1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（理科） （二）年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（理科） （二） 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 12 小题， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）小题， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 |(2)(5) 0Mxxx， |2 x Ny y，则(MN ) A(0，5 B(0，2 C2，5 D2，) 2已知向量(1, 2)m ，(4, )n，其中入R若mn，则 | ( | n m ) A5 B2 C2 5 D2 3已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半
2、轴重合，点( 2,5)P 是角终边上的一点， 则cos2( ) A 20 29 B 21 29 C 21 29 D 20 29 4现有如下命题： 命题p： “( 0 ,)x ，0lnxx”的否定为“ 0 (x ，0， 00 0lnxx” ； 命题q： “s i n 20x ”的充要条件为： “ (21) () 2 k kxkZ ” ， 则下列命题中的真命题是( ) Ap Bpq C()pq D()pq 5已知椭圆 22 :1 6439 xy C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆C上，若 1 | 6PF ，则 12 PFF的余弦值为( ) A 3 10 B 7 10 C 2 5 D
3、 3 5 6如图，在正六边形ABCDEF中，(EC ) A23EFCA B32EFCA C25EFCA D52EFCA 7已知函数 2 2 ( )3cos4sin ,(,) 63 f xxx x ，则( )f x的值域为( ) A 17 4,) 4 B 17 (4,) 4 C 13 4, 3 D 13 (4, 3 第 2 页（共 17 页） 8已知长方体 1111 ABCDABC D中， 1 222ABBCAA，E，F分别是线段 11 AD， 1 CC的 中点，若 E 是E在平面 11 BDD B上的射影，点 F 在线段 1 BB上，/ /FFBC，则| (E F ) A 215 15 B 2
4、15 10 C 430 15 D 430 10 9函数 2 ( )4(2)( ) 3 x f xxx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 10已知函数 |2| 1 ( )( ) 2 x f x ， 2 (log 28)af， 2 (3) ln bf， 1 2 c ，则a，b，c的大小关系 为( ) Abca Bacb Cbac Dabc 11若关于x的不等式 2 1 0xmlnx 在2，3上有解，则实数m的取值范围为( ) A 3 (, 2ln B 8 (, 3ln C(， 2 1e D 38 , 23lnln 12四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面四边形ABCD是菱形，120
5、ADC，连接AC，BD 交于点O， 1 AO 平面ABCD， 1 4AOBD，点 C 与点C关于平面 1 BC D对称，则三棱锥 CABD 的体积为( ) A3 3 B2 3 C6 3 D4 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，将答案填写在题中的横线上）小题，将答案填写在题中的横线上） 13记等比数列 n a的前n项和为 n S，若 5 10 1 4 S S ，则 2 7 a a 14若椭圆C过点(2, 2)，( 2, 3)，则椭圆C的离心率为 15已知实数x，y满足 4 , 26 0, 4, yx xy y 则 4 4 y z x 的最大值为 16已知首项为 3 的正项数
6、列 n a满足 11 ()()3(1)(1) nnnnnn aaaaaa ，记数列 2 2 log (1) n a 的前n项和为 n S，则使得440 n S 成立的n的最小值为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知函数 32 2 ( )41 3 f xxxx 第 3 页（共 17 页） （1）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处切线的方程； （2）求函数( )f x的极大值 18 已 知ABC中 ， 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，13a ， 且 s i nc o sc o ss i ns
7、i ns i nACACCA cbaab （1）求ABC外接圆的半径； （2）若3c ，求ABC的面积 19直角梯形ABCD如图（1）所示，其中/ /ABCD，ABAD，过点B作BMCD，垂 足为M，得到面积为 4 的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱 柱CABMD （1）求证：平面CBM 平面CDM； （2） 若90CMD， 平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为 3 13 13 ， 求CM的长 20已知圆C过点(4,1)，(0,1)，(2,3)，过点( 2,0)P 的直线与圆C交于M，N两点 （1）若圆 22 :(2)(4)9Cxy，判断圆C与圆 C 的位置关
8、系，并说明理由； （2）若 5 13 PMPN，求|MN的值 21记数列 n a的前n项和为 n S，且 2 4a ，2(1) nn San等比数列 n b满足： 23 ab， 3123 abbb （1）求数列 n b的通项公式以及前n项和 n T； （2）求数列 n a的通项公式 22已知函数 2 ( ) x f xx e，其中2.718e 为自然对数的底数 （1）求函数( )f x在 5，1上的最值； 第 4 页（共 17 页） （2）若函数 ( ) ( ) 1 f x g xalnx x ，求证：当(0,2 )ae时，函数( )g x无零点 第 5 页（共 17 页） 2020 年江西省
9、名校学术联盟高考数学模拟试卷（理科） （二）年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（理科） （二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 12 小题， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）小题， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 |(2)(5) 0Mxxx， |2 x Ny y，则(MN ) A(0，5 B(0，2 C2，5 D2，) 【解答】解：依题意， |(2)(5) 0 | 25Mxxxxx剟?， |2 |0 x Ny yy y， 故(0MN ，5， 故选：A 2已知向量(1, 2)m ，
10、(4, )n，其中入R若mn，则 | ( | n m ) A5 B2 C2 5 D2 【解答】解：mn， 420m n， 解得2，故(4,2)n ， |20 2 |5 n m 故选：D 3已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，点( 2,5)P 是角终边上的一点， 则cos2( ) A 20 29 B 21 29 C 21 29 D 20 29 【解答】解：依题意， 22 22 cos 29 ( 2)5 ， 故 2 421 cos22cos121 2929 故选：C 4现有如下命题： 命题p： “( 0 ,)x ，0lnxx”的否定为“ 0 (x ，0， 00 0lnxx” ； 第 6 页
11、（共 17 页） 命题q： “s i n 20x ”的充要条件为： “ (21) () 2 k kxkZ ” ， 则下列命题中的真命题是( ) Ap Bpq C()pq D()pq 【解答】解： “(0,)x ，0lnxx”的否定为“ 0 (0,)x， 00 0lnxx” ，故命题 为假； (21) sin2022(21) 2 k xkxkkx ，其中kZ， 故命题q为真；故()pq为真， 故选：C 5已知椭圆 22 :1 6439 xy C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在椭圆C上，若 1 | 6PF ，则 12 PFF的余弦值为( ) A 3 10 B 7 10 C 2 5 D
12、3 5 【 解 答 】 解 ： 依 题 意 ， 1 | 6PF ， 2 | 10PF ， 而 12 | 2 643910FF ， 故 222 1122 12 112 |361001003 cos 2| |26 1010 PFFFPF PFF PFFF ， 故选：A 6如图，在正六边形ABCDEF中，(EC ) A23EFCA B32EFCA C25EFCA D52EFCA 【解答】 解： 依题意，ECEFFAACEFFACA，2FADCDAACEFCA， 故232ECEFEFCAEFCA， 故选：B 7已知函数 2 2 ( )3cos4sin ,(,) 63 f xxx x ，则( )f x的
13、值域为( ) A 17 4,) 4 B 17 (4,) 4 C 13 4, 3 D 13 (4, 3 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：依题意， 22 ( )3(1sin)4sin3sin4sin3f xxxxx ， 令 1 sin( ,1 2 tx，由 2 343ytt 的对称轴为 2 3 t ， 则 4213 343 933 max y ，3 14 134 min y 则( )f x的值域为 13 4, 3 ， 故选：C 8已知长方体 1111 ABCDABC D中， 1 222ABBCAA，E，F分别是线段 11 AD， 1 CC的 中点，若 E 是E在平面 11 BDD B上的射
14、影，点 F 在线段 1 BB上，/ /FFBC，则| (E F ) A 215 15 B 215 10 C 430 15 D 430 10 【解答】解：过点E作 11 EEB D ，垂足为 E ，取 1 BB的中点 F ，连接 FF ，则 22222222 111111 1119 51430 ()(5)()()() 22102105 EFB EB FB DD EB F ， 故选：D 9函数 2 ( )4(2)( ) 3 x f xxx的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：函数 2 ( )4(2)( ) 3 x f xxx的零点， 即为方程 2 4(2)( )0 3 x xx的
15、根， 即为方程 42 ( ) 23 x x x 的根， 4266 1 222 xx y xxx ， 所以原问题可转化为函数 6 1 2 y x 与 2 ( ) 3 x y 的交点， 第 8 页（共 17 页） 在同一直角坐标系中画出它们函数图象， 由图象可知有两个交点， 函数( )f x的零点个数 2 个 故选：C 10已知函数 |2| 1 ( )( ) 2 x f x ， 2 (log 28)af， 2 (3) ln bf， 1 2 c ，则a，b，c的大小关系 为( ) Abca Bacb Cbac Dabc 【解答】解：根据题意， 2 2 1 ( ),2 ( )2 2,2 x x x f
16、 x x ，则函数( )f x在(,2)上单调递增，在(2,) 上单调递减，且函数( )f x的图象关于2x 对称， 又因为 3 log 22 2333 ln ， 3 3log 284，而 1 (3) 2 cf， 故bca， 故选：A 11若关于x的不等式 2 1 0xmlnx 在2，3上有解，则实数m的取值范围为( ) A 3 (, 2ln B 8 (, 3ln C(， 2 1e D 38 , 23lnln 【解答】解：依题意， 2 1x m lnx ， 令 2 1 ( ),2,3 x g xx lnx ，则 2 1 2 ( ) () xlnxx x g x lnx ， 第 9 页（共 17
17、 页） 令 1 ( )2m xxlnxx x ，则 2 1 ( )21m xlnx x ，易知( )m x单调递增，( )m xm（2）0， 所以( )m x单调递增，故( )m xm（2）0，故( )0g x， 则( )g x在2，3上单调递增，故g（3）m， 所以 8 3 m ln ， 即实数m的取值范围为 8 (, 3ln ， 故选：B 12四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面四边形ABCD是菱形，120ADC，连接AC，BD 交于点O， 1 AO 平面ABCD， 1 4AOBD，点 C 与点C关于平面 1 BC D对称，则三棱锥 CABD 的体积为( ) A3 3 B2 3 C
18、6 3 D4 3 【解答】解：连接 1 OC，过点C作 1 CMOC，垂足为M， 因为 1 OA 平面ABCD，故 1 OABD， 因为四边形ABCD是菱形，故OABD，故BD 平面 11 ACC A，故BDCM， 又 1 CMOC，故CM 平面 1 BDC， 又ABD是边长为 4 的等边三角形，可得2 3OCOA，所以 11 4 3ACAC， 在Rt 11 AC O中，可得 11 60AOC，则30MOC， 可知OCC为等边三角形，且所在平面垂直底面， 故 3311 442 34 3 3222 CABD V 三棱锥 ， 故选：D 第 10 页（共 17 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（
19、本大题共 4 小题，将答案填写在题中的横线上）小题，将答案填写在题中的横线上） 13记等比数列 n a的前n项和为 n S，若 5 10 1 4 S S ，则 2 7 a a 1 3 【解答】解：根据题意，等比数列 n a中， 5 10 1 4 S S ，显然1q ， 故 5 5 105 10 111 114 Sq Sqq ，变形可得 5 3q ， 故 2 5 7 11 3 a aq ； 故答案为： 1 3 14若椭圆C过点(2, 2)，( 2, 3)，则椭圆C的离心率为 2 2 【解答】解：设椭圆 22 :1(0C mxnym，0n ，)mn， 则 421, 231, mn mn 则 1 ,
20、 8 1 , 4 m n 故椭圆 22 :1 84 xy C， 故离心率 2 2 2 1 2 cb e aa 故答案为： 2 2 15已知实数x，y满足 4 , 26 0, 4, yx xy y 则 4 4 y z x 的最大值为 2 7 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示， 4 4 y z x 表示平面区域 第 11 页（共 17 页） 内的点( , )x y与(4, 4)D连线的斜率，观察可知， 4 4 DCDB y kk x 剟，联立 4 , 260 yx xy ，解 得 2 , 3 8 3 x y ，即 28 (,) 33 B ，故 4 4 y z x 的最大值
21、为 84 4 2 33 2212 7 4 333 故答案为： 2 7 16已知首项为 3 的正项数列 n a满足 11 ()()3(1)(1) nnnnnn aaaaaa ，记数列 2 2 log (1) n a 的前n项和为 n S，则使得440 n S 成立的n的最小值为 21 【解答】解：依题意，由 11 ()()3(1)(1) nnnnnn aaaaaa ，可得 22 1 43 nn aa ， 故 2222 1 143 1444(1) nnnn aaaa ， 令 2 1 nn ba，则 1 4 nn bb ， 2 11 18ba ， 数列 n b是以 8 为首项，4 为公比的等比数列
22、12221 1 4822 nnn n bb ，*nN 221 222 log (1)loglog 221 n nn abn ， 数列 2 2 log (1) n a 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列 2 (321) 2 2 n nn Snn ， 令 2 24400nn，即(22)(20)0nn， 解得20n 或22n （舍去） ， 使得440 n S 成立的n的最小值为 21 第 12 页（共 17 页） 故答案为：21 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知函数 32 2 ( )41 3 f xxxx （1）求
23、曲线( )yf x在点(1，f（1）)处切线的方程； （2）求函数( )f x的极大值 【解答】解： （1）依题意， 10 (1) 3 f ， 而 2 ( )224fxxx， f （1）4 ， 故所求切线方程为 10 ()4(1) 3 yx ，即12320xy； （2）依题意， 2 ( )2(2)2(1)(2)fxxxxx， 令( )0fx，解得1x 或2x ， 故当(, 1)x 时，( )0fx， 当( 1, 2)x 时，( )0fx， 当(2,)x时，( )0fx， 故函数( )f x的极大值为 10 ( 1) 3 f 18 已 知ABC中 ， 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b
24、，c，13a ， 且 s i nc o sc o ss i ns i ns i nACACCA cbaab （1）求ABC外接圆的半径； （2）若3c ，求ABC的面积 【解答】解： （1） sincoscossinsinsinACACCA cbaab ， sin()sinsinsinACCAB cbaabcba ， 由正弦定理可得， cab abcba ， 所以()()()ab bca cba， 整理可得， 222 cbabc ， 由余弦定理可得， 222 1 cos 22 cba A bc 所以 2 3 A ， 第 13 页（共 17 页） 由正弦定理可得 132 39 2 33 2 R
25、，即外接圆半径 39 3 R ； （2）由 222 cbabc，13a ，3c 可得， 2 9133bb ， 解可得，1b ， 所以 1133 3 sin1 3 2224 ABC SbcA 19直角梯形ABCD如图（1）所示，其中/ /ABCD，ABAD，过点B作BMCD，垂 足为M，得到面积为 4 的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱 柱CABMD （1）求证：平面CBM 平面CDM； （2） 若90CMD， 平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为 3 13 13 ， 求CM的长 【解答】 （1）证明：在图（1）中，BMCM，BMDM， 翻折后，在图（2）中有，
26、BMCM，BMDM 又CMDMM，BM平面CDM， BM 平面CBM，平面CBM 平面CDM； （2）解：CMDM，CMBM，DMBMM，CM平面ABMD， 又BMMD，以M为原点，分别以MD，MB，MC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 设(0)CMa a，(2D，0，0)，(0C，0，)a，(2A，2，0)， 则(2,0,)CDa，(2,2,)CAa 设平面CAD的法向量为(nx，y，) z， 由 20 220 n CDxaz n CAxyaz ，取xa，0y ，2z ，得(na，0，2)， 第 14 页（共 17 页） 取平面CBM的法向量为(2,0,0)MD
27、， 由 |3 13 |cos,| 13| | MD n MD n MDn ，即 2 23 13 13 24 a a ， 解得3a ，即3CM 20已知圆C过点(4,1)，(0,1)，(2,3)，过点( 2,0)P 的直线与圆C交于M，N两点 （1）若圆 22 :(2)(4)9Cxy，判断圆C与圆 C 的位置关系，并说明理由； （2）若 5 13 PMPN，求|MN的值 【解答】解： （1）设圆 22 :0C xyDxEyF， 则 1740, 10, 13230, DEF EF DEF 解得4D ，2E ，1F ， 所以圆C的一般方程是： 22 4210xyxy ， 化为标准方程是： 22 (2
28、)(1)4xy； 又 22 |43532CC ， 所以圆C 与圆 C 外切 （2）当直线MN与x轴重合时，令0y ， 2 410xx ， 解得23 M x，23 N x， 所以 43 43 PMPN ，不符合题意； 设直线MN的方程为：2xty， 将2xty代入圆C的方程整理可得 22 (1)(82)130tyty， 第 15 页（共 17 页） 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 2 82 1 t yy t ， 12 2 13 1 y y t ， 因为 5 13 PMPN，且( 2,0)P ，所以 21 13 5 yy，解得2t 或38t ， 所以圆心(2,1
29、)到直线MN的距离为 2 |22|2 5 1 t d t ， 所以 22 48 5 | 22 4 55 MNrd 21记数列 n a的前n项和为 n S，且 2 4a ，2(1) nn San等比数列 n b满足： 23 ab， 3123 abbb （1）求数列 n b的通项公式以及前n项和 n T； （2）求数列 n a的通项公式 【解答】解： （1） 2 4a ，2(1) nn San 1n时， 11 21aa，解得 1 1a 33 2(14)(1) 3aa，解得 3 7a 设等比数列 n b的公比为q， 23 ab， 3123 abbb 2 1 4bq， 2 1(1 )7bqq， 联立解
30、得： 1 1b ，2q 1 2n n b ， 前n项和 21 21 21 n n n T （2）2n时， 11 22()(1)(1)(1) nnnnn aSSanan 化为： 1 (2)(1)(1)1 nn naan 1 (1)(1)1 nn nan a ， 相减可得： 11 2 nnn aaa ， 数列 n a为等差数列，公差413d 第 16 页（共 17 页） 13(1)32 n ann 可得：数列 n a的通项公式32 n an 22已知函数 2 ( ) x f xx e，其中2.718e 为自然对数的底数 （1）求函数( )f x在 5，1上的最值； （2）若函数 ( ) ( ) 1
31、 f x g xalnx x ，求证：当(0,2 )ae时，函数( )g x无零点 【解答】解： （1） 2 ( )2(2) xxx fxxex exex，令( )0fx，解得2x 或0x ， 则x，( )fx，( )f x在 5，1的变化情况如下表： x 5 ( 5, 2) 2 ( 2, 1) 1 ( )fx 0 ( )f x 5 25 e 单增 极大值 2 4 e 递减 1 e 故函数( )f x在 5，1上的最大值为 2 4 e ，最小值为 5 25 e ； （2）证明：要证( )g x无零点，即证 2 0 1 x x e alnx x 无解，即证 2 (1) x xa x lnxe 无
32、解， 设 22 (0)(01) xx p xxp xxx lnxlnx 且， (1) ( )(0,02 ) x a x q xxae e ，则即证函数 ( )p x与函数( )q x没有交点； 先研究 2 (01) x p xxx lnx 且， 2 (21) ( ) () xlnx p x lnx ，令( )0p x，解得xe， 且当(0,1)x及(1,)xe时，( )0p x，函数( )p x递减；当(,)xe时，( )0p x，函 数( )p x递增， 且 当0x 时 ，( )0p x ， 当1x 时 ，( )p x ， 当1x 时 ，( )p x ， ( )2p xpee 极小值 ； 再研究函数 (1) ( )(0,02 ) x a x q xxae e ，( )0 x ax q x e ，则函数( )q x在(0,)上单 减， 故( )(0)q xqa，且当x 时，( )0q x ， 作函数( )p x与函数( )q x的图象如图所示， 第 17 页（共 17 页） 显然，当(0,2 )ae时，函数( )p x与函数( )q x没有交点，即当(0,2 )ae时，函数( )g x无零 点
