1、专题08含参数的导数问题解题规律专题08 含参数的导数问题解题规律一知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数(C)_(C为常数); (x)_；(x2)_； _；()_(2)初等函数的导数公式(xn)_； (sin x)_；(cos x)_； (ex)_；(ax)_； (ln x)_；(logax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_6复合函数的导数(1)对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数yf(u)和ug(x)的复合函数为yf(g(x) （解法二）由得 设，则 ，由于单调递减且，所以
2、时单调递增， 时单调递减方程在上有且只有一个解等价于。故点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等（二）构造函数例2已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：.【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数； （2）见解析.【解析】 (1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原
3、不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，从而可得结论.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.下面证明当时，恒成立.设，则，故在区间内为增函数，即，所以.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.练习1.已知
4、函数.（1）证明: 有两个零点；（2）已知，若,使得，试比较与的大小.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 (1)在上单调递减，在上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数； (2) 由，可得：，令，函数在上单调递增，又在上是增函数，即.（1）据题知，求导得： 令，有；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，令，有；令，有故在和各有1个零点.有两个零点.（2）由，而令， 则，函数在上单调递增，故.，又在上是增函数，即.（三）极值点偏移例3已知函数 (其中e是自然对数的底数，kR)(1)讨论函数的单调性；(2)当函数有两个零点时，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】本题考查
5、导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。试题解析：（1）解：。当时，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增。当时，恒成立，函数在R上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。当时，在R上单调递增.（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。所以。设函数的两个零点为，则，设，解得，所以，要证，只需证，设设单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，故练习1.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）已知存在两个极值点，令，若， ，求的取
6、值范围.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.（2）将变形为，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到的取值范围.【详解】（1）.（）当，即时，在上单调递减；（）当，即或时，令，得或.当时，在上，单调递增；在上，单调递减.当时，在和上，单调递减；在上，单调递增.（2），则，由（1）可知，且.则， 从而.令，则.因为，所以，所以在上单调递减，则，即.因为，即，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题（四）多变量问题 例4已知函数（），
7、（） （）求的单调区间；（）求证：1是的唯一极小值点；（）若存在， ，满足，求的取值范围.（只需写出结论）【答案】(1) 单调递增区间为， 的单调递减区间为 （2）见解析（3）【解析】试题分析：（）求出， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间；（）先求得（），可得，又可证明在定义域内递增，即可证明 是g(x)的唯一极小值点；（）令两函数的值域有交集即可.试题解析：（） 因为 令，得 因为，所以 当变化时， ， 的变化情况如下：极大值 故的单调递增区间为， 的单调递减区间为 当变化时， ， 的变化情况如下：1极小值故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点. （）（五）与三
8、角函数有关的函数问题例5已知函数（）.(1)若，求函数的极大值；(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，对其求导，判断导数与0的关系，故而可得其极值；（2）对求导，当时，函数单调递增，不等式成立；当时，对其进行二次求导，可得恒成立， 单调递增，结合零点存在定理可得有唯一零点，进而可得当时， 单调递减，且，即不恒成立；试题解析：（1）时，当， 时， ， 单调递增，当， 时， ， 单调递减，所以，当时， 取得极大值， .（2）当，即时， ，所以单调递增，所以；当时，所以单调递增，所以有唯一零点，记为，当时， ， 单调递减，且，即不恒成立；综上所述， 的取值范
9、围是.练习1.已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求的值(2)求函数在值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可得到函数在值域.试题解析：（1）为），又，解得.（2）由（1）知，函数在上递增， 函数在上的值域为.（六）构造函数求参数 例6设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设，对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）无极大值；（2）. 【解析】(1) 当时，定义域为，结合函数的单调性可得，函数没有极大值.(2) 由已知，构造函数，则在上
10、单调递减，分类讨论可得：当时， .当时， ，综上，由得： .（1）当时，定义域为，当时，单调递减，当时，单调递增，的递减区间是，递增区间是.无极大值.（2）由已知，设，则在上单调递减，当时，所以，整理： 设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是.当时，所以，整理： 设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是，综上，由得： .练习1.已知函数在处的切线斜率为.（1）若函数在上单调，求实数的最大值；（2）当时，若存在不等的使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1)先根据切线的斜率求出，再根据函数单调，得到恒成立，求出b的最大值.(2)转化为存在不等的，且使得，进
11、而得到k0.【详解】（1）函数在处的切线斜率为解得.所以，故因为函数在上单调故或在上恒成立.显然即在上不恒成立.所以恒成立即可.因为可知在上单减，单增故，所以实数的最大值为1.（2）当时，由（1）知函数在上单调递增不妨设，使得即为存在不等的，且使得.其否定为：任意，都有即：函数在上单调递增.由（1）知：即所以若存在不等的使得实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和最值，考查利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（七）讨论参数求参数例7已知函数，（为自然对数的底数）（）当时，求函数在点处的切线方程；（）若函数有两个零点，试求的
12、取值范围；（）当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2) （3）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到， ，根据这两点可以写出切线方程。（2）对函数进行单调性的研究，分， ， ,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。（3）原不等式等价于恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。解析：（）当时，.， .所以函数在点处的切线方程为.因为，所以， 所以，所以取，显然且所以，.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.当时，由，得，或.当，则.当变化时， ， 变化情况如下表：注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.当，则， 在单调递增，函数至多有一个零点
13、，不符合题意.若，则.当变化时， ， 变化情况如下表：注意到当， 时， ，所以函数至多有一个零点，不符合题意.综上， 的取值范围是.（）当时，即,令，则令，则 当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增又， ，所以，当时， ，即，所以单调递减；当时，即，所以单调递增，所以，所以点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的能力，属于较难的题利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求
14、和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习1.设函数， （）证明：；（）若对所有的，都有，求实数的取值范围【答案】（）见解析；（） .【解析】试题分析：（）令，求导得单调性，进而得，从而得证；（）记求两次导得在递增， 又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（）令， 由 在递减，在递增， 即成立 （） 记， 在恒成立， ， 在递增， 又， 当 时， 成立， 即在递增，则，即成立； 当时，在递增，且， 必存在使得则时， ，即 时，与在恒成立矛盾，故舍去综上，实数的取值范围是 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 17 / 1717 / 17
