1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科） （二）年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科） （二） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 AxN|3x3，B4，2，0，2，4，则 AB（ ） A2，0，2 B0，2 C0 D2 2若 x（3，6） ，则不等式 x23x100 成立的概率为（ ） A1 3 B1 4 C2 3 D3 4 3若 cos（3 2 +）= 3 5 ，则 cos2（ ） A 19 25 B19 25 C 22 25 D22
2、25 4现有如下命题： 命题 p： “x（0，+） ，lnxx0”的否定为“x0（，0，lnx0x00” ； 命题 q： “sin2x0”的充要条件为： “ (2+1) 2 ( )” ， 则下列命题中的真命题是（ ） Ap Bpq C （p）q Dp（q） 5已知正四面体 ABCD 外接球的表面积为 12，则该正四面体的表面积为（ ） A43 B63 C83 D123 6已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+2）是偶函数，f（4）2，f（x）在（，2）上 单调递增，则不等式 f（4x1）2 的解集为（ ） A(1 4， 5 4) B(， 1 4) ( 5 4， + ) C （，1）（17，
3、+） D （1，17） 7已知向量 ， 满足| | = 6，| | = 2，且3 2 在 方向上的投影为 4，现有如下说法： = 8 3； 向量 与 夹角的余弦值为4 9； (3 4 ) ， 则其中说法正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 8已知函数() = 3(3 4)， ( 2 ， 5 6 )，则函数 f（x）的值域为（ ） 第 2 页（共 15 页） A(3， 6 2 ) B,3， 6 2 ) C( 6 2 ， 6 2 ) D, 6 2 ， 6 2 ) 9若关于 x 的不等式 x2mlnx10 在2，3上有解，则实数 m 的取值范围为（ ） A(， 3 2- B(， 8 3- C
4、（，e21 D, 3 2 ， 8 3- 10已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2BC2AA12，E，F 分别是线段 A1D1，CC1 的中点，若 E是 E 在平面 BDD1B1上的射影，点 F在线段 BB1上，FFBC，则|EF| （ ） A215 15 B215 10 C430 15 D430 10 11设函数 f（x）= |( 1)|，1 1 41 1 2 ， 1 ，若函数 y|3f（x）m|4 有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为（ ） A(4， 11 2 ) B, 5 2 ，+ ) C, 5 2 ， 11 2 ) D, 5 2 ，4) 12已知首项为 3 的正项数列an满
5、足（an+1+an） （an+1an）3（an+1） （an1） ，记数列 *2( 2 1)+的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn440 成立的 n 的最小值为（ ） A23 B22 C20 D21 二、填空题（将答案填写在题中的横线上）二、填空题（将答案填写在题中的横线上） 13曲线 yx（ex+x3）在点（0，0）处的切线方程为 14已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， zxy 的最大值为 15若直线 l：x3y0 与圆 C：x2+y28x4y+160 交于 M，N 两点，则|MN| 16已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2
6、，点 M 满足|MF2| |MF1|2a，若点 N 是双曲线虚轴的一个顶点，且MNF2的周长的最小值为实轴长的 3 倍，则双曲线 C 的渐近线方程为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取 1 人，其成绩不低于 120 分的概率为1 4 分数 70，80） 80，90） 90，100） 100，110） 110，120） 120，130） 130，140） 第 3 页（共 15 页） 频数 40 50 70 60 80 m 50 （1）求 m 的值；
7、 （2）若按照分层抽样的方法从成绩在70，80） 、110，120）的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人进行错题分析，求这 2 人中至少有 1 人的分数在70，80）的概率 18 四棱锥 ABCED 中， DEBC， BCE90， AEED， AEEC， BCCD， DE= 1 2BC （1）求证：BCAC； （2）若 AB4，AB 与平面 AEC 所成的角为 45，求三棱锥 ABCE 的体积 19 已知ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， a= 13， 且+ + = + （1）求ABC 外接圆的半径； （2）若 c3，求ABC 的面积 20已知
8、数列an满足 2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列*3 +的前 n 项和 Sn 21已知椭圆 C： 2 4 + 2 3 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两 点，且点 M 满足 = （1）若点 M（1， 3 4 ） ，求直线 l 的方程； （2） 若直线 l 过点 F2且不与 x 轴重合， 过点 M 作垂直于 l 的直线 l与 y 轴交于点 A （0， t） ，求实数 t 的取值范围 22已知函数 f（x）lnx+m（x1）2 （1）若函数 f（x）在2，4上单调递减，求实数 m 的取值范围 （2）讨论
9、函数 f（x）的单调性 第 4 页（共 15 页） 2020 年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科） （二）年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷（文科） （二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 AxN|3x3，B4，2，0，2，4，则 AB（ ） A2，0，2 B0，2 C0 D2 【解答】解：依题意，AxN|3x30，1，2， 故 AB0，2， 故选：B 2若 x（3，6） ，则不等式 x23x100 成立的概率为（ ） A1 3 B1 4
10、 C2 3 D3 4 【解答】解：不等式 x23x100 可化为（x5） （x+2）0， 解得 x2 或 x5， 利用几何概型的概率公式计算所求概率为 P= 65 63 = 1 3 故选：A 3若 cos（3 2 +）= 3 5 ，则 cos2（ ） A 19 25 B19 25 C 22 25 D22 25 【解答】解：依题意，(3 2 + ) = = 3 5 ， 故2 = 1 22 = 1 6 25 = 19 25 故选：B 4现有如下命题： 命题 p： “x（0，+） ，lnxx0”的否定为“x0（，0，lnx0x00” ； 命题 q： “sin2x0”的充要条件为： “ (2+1) 2
11、 ( )” ， 则下列命题中的真命题是（ ） Ap Bpq C （p）q Dp（q） 【解答】解： “x（0，+） ，lnxx0”的否定为“x0（0，+） ，lnx0x00” ， 故命题为假； 第 5 页（共 15 页） 20 22(2 + 1) (2+1) 2 ，其中 kZ， 故命题 q 为真；故（p）q 为真， 故选：C 5已知正四面体 ABCD 外接球的表面积为 12，则该正四面体的表面积为（ ） A43 B63 C83 D123 【解答】解：设外接球半径为 R，则 S4R212，解得 = 3， 将正四面体 ABCD 恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线， 故 2 2 3 =
12、23，解得 = 22， 故该正四面体的表面积为4 3 4 (22)2= 83， 故选：C 6已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+2）是偶函数，f（4）2，f（x）在（，2）上 单调递增，则不等式 f（4x1）2 的解集为（ ） A(1 4， 5 4) B(， 1 4) ( 5 4， + ) C （，1）（17，+） D （1，17） 【解答】解：依题意，函数 f（x）的图象关于 x2 对称，则 f（4）f（0）2，故 f（4x 1）204 14 1 4 5 4， 故选：A 7已知向量 ， 满足| | = 6，| | = 2，且3 2 在 方向上的投影为 4，现有如下说法： = 8 3；
13、向量 与 夹角的余弦值为4 9； 第 6 页（共 15 页） (3 4 ) ， 则其中说法正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：依题意对于，由于：(3 2 ) | | = 3 2 2 | | = 4， 即 = 16 3 ，故错误； 对于由3 = 16，即 362cos16，得 = 4 9，故正确； 对于(3 4 ) = 3 4 2 = 0， 故(3 4 ) ，故正确， 故选：C 8已知函数() = 3(3 4)， ( 2 ， 5 6 )，则函数 f（x）的值域为（ ） A(3， 6 2 ) B,3， 6 2 ) C( 6 2 ， 6 2 ) D, 6 2 ， 6 2 ) 【解
14、答】解：当 ( 2 ， 5 6 )时，3 (3 2 ， 5 2 )， 故3 4 (5 4 ， 9 4 )， 故(3 4) ,1， 2 2 )， 故() ,3， 6 2 )， 故选：B 9若关于 x 的不等式 x2mlnx10 在2，3上有解，则实数 m 的取值范围为（ ） A(， 3 2- B(， 8 3- C （，e21 D, 3 2 ， 8 3- 【解答】解：依题意， 21 ， 令() = 21 ， ,2，3-，则() = 2+1 ()2 ， 令() = 2 + 1 ，则() = 2 + 1 1 2，易知 m（x）单调递增，m（x） m（2）0， 所以 m（x）单调递增，故 m（x）m（2
15、）0，故 g（x）0， 则 g（x）在2，3上单调递增，故 g（3）m， 第 7 页（共 15 页） 所以 m 8 3， 即实数 m 的取值范围为(， 8 3-， 故选：B 10已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2BC2AA12，E，F 分别是线段 A1D1，CC1 的中点，若 E是 E 在平面 BDD1B1上的射影，点 F在线段 BB1上，FFBC，则|EF| （ ） A215 15 B215 10 C430 15 D430 10 【解答】解：过点 E 作 EEB1D1，垂足为 E，取 BB1的中点 F，连接 FF，则 = 12+ 12= (11 1)2+ 12= (5 1 5 1
16、 2) 2+ (1 2) 2 = (95 10 )2+ (1 2) 2 = 430 10 ， 故选：D 11设函数 f（x）= |( 1)|，1 1 41 1 2 ， 1 ，若函数 y|3f（x）m|4 有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为（ ） A(4， 11 2 ) B, 5 2 ，+ ) C, 5 2 ， 11 2 ) D, 5 2 ，4) 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如右所示， 令|3f（x）m|40， 解得() = 4 3 ，则 0 4 3 1 2 +4 3 1 2 ，解得 4m 11 2 ， 故选：A 第 8 页（共 15 页） 12已知首项为 3 的正项数列an满足（
17、an+1+an） （an+1an）3（an+1） （an1） ，记数列 *2( 2 1)+的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn440 成立的 n 的最小值为（ ） A23 B22 C20 D21 【解答】 解： 依题意， +1 2 = 4 2 3， 故+1 2 1 = 4 2 3 1 = 4 2 4 = 4( 2 1)， 令= 2 1，所以 bn+14bn， 所以数列bn是等比数列，首项为1= 1 2 1 = 8，公比为 4， 所以= 1 41= 8 222= 22+1， 故2( 2 1) = 222+1= 2 + 1， = (3+2+1) 2 = 2+ 2， 令 n2+2n4400，即（n+
18、22） （n20）0，所以 n20 或 n22（舍去） ， 故所求最小值为 21， 故选：D 二、填空题（将答案填写在题中的横线上）二、填空题（将答案填写在题中的横线上） 13曲线 yx（ex+x3）在点（0，0）处的切线方程为 yx 【解答】解：依题意，yex+x3+x（ex+3x2） ， 故切线斜率 ky|x01， 曲线 yx（ex+x3）在点（0，0）处的切线方程为 yx 故答案为：yx 14已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， zxy 的最大值为 2 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知， 当直线 zxy 过点 B 时，z 有最大值，
19、联立 = 4， + 2 + 6 = 0，解得 = 2 3 ， = 8 3 ， 故 zxy 的最大值为 2 故答案为：2 第 9 页（共 15 页） 15 若直线 l： x3y0 与圆 C： x2+y28x4y+160 交于 M， N 两点， 则|MN| 610 5 【解答】解：依题意，圆 C： （x4）2+（y2）24， 故圆心（4，2）到直线 l：x3y0 的距离 = |46| 10 = 2 10， | = 22 2= 24 2 5 = 610 5 故答案为：610 5 16已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 满足|MF2| |MF1|
20、2a，若点 N 是双曲线虚轴的一个顶点，且MNF2的周长的最小值为实轴长的 3 倍，则双曲线 C 的渐近线方程为 y 6 2 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 满足|MF2|MF1|2a，点 N 的坐标为（0，b） ，M 在双曲线的左支， F1（c，0） ，F2（c，0） ， MNF2的周长为|MN|+|MF2|+|NF2|MN|+|MF2|+a， 由双曲线的定义可得|MF2|MF1|2a，|NF2|= 2+ 2， 当 P 在左支上运动到 M，N，F1共线时， MNF2的周长取最小值：22+ 2+2a， MNF2的周长的最小值为
21、实轴长的 3 倍，可得 22+ 2+2a6a， 可得：2b23a2， = 6 2 ，双曲线 C 的渐近线方程为：y 6 2 故答案为：y 6 2 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如表所示，在参加测试的学生中任取 1 第 10 页（共 15 页） 人，其成绩不低于 120 分的概率为1 4 分数 70，80） 80，90） 90，100） 100，110） 110，120） 120，130） 130，140） 频数 40 50 70 60 80 m 50 （1）求 m 的值；
22、（2）若按照分层抽样的方法从成绩在70，80） 、110，120）的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人进行错题分析，求这 2 人中至少有 1 人的分数在70，80）的概率 【解答】解： （1）依题意， +50 350+ = 1 4，解得 m50.2 （2）依题意，成绩在70，80）的学生抽取 2 人，记为 A，B， 成绩在110，120）的学生抽取 4 人，记为 a，b，c，d，则任取 2 人，所有的情况为： （A，B） ， （A，a） ， （A，b） ， （A，c） ， （A，d） ， （B，a） ， （B，b） ， （B，c） ， （B，d） ， （a，b） ， （a，c
23、） ， （a，d） ， （b，c） ， （b，d） ， （c，d） ，共 15 种， 其中满足条件的为： （A，B） ， （A，a） ， （A，b） ， （A，c） ， （A，d） ， （B，a） ， （B，b） ， （B，c） ， （B，d） ，共 9 种， 故所求概率 = 9 15 = 3 5 18 四棱锥 ABCED 中， DEBC， BCE90， AEED， AEEC， BCCD， DE= 1 2BC （1）求证：BCAC； （2）若 AB4，AB 与平面 AEC 所成的角为 45，求三棱锥 ABCE 的体积 【解答】解： （1）因为BCE90，故 BCEC， 又 BCDE，故 DEE
24、C， 又 AEED，而 ECAEE，故 DE平面 AEC，即 BC平面 AEC， 因为 AC平面 AEC，故 BCAC； （2）因为 DEBC， 由（1）可知，DE平面 AEC， 第 11 页（共 15 页） 所以 BC平面 AEC，故 AB 与平面 AEC 所成的角即为BAC， 在 RtBCA 中，BAC45，AB4，所以， = = 22， 故 = 22， = 2，故 = 6， 故= 1 2 22 (6)2 (2)2= 22， 故三棱锥= 三棱锥= 1 3 22 22 = 8 3 19 已知ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， a= 13， 且+ + = + （
25、1）求ABC 外接圆的半径； （2）若 c3，求ABC 的面积 【解答】解： （1）+ + = + ， (+) + = + = +， 由正弦定理可得，+ = +， 所以（ab）b（c+a） （c+ba） ， 整理可得，c2+b2a2bc， 由余弦定理可得，cosA= 2+22 2 = 1 2 所以 A= 2 3 ， 由正弦定理可得 2R= 13 3 2 = 239 3 ，即外接圆半径 R= 39 3 ； （2）由 c2+b2a2bc，a= 13，c3 可得，9+b2133b， 解可得，b1， 所以 SABC= 1 2 = 1 2 1 3 3 2 = 33 4 20已知数列an满足 2a1+7a
26、2+12a3+（5n3）an4n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列*3 +的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n n1 时，2a14，解得 a12， 第 12 页（共 15 页） n2 时，2a1+7a2+12a3+（5n8）an14（n1） （5n3）an4 an= 4 53 （2）3 = (53)3 4 ， 数列*3 +的前 n 项和 Sn= 1 423+73 2+1233+（5n3） 3n， 3Sn= 1 423 2+733+1234+（5n8） 3n+（5n3） 3n+1， 2Sn= 1 46+5 （3 2+33+3n） （5n
27、3） 3n+1=1 46+5 9(311) 31 （5n3） 3n+1 Sn= (1011)3+1+33 16 21已知椭圆 C： 2 4 + 2 3 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两 点，且点 M 满足 = （1）若点 M（1， 3 4 ） ，求直线 l 的方程； （2） 若直线 l 过点 F2且不与 x 轴重合， 过点 M 作垂直于 l 的直线 l与 y 轴交于点 A （0， t） ，求实数 t 的取值范围 【解答】解： （1）由题意点 M 满足 = ，可得 M 是 PQ 的中点 设 P（x，y） ，Q（x，y） ，则 x+x2，y+y= 3 2
28、 ， 点 P，Q 在椭圆 C 上， 2 4 + 2 3 = 1 2 4 + 2 3 = 1 ， 两式相减，得(+)() 4 + (+)() 3 =0， k= = 3(+) 4(+) = 3， 直线 l 的方程为：y 3 4 = 3（x1） ，即 43x+4y53 =0 （2）由题意，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， M 是 PQ 的中点，M（1+2 2 ，1+2 2 ） 当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的直线方程为：x1 第 13 页（共 15 页） 此时 P（1， 3 2 ） ，Q（1， 3 2 ） ，M（1，0） 直线 l：y0，A（0，0） t0 当直线 l 斜率存在时，
29、设斜率为 k， （k0） ，则 直线 l：yk（x1） 联立 = ( 1) 2 4 + 2 3 = 1 ， 整理，得（4k2+3）x28k2x+4k2120 则64k44（4k2+3） （4k212）144（k2+1）0 x1+x2= 82 42+3，x1x2= 4212 42+3 1+2 2 = 42 42+3， 1+2 2 = (11)+(21) 2 =k（1+2 2 1）k（ 42 42+3 1）= 3 42+3 点 M 坐标为（ 42 42+3， 3 42+3） 直线 l与直线 l 互相垂直， 直线 l的斜率为 1 直线 l的直线方程：y+ 3 42+3 = 1 （x 42 42+3）
30、 将 A（0，t）代入直线 l的直线方程，可得 t+ 3 42+3 = 1 （ 42 42+3） ， 解得 t= 42+3 （i）当 k0 时，t= 42+3 = 1 4+3 ， 4k+ 3 24 3 =43当且仅当 4k= 3 ，即 k= 3 2 时，等号成立 0t= 1 4+3 1 43 = 3 12 （ii）当 k0 时，t= 42+3 = 1 4+3 = 1 4()+ 3 ， 4（k）+ 3 24() 3 =43当且仅当 4（k）= 3 ，即 k= 3 2 时，等号 成立 第 14 页（共 15 页） 3 12 = 1 43 t= 1 4()+ 3 0 综上所述，可知实数 t 的取值范
31、围为 3 12， 3 12 22已知函数 f（x）lnx+m（x1）2 （1）若函数 f（x）在2，4上单调递减，求实数 m 的取值范围 （2）讨论函数 f（x）的单调性 【解答】解： （1）依题意，() = 2( 1) + 1 ， 因为函数 f （x） 在2， 4上单调递减， 所以 f （x） 0 在2， 4上恒成立， 故2 ( 1 2+)， 而 1 2+ = 1 (1 2) 2+1 4 ，故当 x2，4时， 1 2+ , 1 2 ， 1 12-， 故2 1 2，解得 1 4， 即实数 m 的取值范围为(， 1 4-； （2）由（1）可得，() = 222+1 ， (0，+ )， 若 m0，
32、则() = 1 0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 若 m0，则函数 y2mx22mx+1 的4m28m4m（m2） ， 若 m0 或 m2，则0，令 2mx22mx+10，解得 = (2) 2 ， 记1= (2) 2 ，2= +(2) 2 ，其中1+ 2= 1，12= 1 2， 若 0m2，则0，故当 x（0，+）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+） 上单调递增； 若 m0，则 x1+x21，x1x20，其中 x10x2， 故当 x（0，x1）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，当 x（x1，+ ）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递减； 若 m
33、2，则 x1+x21，x1x20，其中 0x1x2， 故当 x（0，x1）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 当 x（x1，x2）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递减， 当 x（x2，+）时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 综上所述，当 0m2 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；当 m0 时，函数 f 第 15 页（共 15 页） （x）在(0， (2) 2 )上单调递增，在( (2) 2 ，+ )上单调递减；当 m2 时 ， 函 数 f （ x ） 在 (0， (2) 2 ) ， ( (2) 2 ，+ ) 上 单 调 递 增 ， 在 ( (2) 2 ， +(2) 2 )上单调递减
