）由3 n n a b n a ， 1 1 (1)( ) 3 n n bn ， 21 12 111 2( )(1)( ) 333 n nn Tbbbn 231 11111 ( )2( )(2)( )(1)( ) 33333 nn n Tnn 得 21 21111 ( )( )(1)( ) 33333 nn n Tn ， 第 14 页（共 20 页） 1 11 1( ) 21 33 (1)(
31、 ) 1 33 1( ) 3 n n n Tn ， 1 321 1 ()( ) 443 n n n T 18 （12 分）如图所示，在四棱锥ABCDE中，ABE是正三角形，四边形BCDE为直角 梯形，点M为CD中点，且/ /BCDE，BCBE，2ABBC，4DE ，2 3AM （1）求证：平面ABE 平面BCDE； （2）求二面角BAME的余弦值 【解答】 （1）证明：取BE的中点O，并连接OM 则据题意可得： 中位线OM的长为|3 2 BCDE OM ， 且OMBE， 又因为ABE是正三角形，所以AOBE， 故：AOM为二面角ABEM的平面角， 而 3 |3 2 AOAB，| 2 3AM ，
32、 第 15 页（共 20 页） 有 222 AOOMAM，即90AOM， 由定义可知：平面ABE 平面BCDE （2）解：由（1）可得：OM 平面ABE，AOBE， 以点O为坐标原点，分别以OA、OB、OM为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则( 3,0,0)A，(0B， 1，0)，(0E，1，0)，(0M， 0，3)(3,0,3)AM ，(0, 1,3)BM ， (0,1,3)EM ， 设( , , )mx y z为平面ABM的法向量， 则有 330 30 xz yz ， 令3x 可得( 3,3,1)m ；同理可得平面AEM的法向量：( 3, 3,1)n ， 3915 cos, 133913
33、91 m n 二面角BAME的平面角是锐角， 故二面角BAME的余弦值为 5 13 19 （12 分）2019 年 1 月 1 日， “学习强国”学习平台在全国上线， “学习强国”学习平台是 由中宣部主管， 以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容， 立足 全体党员，面向全社会的优质平台，某企业为响应国家号召，组织员工参与学习、答题，答 题环节包括“每日答题” 、 “每周答题” 、 “专项答题”和“挑战答题” （1）参与一轮“每日答题”环节，该环节共 5 题，全答对获 2 分；若答对 2 到 4 题获 1 分； 若只答对 1 题或全没答对不得分已知员工甲每题答对的概率均为
34、2 3 ，且每道题答对与否 互不影响，求其参与一轮“每日答题”答题后获得分数X的分布列和期望； （2）随着学习的深入进行，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况： 学习天数 3 4 5 6 7 总得分 80 100 135 155 180 依照线性回归方程拟合数据，估计甲第 9 天的总得分 参考数据： 5 2 1 135 i i x ； 5 2 1 91050 i i y ； 5 1 3505 ii i x y 第 16 页（共 20 页） 参考公式： 1 2 1 () n ii i n i i x ynx y b xx ；aybx 【解答】解： （1）据题意可知：X可取 0，1，2 有 5
35、 232 (2)( ) 3243 P X ； 145 5 12111 (0)( )( ) 333243 P XC； 3211200 (1)1 243243243 P X ， 故：X的分布列为： X 0 1 2 P 11 243 200 243 32 243 112003226488 ()012 24324324324381 E X （2）计算平均数 34567 5 5 x ； 8010013515518035055 5 130 13025.5 510 yb ；13025.552.5a 故：回归方程为2.525.5yx 代入9x ，估计第 9 天时的总积分为 232 20 （12 分）抛物线 2
36、 2(0)xpy p的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的两点， 点E是抛物线准线l与y轴的交点，ECD是面积为 4 的直角三角形 （1）求抛物线的方程； （2）点 0 (A x， 0) y在抛物线上，P，Q是直线2yx上不同的两点，且线段AP，AQ的 中点都在抛物线上，试用 0 x表示|PQ 【解答】解： （1）抛物线 2 2(0)xpy p 的焦点为(0,) 2 p F， 准线方程为 2 p y ， 不妨设点C位于第一象限， 由题意可得CDE为等腰直角三角形， 可得直线EC的斜率为 1， 第 17 页（共 20 页） 则直线EC的方程为 2 p yx， 联立方程 2 2 2 xpy p
37、 yx ，解得 2 xp p y ， 所以( ,) 2 p C p，(,) 2 p Dp，(0,) 2 p E， 1 24 2 ECD Spp ，解得2p ， 故抛物线的方程为 2 4xy； （2）设( ,2)P a a ，( ,2)Q b b， 2 0 0 (,) 4 x A x，AP的中点坐标为 2 00 48 (,) 28 axxa M ， 代入 2 4xy得 22 00 (28)160axax， 同理可得 22 00 (28)160bxbx， a，b是方程 22 00 (28)160xxxx的两个根， 22 00 (28)4(16)0xx， 解得 0 4x 或 0 0x 由韦达定理可得
38、： 0 82abx， 2 0 16abx ， 则 22 000 2 |2 ()444(4PQabababxxx或 0 0)x 21 （12 分）已知函数 11 ( )(0) axax f xlnx xa （1）证明：当1a时，( )f x在(0,)上是增函数； 第 18 页（共 20 页） （2）是否存在实数k，只有唯一正数a，对任意正数x，使不等式 1 ( )()f xk x a 恒成立？ 若存在，求出这样的a；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）证明： 2 1 () ( ) axln x a fx x ，令 1 ( )()(0)g xaxln xx a ， 则 2 ( )0 1 a
39、x g x ax ，因此( )g x是增函数，( )(0)0g xglna， 故( )0fx，因此( )f x是增函数； （2）取1x ，可知0k ， 11 ( )()() 0 kx f xk xln x aaa 剠， 令 1 ( )()(0) kx h xln xx aa ， 2 ( ) (1) akxak h x a ax ， 由 0 ()0h x得 2 o ak x ak ， 当 2 0ka时 ， 可 得( )h x在 0 (0,)x递 减 ， 0 (x，)递 增 ， 0 22 ( )()101 min kaka h xh xlnln akak 厔， 令 2 ( )() ka alnak
40、 ak ，因此存在唯一的正数a，使得（a）1， 故只能（a）1， 2 3 ( )() ak aak a ， 0 ()0a得 0 2ak，（a） 在 0 (0 ,) a上递减， 在 0 (a，)上递增， （a） 0 12 ()1 2 min aln k 得 2 k e ， 此时a只有唯一值 2 e e ； 当 2 k a时，( )h x为增函数，( )(0)0h xhlna得1a，故1k， 当1k 时，满足1 a k剟的a不唯一， 当1k 时， 满足 2 1 ak剟的a只能1a ， 但2a 时满足 2 ka， 且 2 1 1l n a a ， 因此1k 时， a值不唯一； 故存在实数k，a只有唯
41、一值 2 e e ，当0x 时恒有 1 ( )()f xk x a （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22.23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线 22 1: 20Cxyy， 22 2: 2 30Cxyx，以原点O 第 19 页（共 20 页） 为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，直线:(0,0)l 剟 （1）写出曲线 1 C和 2 C的极坐标方程； （2）若直线l与曲线 1 C和 2 C分别相交于
42、A，B，求|AB的最大值 【解答】解： （1）曲线 22 1: 20Cxyy， 22 2: 2 30Cxyx， 把 cos sin x y 代入两曲线的直角坐标方程， 可得 1 C和 2 C为极坐标方程分别为 1: 2sinC， 2: 2 3cosC； （2）联立与两曲线的极坐标方程， 得A，B两点的极坐标分别为(2sin, )A ，(2 3cos , )B ， | |2sin2 3cos| 4|sin()| 3 AB ， 则当 5 6 时，|4 max AB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 1 ( ) |1|(0) a f xxxa a ，( )4 |1|g xx
43、 （1）当1a 时，求不等式( ) 3f x 的解集； （2）若关于x的不等式( )( )f xg x的解集包含0，1，求a的取值集合 【解答】解： （1）当1a 时，函数 2 23,1 1 ( ) |1| |2|1|1,12 23,2 xx a f xxxxxx a xx ， 当1x时，不等式( ) 3f x 化为23 3x ，解得0x； 当12x时，不等式( ) 3f x 化为1 3，无解； 当2x时，不等式( ) 3f x 化为23 3x ，解得0x，即3x； 综上知，不等式( ) 3f x 的解集为(，03，) （2）关于x的不等式( )( )f xg x的解集包含0，1， 等价于 2 1 |1|4 |1| a xxx a 在0，1上恒成立， 由0a ， 2 1
