1、洛阳市 20202021 学年高中三年级期中考试 数学试卷（理） 本试卷分第 I 卷(选择题） 和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页， 第 n 卷 3 至 4 页. 共 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题，共 60 分) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2. 考试结束，将答题卡交回. 一、选择题:本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数则| A. 1 B. C. D. 2 2.已知集合 A = | ，B = x| ，则 AB = A.
2、 (0,1) B. (0,3) C. (1,3) D. (3,+ 3. 已知向量均为非零向量，且| | =丨 | = | 一 |，则与的夹角为 A. B. C. D. 4. 执行如图所示的算法，若输出的结果 y 2,则输人的 x 满 足 A. x 4 B. x 1 C. x 或 x 4 D. - 1 x 4 5. 已知等差数列的前 n 项和为, = ，则 = A. 2 B. 3 C.D. 6. 7. 已知四个命题: ; 以下命题中假命题是 A. V B. V C. V D. V 7. 若 a,b,c 满足 = 4, = 3，c = ,则 A. b a c B. b c a C. a b c D
3、. a c 0, | | 2， ，有下列结论:有两个极值点； 有三个零点；的所有零点之和为 0.其中正确的结论是_ .(填序号） 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分） 已知等比数列的前项和 =. (1) 求 r 的值，并求出数列的通项公式； (2) 令 ，求数列的前 n 项和 18. (本小题满分 12 分） 在 ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， B， c， 若= sinC tanA- cosC. (1)求 A; (2)若 b= 3，c = 2,点 D 为 BC 中点，求 a
4、及 AD. 19. (本小题满分 12 分） 如图四棱锥 P 一 ABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， PA 丄底面 ABCD.PA =AB =，点 E，F 分别是棱 PB，PC 的中点. (1)求证 PB 丄 AF； (2)若 AD = 1,求二面角 A EC D 的平面角的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:十 - 1(a b0)人心率为其左,右焦点分别是 F1 ,F2,椭圆上的 4 个点 A,B,M,N 满足：直线 AB 过左焦点 F1，直线 AM 过坐标原点 O，直线 AN 的斜率为，且AB F2的周长为 8. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 求AMN 面
5、积的最大值. 21. (本小题满分 12 分） 已知函数 = lnx + ax 2 + (a + 2)x +1(a R). (1) 讨论函数的单调性； (2) 若 a=-2,证明：当 x0 时0. 请考生在第 22、23 题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时，用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑 22. (本小题满分 10 分）选修 4 一 4 极坐标和参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 A(0， 1),曲线的参数方程为为参数).以坐标原点 O 为极点， X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为). (1) 把的
6、参数方程化为极坐标方程； (2) 设分别交，于点 P，Q，求APQ 的面积. 23. (本小题满分 10 分）选修 4 5 :不等式选讲 已知函数 M 为不等式 2 的解集. 求 M; (2)证明：当 a,b M 时，| a + b|丨 1 + ab I. 洛阳市洛阳市 2020202020212021 学年高中三年级期中考试学年高中三年级期中考试 数学试卷参考答案数学试卷参考答案( (理）理） 一、 选择题 1-5 BCBCA 6-10 DADBB 11-12 CD 二、 填空题 13. 3 14. 2 15. 16 16. 三、 解答题 17.解： （1) = ， 当 n = 1 时, =
7、 = 4 r. 当 n 时, = = 是等比数列， = 4 r r = 2, = ( ). (2) = =1- 18.解： （1)由正弦定理，原式可化为 sinCsinB = sinA(sinCtanA - cosC)， 即 sinC sin(A + C) = sinA(sinCtanA cosC)， sinC sinAcosC cosAsinC = sinCsinAcosC. sinC, + cosA =， 即 + A = cosA， cosA =， 又 0A 0 得：t 2 0，在(0, + )上单调递增； 若 a0 得 0x-. 函数在(0, -）上单调递增，在(-，+ )上单调递减.
8、综上，当 a 0 时，则在(0, + )上单调递增； 当 a 0 时，在(0, -）上单调递增，在(-，+ )上单调递减 由可知，当 a =-2 时，在(0， )上单调递增，在(，+ )上单调递减， = =ln 6 分 = lnx 2x 2 + 1 2x3 + x, 可化为 . 记 h(x) = (x 0)，则 h(x) = 记= ，则=， 由=,得 当 (0，ln2)时， 0， 函数在(0，ln2)上单调递减，在(ln2, +)上单调递增， = = = 4 2ln2 0, 0,即 h(x) 0,故函数 h(x)在(0, +)上单调递增. h(x) h(0) = 0,即, 0, 0. 22. 解:（1)由为参数） ，消去参数 t 得， 即 g 的普通方程为. , 的极坐标方程为,即 = 4cos. (2)设点 P，Q 的极坐标分别为()，Q(. 将代入,得. 将代入，得 = 1_ 所以 I PQ | = |=2 -1. 所以点 A(0，1)到曲线的距离 d = | OA | sin 所以 = |PQ|d = (2 -1 ) = 23. 解:当- 时，=， 则由 2 得-1 x - ; 当时，= = 1 时，;，由 0， 即 +1+， 则 +2ab + 1 +2ab +, 则(ab + 1) 2 (a + b)2， 即 |a + b| ab + 1|.
